基于穩(wěn)定子的量子信道編碼.pdf

1、量子糾錯(cuò)碼是近年來興起的用于克服量子信息在存儲(chǔ)、傳輸和計(jì)算過程中所發(fā)生的量子消相干效應(yīng)的新型編碼技術(shù)。量子糾錯(cuò)碼在量子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)、量子安全通信以及容錯(cuò)量子計(jì)算等方面有著重要應(yīng)用。構(gòu)造碼率大、糾錯(cuò)性能好的量子糾錯(cuò)碼的是量子信道編碼理論研究的核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)簡單、快速、易實(shí)現(xiàn)的編譯碼算法是量子糾錯(cuò)碼實(shí)用化的先決條件。本研究從量子糾錯(cuò)碼構(gòu)造的基本原理出發(fā)，根據(jù)量子通信的特殊機(jī)制，借鑒經(jīng)典線性碼的編碼方案，結(jié)合有限交換群的特征標(biāo)理論和結(jié)構(gòu)理論，

2、給出了GF(2)上量子穩(wěn)定子碼的截短碼和擴(kuò)展碼的構(gòu)造方法，并提出了有限域上非本原BCH碼的對(duì)偶包含判定準(zhǔn)則；借鑒經(jīng)典線性碼的編譯碼算法，結(jié)合量子穩(wěn)定子體系的數(shù)學(xué)架構(gòu)，設(shè)計(jì)了量子穩(wěn)定子碼的編譯碼網(wǎng)絡(luò)，并給出了量子穩(wěn)定子碼的概率譯碼方案和量子穩(wěn)定子碼最小網(wǎng)格圖的快速構(gòu)建方法；在此基礎(chǔ)上，還給出了針對(duì)Pauli信道的量子穩(wěn)定子碼是否為簡并碼的判定條件。具體如下：
　　 (1)構(gòu)造了二元量子穩(wěn)定子碼的截短碼和擴(kuò)展碼。基于初等代數(shù)理論，設(shè)

3、計(jì)了其構(gòu)造體系；基于校驗(yàn)矩陣與線性碼最小距離之間的關(guān)系，分析了其糾錯(cuò)性能；基于穩(wěn)定子體系的相關(guān)理論，構(gòu)建了其編譯碼網(wǎng)絡(luò)。構(gòu)造方法的優(yōu)點(diǎn)在于構(gòu)造性證明過程可以得到截短經(jīng)典碼和擴(kuò)展經(jīng)典碼的生成矩陣和校驗(yàn)矩陣，由此可以構(gòu)造量子穩(wěn)定子碼的截短碼和擴(kuò)展碼的穩(wěn)定子群校驗(yàn)矩陣，從而可以快速地構(gòu)建量子穩(wěn)定子碼的截短碼和擴(kuò)展碼的編譯碼網(wǎng)絡(luò)。
　　 (2)提出了有限域上經(jīng)典BCH碼的對(duì)偶包含判定準(zhǔn)則。首先給出了循環(huán)陪集的若干重要性質(zhì)，其后根據(jù)這些性

4、質(zhì)得到了判斷有限域上非本原BCH碼是否包含其對(duì)偶碼的準(zhǔn)則。依據(jù)該判斷準(zhǔn)則進(jìn)行判斷所需時(shí)間的復(fù)雜度為多項(xiàng)式的，并且該判斷準(zhǔn)則對(duì)本原BCH碼也適用。與已有的算法相比，算法復(fù)雜度更小，效率更高。
　　 (3)設(shè)計(jì)了量子穩(wěn)定子碼的編譯碼網(wǎng)絡(luò)。編譯碼網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建是量子信道編碼理論的重要內(nèi)容，尋找性能優(yōu)良的編譯碼算法是量子糾錯(cuò)碼實(shí)用化的先決條件。較為全面的討論了量子穩(wěn)定子碼的編碼、差錯(cuò)檢測、差錯(cuò)糾正和譯碼網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方法。對(duì)一類特殊的量子穩(wěn)定子

5、碼-CSS碼，基于其糾錯(cuò)性能與經(jīng)典線性碼的糾錯(cuò)性能之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，參照經(jīng)典線性碼差錯(cuò)檢測和糾正電路的構(gòu)造方法構(gòu)建了其差錯(cuò)檢測和糾正電路。
　　 尋找差錯(cuò)癥狀與差錯(cuò)算子之間映射關(guān)系是量子譯碼網(wǎng)絡(luò)的核心內(nèi)容，也是量子譯碼網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)功能的關(guān)鍵。給出了比特翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)和相位翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)的矩陣表示，定義了比特翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣和相位翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣，由此將任意Pauli差錯(cuò)算子的差錯(cuò)癥狀表示為比特翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣和相位翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣相關(guān)列的線性

