齒輪畢業(yè)設(shè)計(jì)

1、<p><b>　　第1章　　緒　　論</b></p><p>　　古老的齒輪技術(shù)歷史可追溯到3000~5000年以前，幾乎和人類文明史同步。通常，齒輪被視為現(xiàn)代工業(yè)的象征，出現(xiàn)在莊嚴(yán)的國(guó)徽上。隨著近代工業(yè)革命的興起，齒輪作為機(jī)械設(shè)備的重要傳動(dòng)裝置，得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。為了適應(yīng)高速、重載、小型、輕量以及大傳動(dòng)比和其他運(yùn)動(dòng)特性的要求，各種新型的齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)不斷出現(xiàn)。</p&

2、gt;<p>　　根據(jù)對(duì)未來的發(fā)展的預(yù)測(cè)，齒輪制造業(yè)在今后幾十年里仍將是我國(guó)機(jī)械行業(yè)中的重要組成部分。隨著航空、航天、汽車、船舶、鐵路機(jī)車、冶金、煤礦、工程機(jī)械、建筑、起重運(yùn)輸、特種車輛、港口、高科技武器系統(tǒng)、農(nóng)用機(jī)械等諸多行業(yè)的飛速發(fā)展，齒輪制造業(yè)必將迎來更加廣闊的發(fā)展空間。</p><p>　　公元前三百多年，古希臘哲學(xué)家亞里士多德在《機(jī)械問題》中就闡述了用青銅或鑄鐵的齒輪傳遞旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的問題，而

3、在此之前，中國(guó)早已在農(nóng)業(yè)機(jī)械和天文觀測(cè)領(lǐng)域開始大量使用齒輪機(jī)構(gòu)，1674年，丹麥天文學(xué)家羅默首次提出用外擺線做齒輪曲線，從而得到運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)的齒輪機(jī)構(gòu)。18世紀(jì)工業(yè)革命時(shí)期，齒輪的制造技術(shù)得到了飛速的發(fā)展，人們開始對(duì)齒輪進(jìn)行大量的研究。1733年，法國(guó)數(shù)學(xué)家卡米發(fā)表了齒廓嚙合定律。1765年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉建議采用漸開線作為齒廓曲線。</p><p>　　齒輪的研究發(fā)展一直追求重載、高速、高精度和高效率，并力求使它的

4、尺寸更小、重量更輕、壽命更長(zhǎng)，更經(jīng)濟(jì)可靠。研究齒輪的嚙合理論和制造工藝，建立可靠的強(qiáng)度計(jì)算方法則是提高齒輪承載能力，延長(zhǎng)齒輪使用壽命的基礎(chǔ)。</p><p>　　1.1 齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法的歷史回顧</p><p>　　隨著齒輪性能的不斷提高和各種新型齒輪的陸續(xù)出現(xiàn)，研究和計(jì)算齒輪強(qiáng)度的理論和方法也在不斷推陳出新。</p><p>　　從歷史上看，齒輪強(qiáng)度的計(jì)算一直

5、是用近似公式，已有200余年的時(shí)間了。</p><p>　　1785年，Walt提出彎曲強(qiáng)度的概念。1881年，Hertz提出計(jì)算接觸強(qiáng)度的理論公式。1892年10月，Wilfred Lewis在費(fèi)城工程師俱樂部宣讀的論文中首次提出材料力學(xué)方法，將齒輪視為懸臂梁，推導(dǎo)出齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算公式，并提出齒形系數(shù)概念。從此，對(duì)于齒輪的設(shè)計(jì)和制造有了一定的理論指導(dǎo)。</p><p>　　為了簡(jiǎn)述齒輪

6、強(qiáng)度和變形計(jì)算的發(fā)展，首先必須提到齒面接觸應(yīng)力。由于直齒圓柱齒輪在傳動(dòng)時(shí)可近似看成為兩彈性圓柱體的接觸。關(guān)于兩彈性圓柱體的接觸應(yīng)力和變形問題，很早就有人研究，到1881年Hertz應(yīng)用牛頓勢(shì)函數(shù)，得出了兩接觸間的載荷（接觸壓力）分布的計(jì)算公式；1908年Videky開始把它應(yīng)用于齒輪齒面接觸強(qiáng)度的計(jì)算，從而奠定了齒輪齒面接觸強(qiáng)度計(jì)算的理論基礎(chǔ)。</p><p>　　1892年，Lewis發(fā)展并提出了著名的Lewi

7、s公式，他把齒輪輪齒看作為一懸臂梁并提出了一種方法既能計(jì)算最大彎曲應(yīng)力的大小，又能指出其最弱界面。隨后有不少學(xué)者發(fā)現(xiàn)Lewis方法有很多不足，他們?cè)诒Ａ鬖ewis公式結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上作了一些微小的修改而形成了一套更加精確的公式。比如Dolan and Broghamer和Kelly and Pedersen。所有的這些早期齒根最大彎曲應(yīng)力計(jì)算公式的提出和應(yīng)用，都是以少量的靜載光彈性試驗(yàn)為基礎(chǔ)的。1973年，Toshimi Tobe and

8、Nobuo Takatsu把直齒輪輪齒看成為等界面梁來計(jì)算動(dòng)態(tài)載荷對(duì)輪齒的影響。</p><p>　　1918年，Videky將Hertz公式用于齒輪強(qiáng)度計(jì)算。此后，德國(guó)學(xué)者Niemann、美國(guó)AGMA以及國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織都相繼提出了各自的齒輪強(qiáng)度計(jì)算公式。這些公式雖各有特點(diǎn)，卻都是建立在種種假設(shè)之上的近似公式。</p><p>　　1.2 國(guó)內(nèi)外關(guān)于齒輪應(yīng)力及其相關(guān)學(xué)科的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)

9、</p><p>　　1.2.1 齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的發(fā)展趨勢(shì)</p><p>　　目前，動(dòng)力傳動(dòng)齒輪正朝著高速（圓周速度20~200m/s）、高精度（精度等級(jí)達(dá)到4~5級(jí)以上）、大功率（1000~30000kw）、高性能、高可靠性（工作壽命，兩三年內(nèi)不必進(jìn)行維護(hù)保養(yǎng)）以及小型化方向發(fā)展，這就在設(shè)計(jì)、加工和熱處理等方面對(duì)齒輪性能提出了更高的要求，這些要求反過來又促進(jìn)了齒輪制造業(yè)技術(shù)的更新和蓬勃發(fā)

10、展。</p><p>　　如何改善齒輪的受力狀態(tài)、提高輪齒的承載能力一直是尋找新型齒廓曲線的基本要求和發(fā)展方向，所以，對(duì)齒廓曲線的理論研究一直是齒輪研究的主要內(nèi)容和方向。</p><p>　　提高齒面硬度，可以降低齒面磨損，從而達(dá)到提高輪齒承載能力和傳動(dòng)精度，延長(zhǎng)使用壽命和降低加工成本的目的。研究和實(shí)踐已經(jīng)表明，硬齒面可以使齒根的彎曲強(qiáng)度和齒面的接觸強(qiáng)度都得到提高。目前，我國(guó)減速器設(shè)計(jì)的新

11、標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)由軟齒面改為硬齒面。</p><p>　　材料方面，鋼材的種類及熱處理工藝的好壞將直接影響輪齒的承載能力。對(duì)重要齒輪采用真空脫氧技術(shù)可以提高材料的韌度，改善其加工性能。除齒輪用鋼的冶金質(zhì)量得到嚴(yán)格控制并開發(fā)出多種新牌號(hào)鋼種外，以塑性和高強(qiáng)度球墨鑄鐵制造的齒輪，應(yīng)用范圍日漸廣泛。</p><p>　　加工方面，目前正朝著高速、高效、高精度方向發(fā)展。滾切加工通過采用硬質(zhì)合金滾刀，切削速

12、度已達(dá)到300m/min，切削硬度高達(dá)300~400HBS。采用多頭輥刀，既可提高滾切效率，又能減少刀刃的磨損。使用硬質(zhì)合金前角滾刀進(jìn)行超硬滾切，并與蝸桿珩齒結(jié)合替代磨齒工藝，可以使被加工的齒面沒有燒傷和裂紋，從而提高齒面的強(qiáng)度。</p><p>　　目前的插齒加工工藝，插切速度已經(jīng)達(dá)到1000~2500沖程/min，并可以達(dá)到5~6級(jí)的加工精度。</p><p>　　上述種種發(fā)展趨勢(shì)都要