6、組合。研究還發(fā)現(xiàn)，量子穩(wěn)定子碼差錯(cuò)癥狀矩陣可由校驗(yàn)矩陣所決定，從而任意Pauli算子的差錯(cuò)癥狀可表示為校驗(yàn)矩陣若干列的線性組合?；诓铄e(cuò)算子與差錯(cuò)癥狀之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出了構(gòu)造量子差錯(cuò)糾正電路的方法。
　　 (4)給出了量子穩(wěn)定子碼的概率譯碼算法。受經(jīng)典線性分組碼的概率譯碼思想的啟發(fā)，基于上述量子穩(wěn)定子碼的比特翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣和相位翻轉(zhuǎn)差錯(cuò)癥狀矩陣由其穩(wěn)定子群校驗(yàn)矩陣所決定的結(jié)論的基礎(chǔ)上，給出了量子穩(wěn)定子碼的概率譯碼算法。算法通過

7、選擇量子權(quán)重最小者作為差錯(cuò)算子的方式降低了譯碼出錯(cuò)概率，通過預(yù)先構(gòu)造量子標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表的方式縮短了譯碼時(shí)間。在構(gòu)造量子標(biāo)準(zhǔn)陣列譯碼表的過程中，通過對(duì)量子簡并碼和非簡并碼分別設(shè)定所求解方程組的已知數(shù)和未知數(shù)的方式降低了算法復(fù)雜度。與已有的最大似然譯碼算法相比，本算法復(fù)雜性更小，可靠性更高。
　　 (5)給出了量子穩(wěn)定子碼最小網(wǎng)格圖的快速構(gòu)建方法。量子網(wǎng)格圖頂點(diǎn)集的大小影響譯碼算法效率，減少網(wǎng)格圖的頂點(diǎn)數(shù)可以提高譯碼算法的效率?；?/p>

8、標(biāo)準(zhǔn)化的穩(wěn)定子群校驗(yàn)矩陣，給出了構(gòu)造面向網(wǎng)格圖的穩(wěn)定子群生成元的方法，據(jù)此可以構(gòu)造頂點(diǎn)集最小的量子網(wǎng)格圖。此外，通過分析差錯(cuò)算子與穩(wěn)定子群生成元各個(gè)量子位的對(duì)易關(guān)系對(duì)這兩算子之間對(duì)易關(guān)系的影響，給出了一種快速生成量子穩(wěn)定子碼的網(wǎng)格圖的方法?，F(xiàn)有的構(gòu)造方法對(duì)各項(xiàng)點(diǎn)集分別獨(dú)立計(jì)算，而沒有利用已有的計(jì)算結(jié)果，所以運(yùn)算量大，這限制了譯碼的規(guī)模和速度。本文給出的方法是基于已有的頂點(diǎn)集的迭代的構(gòu)造過程，該方法計(jì)算復(fù)雜性更小、算法效率更高，從而能適應(yīng)

9、規(guī)模更大和對(duì)時(shí)間要求更高的應(yīng)用。
　　 (6)給出了基于Pauli信道的量子穩(wěn)定子碼是否為簡并碼的判定條件。本文給出了針對(duì)Pauli信道的量子簡并碼和非簡并碼的定義，并基于量子穩(wěn)定子碼的差錯(cuò)癥狀矩陣與穩(wěn)定子群校驗(yàn)矩陣之間關(guān)系的結(jié)論給出了判斷量子穩(wěn)定子碼是否為簡并碼的若干判定條件，還給出了量子穩(wěn)定子碼為非簡并碼的充要條件，基于穩(wěn)定子群校驗(yàn)矩陣給出了量子穩(wěn)定子碼最小距離的求解方法，由此證明了在Pauli信道中簡并碼的糾錯(cuò)性能優(yōu)于（至

10、少等于）非簡并碼。
　　 量子糾錯(cuò)碼從提出至今不過十幾年的時(shí)間，卻取得了豐富的理論研究成果，各種碼的構(gòu)造技術(shù)不斷涌現(xiàn)，其理論體系日臻完善。但是，關(guān)于編譯碼算法方面的研究明顯滯后。希望本文關(guān)于穩(wěn)定子碼編譯碼網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建技術(shù)的研究能引起更多的相關(guān)研究。另外，鑒于量子簡并碼在某些量子信道（例如Pauli信道）中所表現(xiàn)出的良好的糾錯(cuò)性能以及在量子狀態(tài)純化和證明量子通信協(xié)議安全性等方面的重要應(yīng)用，希望本文在量子簡并碼研究方面的初步探索能起到拋