13、求專業(yè)人員必須全面掌握嚙合理論、加工原理、強(qiáng)度計(jì)算、摩擦潤(rùn)滑、實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)等方面的知識(shí)，并給予足夠的重視，才能順利完成齒輪的研發(fā)工作。</p><p>　　1.2.2 創(chuàng)建精確齒輪模型的發(fā)展歷史</p><p>　　自1765年俄羅斯科學(xué)院院士歐拉提出使用漸近線作為齒廓曲線的建議以后，數(shù)百年來，經(jīng)過眾多國(guó)內(nèi)外科學(xué)家鍥而不舍的努力，相繼提出了多種齒輪強(qiáng)度的計(jì)算方法。但是，由于歷史條件的限制，迄今

14、為止還沒有一種令人滿意的、結(jié)果精確的齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法的問世。就現(xiàn)有的各種方法進(jìn)行比較，有限單元法應(yīng)該是目前最精確的計(jì)算齒輪強(qiáng)度的方法。</p><p>　　要利用有限元法求解齒輪強(qiáng)度并獲得高精度的計(jì)算結(jié)果，創(chuàng)建精確的齒輪模型是關(guān)鍵，而建模的關(guān)鍵步驟是創(chuàng)建出精確的齒廓曲線。</p><p>　　二十世紀(jì)九十年代之前，關(guān)于齒輪形狀的繪制還停留在二維工程制圖的水平上，從繪制的齒形圖上根本看不到齒

15、廓曲線的精確形狀。進(jìn)入九十年代以后，隨著各種大型CAD軟件陸續(xù)登陸中國(guó)，建立齒輪模型的工作才逐漸開展起來，先是二維模型，然后是三維模型。特別是當(dāng)高端軟件出現(xiàn)之后，已經(jīng)為建立精確的齒輪模型提供了足夠的外部條件。</p><p>　　建立齒輪模型遇到的主要問題是，齒廓曲線中的重要組成部分－齒根齒形曲線被忽視了，很少被人仔細(xì)研究。齒輪強(qiáng)度包括了齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度的計(jì)算，要想獲得更精確、更接近真實(shí)值的齒根應(yīng)力值，

16、對(duì)齒根曲面形貌特征的描述就必須精確無誤。</p><p>　　事實(shí)上，齒根齒形曲線在數(shù)學(xué)上早已被下了準(zhǔn)確的定義：齒根齒形曲線是長(zhǎng)幅漸開線或長(zhǎng)幅漸開線的等距曲線（以滾切加工為例）。然而，一直以來還沒有一個(gè)像根齒形曲線漸開線曲線方程那樣被廣泛認(rèn)可的齒公式，這就為精確建模工作豎起了一道難以逾越的障礙。人們只好用齒根圓角或過渡曲線來稱齒根齒形曲線，用平行輪齒對(duì)稱中線的直線或通過回轉(zhuǎn)中心的徑向直線與圓弧組合，來近似齒根齒形

17、曲線。在提出使用精確齒輪模型進(jìn)行齒輪強(qiáng)度有限元計(jì)算之前，這種近似的組合曲線曾經(jīng)被廣泛使用來代替真正的齒根齒形曲線。</p><p>　　推導(dǎo)齒根齒形曲線公式理所當(dāng)然地成為建立精確齒輪模型必須完成的首要任務(wù)?！豆曹椙嬖怼肥巧鲜兰o(jì)五十年代中期，由我國(guó)著名學(xué)者、齒輪方面的權(quán)威專家、ASME Fellow陳志新教授提出并創(chuàng)立的一種理論，是研究特殊型面幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)理論科學(xué)。七十年代以后，國(guó)內(nèi)相繼出現(xiàn)了多個(gè)齒輪嚙合理論

18、的研究學(xué)派。</p><p>　　作為一門科學(xué)，共軛曲面原理的發(fā)展歷史至今還不足五十年，但是，它的應(yīng)用范圍卻非常廣泛，僅僅在齒輪研究領(lǐng)域中的應(yīng)用，就足以顯示這門科學(xué)的博大精深。共軛曲面原理為加工各種復(fù)雜型面奠定了理論基礎(chǔ)，該理論從創(chuàng)立至今一直備受歐、美、日本等西方發(fā)達(dá)國(guó)家的重視。</p><p>　　1.2.3 有限元法在齒輪強(qiáng)度計(jì)算中的應(yīng)用概況及國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀</p>&l

19、t;p>　　仙波正莊在其專著中寫道：“……，本書介紹了迄今為止已發(fā)表的，各種具有代表性的齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法，最后得出的結(jié)論是：不管采用哪種方法，只是得到不準(zhǔn)確的近似結(jié)果，關(guān)于更精確的齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法，今后一定還會(huì)繼續(xù)不斷地研究下去，……?！笨梢?，探索新的計(jì)算方法任重而道遠(yuǎn)。</p><p>　　直齒輪在嚙合過程中，輪齒發(fā)生碰撞是不可避免的，它是引起齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生震動(dòng)和噪聲的主要原因，也是導(dǎo)致輪齒折斷和齒面點(diǎn)

20、蝕的重要原因。所以研究沖擊載荷作用下的齒輪強(qiáng)度問題是非常必要的。</p><p>　　在機(jī)械設(shè)計(jì)中，凡是需要計(jì)算零部件的應(yīng)力、變形、振動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)定性分析中都可以采用有限元方法。有限元法以及優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等現(xiàn)代化設(shè)計(jì)理論正是現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)的常用方法。</p><p>　　為了對(duì)齒輪有限元分析問題作精確的歸類，根據(jù)問題的求解性質(zhì)，有限元的應(yīng)用領(lǐng)域可分為三類：</p

21、><p>　　1）平衡問題—不依賴于時(shí)間的問題，即穩(wěn)態(tài)問題。對(duì)于齒輪的靜態(tài)分析，此方法適合。</p><p>　　2）特征值問題—固體力學(xué)和流體力學(xué)的特征值問題是平衡問題的推廣，這是定常態(tài)問題，時(shí)間因素不明顯表示出來。在特征值問題中，除了像平衡問題那樣確定相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)參數(shù)外，還必須確定某些參數(shù)的臨界值，例如研究結(jié)構(gòu)和振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，要設(shè)計(jì)固有頻率和振型，即特征值和特征向量。</p>

22、<p>　　3）瞬態(tài)問題—即隨著時(shí)間變化的問題。這類問題是把時(shí)間量綱加入到前面兩類問題中，也就是在空間三維參數(shù)X,Y,Z參數(shù)以外，還有一個(gè)時(shí)間參數(shù)t。如結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和流體力學(xué)領(lǐng)域中的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)分析，研究物體受一個(gè)隨著時(shí)間變化的載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，熱傳導(dǎo)中研究突變冷熱下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。</p><p>　　利用有限單元方法研究齒根應(yīng)力的工作始于二十世紀(jì)六、七十年代。1973年，D.B.Wallace和A.S

23、ering對(duì)一個(gè)齒輪模型進(jìn)行了應(yīng)力、變形和斷裂研究，計(jì)算了在齒輪輪廓上三個(gè)特殊點(diǎn)處作用同一個(gè)脈沖載荷時(shí)齒根應(yīng)力隨時(shí)間的變化規(guī)律；1974年，G.Charbert使用二維有限元法對(duì)一個(gè)齒輪模型進(jìn)行了齒根應(yīng)力和撓曲變形的動(dòng)態(tài)有限元分析；1988年，V.Ramamurti和M.Ananda Rao利用二維有限元法和循環(huán)對(duì)稱概念計(jì)算了齒根應(yīng)力隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。1989年，M.A.Sireg Arikan和Bilgin和N.Ganesan研究

24、了直齒輪的動(dòng)載荷與齒根應(yīng)力的關(guān)系。1993年，S.Vijayarangan和N.Ganesan利用三維有限元法計(jì)算了一個(gè)輪齒在移動(dòng)線載荷和沖擊載荷作用下齒根應(yīng)力隨時(shí)間變化規(guī)律。1999年，D.Barlam和E.Zahavi利用有限元法對(duì)曲面的接觸問題進(jìn)行了研究。</p><p>　　國(guó)內(nèi)方面，楊生華利用二維、三維單齒模型和三對(duì)輪齒的嚙合模型，使用集中力載荷作為加載方式，進(jìn)行了齒輪強(qiáng)度有限元計(jì)算。徐步青針對(duì)沖擊載荷

25、以及移動(dòng)載荷作用下的齒輪簡(jiǎn)化模型，按照集中力載荷和線分布作為加載方式，進(jìn)行了齒根彎曲作用下的二維、三維有限元計(jì)算，并對(duì)兩種模型的結(jié)果進(jìn)行了比較。陳玲等人利用三齒和五齒模型對(duì)汽車以及拖拉機(jī)半軸齒輪進(jìn)行了靜、動(dòng)態(tài)相應(yīng)的有限元分析。</p><p>　　1.3 本次畢業(yè)設(shè)計(jì)的意義、主要內(nèi)容及要做的工作</p><p>　　本次畢業(yè)設(shè)計(jì)的主要內(nèi)容是單個(gè)齒輪進(jìn)行靜態(tài)的有限元分析。這種分析方法具有很強(qiáng)

26、的實(shí)用價(jià)值，我們可以根據(jù)實(shí)際條件模擬物體的各種運(yùn)動(dòng)和不同的材料的應(yīng)力，可以節(jié)省材料，提高生產(chǎn)和設(shè)計(jì)效率。</p><p>　　在進(jìn)行有限元分析之前，先以齒輪漸開線公式為基礎(chǔ)，利用高端Pro/E軟件創(chuàng)建相對(duì)精確的齒輪齒廓曲線，并通過數(shù)據(jù)接口將模型導(dǎo)入到有限元分析軟件中去。利用ANSYS軟件擁有的超強(qiáng)的FEM模塊，選擇二維和三維全齒數(shù)模型作為研究對(duì)象，將兩者結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以找到一種更精確的齒輪強(qiáng)度的計(jì)算方法。<

27、/p><p>　　第2章　有限元分析的基礎(chǔ)理論與ANSYS軟件介紹</p><p>　　有限單元法（簡(jiǎn)稱有限元法，F(xiàn)EM）被認(rèn)為是目前最精確的齒輪強(qiáng)度計(jì)算方法。它是二十世紀(jì)中期才興起的，集應(yīng)用數(shù)學(xué)、力學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)于一體，相互滲透、綜合利用的交叉學(xué)科。有限元法具有快速、準(zhǔn)確、靈活、可靠的分析計(jì)算能力，可以模擬各種實(shí)際工作條件。與其他方法相比，有限元可以節(jié)省大量的人力、物力、財(cái)力，是一種經(jīng)濟(jì)、簡(jiǎn)

28、易、方便、快捷的計(jì)算方法。</p><p>　　2.1 有限元分析法概述</p><p>　　2.1.1 有限元法的概念</p><p>　　有限元法最初被用來研究復(fù)雜的飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力，它是將彈性理論、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)軟件有機(jī)地結(jié)合在一起的一種數(shù)值分析技術(shù)。后來，由于這種方法的靈活、快速和有效性，迅速發(fā)展成為求解各領(lǐng)域數(shù)理方程的一種通用的近似計(jì)算方法。目前，它在許

29、多科學(xué)領(lǐng)域和實(shí)際工程問題中得到了廣泛的應(yīng)用，因此，在工科院校和工業(yè)界受到普遍的重視。</p><p>　　在求解工程技術(shù)領(lǐng)域的實(shí)際問題時(shí)，建立基本方程和邊界還是比較容易的，但是，由于其幾何形狀、材料特性和外部載荷的不規(guī)則性，很難求得解析解。因此，尋求近似解法就成為了必由之路。經(jīng)過多年的探索，近似算法有許多種，但是常用的數(shù)值分析是差分法和有限元法。</p><p>　　差分法計(jì)算可給出模型基

30、本方程的逐點(diǎn)近似值（差分網(wǎng)格上的點(diǎn)），但是由于不規(guī)則的幾何形狀和不規(guī)則的特殊的邊界條件，差分法就難以應(yīng)用了。</p><p>　　有限元分析法把求解區(qū)域看作有許多小的節(jié)點(diǎn)處相互連接的子域（單元）構(gòu)成，其模型給出了基本方程的大單元近似值。由于單元可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸，所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件，再加上有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持，它已成為一種非常受歡迎的、應(yīng)用極廣的

31、數(shù)值計(jì)算方法。</p><p>　　2.1.2 有限元法的基本思想</p><p>　　有限元法的基本思想是通過節(jié)點(diǎn)或者單元描述，把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)合理的化分為可以計(jì)算的微小的單元，通過有限個(gè)單元的組合求出由單元描述的結(jié)構(gòu)整體行為。古代的人們把圓周簡(jiǎn)化為由有限個(gè)直線組成的多邊形，可以說是有限元法的最早的應(yīng)用。有限元法的具體應(yīng)用可概括為如下幾個(gè)步驟：</p><p><

32、;b>　　1、物體的離散化</b></p><p>　　就是將擬劃分的物體假象地分為有限個(gè)分區(qū)、分塊或分塊的集合表示原來的物體，籍此建立起單元力學(xué)分量與未知分量的關(guān)系式，集成結(jié)構(gòu)分析方程式。如圖2－1所示的物體被分割成許多的單元。</p><p>　　圖2-1 物體的離散化</p><p>　　2、挑選形函數(shù)或插值函數(shù)</p><

33、;p>　　物體或結(jié)構(gòu)離散化后，用被稱為位移模式或位移函數(shù)的近似函數(shù)對(duì)單元內(nèi)的一些力學(xué)量進(jìn)行描述，單元的位移模式需滿足一定的條件。</p><p><b>　　3、確定單元的性質(zhì)</b></p><p>　　所謂單元的性質(zhì)就是對(duì)單元的力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行描述。一般用單元的剛度矩陣（或柔度矩陣）來描述單元的性質(zhì)，確立單元節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系。</p><p

34、>　　4、組成物體的總性質(zhì)方程組</p><p>　　組成物體的總性質(zhì)方程組就是由單元?jiǎng)偠染仃嚰杀硎菊麄€(gè)物體性質(zhì)的總剛度矩陣（或柔度矩陣），從而建立起整個(gè)物體已知量―點(diǎn)載荷與整個(gè)物體的未知量―總節(jié)點(diǎn)位移或應(yīng)力的關(guān)系。</p><p><b>　　5、解方程組</b></p><p>　　上述所形成的總性質(zhì)方程組往往數(shù)目比較龐大，可能是幾

35、十個(gè)、幾百個(gè)、甚至于成百上千萬個(gè)，對(duì)于這些方程組需要運(yùn)用一定的計(jì)算數(shù)學(xué)方法解出其未知數(shù)。</p><p><b>　　6、進(jìn)一步計(jì)算</b></p><p>　　在求得整個(gè)結(jié)構(gòu)的未知量后，可進(jìn)一步求得單元的未知量。</p><p>　　在有限元法的物理－數(shù)學(xué)描述中，一般有兩種求解微分方程的方法：力法和位移法。由于位移法可以滿足動(dòng)力學(xué)的協(xié)調(diào)性，并

36、且通過借助于與時(shí)間有關(guān)的位移矢量，可用于動(dòng)態(tài)和非線性問題，同時(shí)通過與其它點(diǎn)有關(guān)的附加函數(shù)可保證滿足幾何的邊界條件，所以有限元法一般都采用位移法求解。由上面的過程還可以看出，用有限元法解決問題工作量很大，不借助于電子計(jì)算機(jī)的幫助，有限元法的應(yīng)用是相當(dāng)困難的。</p><p>　　2.1.3 有限元法發(fā)展的概況</p><p>　　有限元分析的概念可以追溯到20世紀(jì)40年代。1943年，Cou

37、rant第一次在他的論文中，取定義在三角形分片上的連續(xù)函數(shù)，利用最小勢(shì)能函數(shù)原理研究了St. Venant的扭轉(zhuǎn)問題。此方法發(fā)展很慢，過了近十年才再次有人用這些離散化的概念。1956年，Turner，Clough，Martin和Topp等人在他們的經(jīng)典論文中第一次給出了用三角形單元求得的平面應(yīng)力問題的真正解答。他們利用彈性理論的方程求出了三角單元的特性，并第一次介紹了今天人們熟知的確定單元特性的直接剛度法。他們的研究工作隨同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)字

38、計(jì)算機(jī)一起打開了求解復(fù)雜平面彈性問題的新局面。</p><p>　　“有限元法”這個(gè)名稱，第一次出現(xiàn)在1960年，當(dāng)時(shí)Clough在一篇平面彈性問題的論文中應(yīng)用過它。工程師們開始認(rèn)識(shí)了有限元法的功效，此后，有限元法在工程界獲得了廣泛的應(yīng)用。到20世紀(jì)70年代以后，隨著計(jì)算機(jī)和軟件技術(shù)的發(fā)展，有限元法也隨之迅速地發(fā)展起來了，發(fā)表的有關(guān)論文猶如雨后春筍，期刊、專著也不斷出現(xiàn)，學(xué)術(shù)交流頻繁，可以說進(jìn)入了有限元法的鼎盛時(shí)

39、期。該時(shí)期對(duì)有限元法進(jìn)行了全面而深入的研究，涉及的內(nèi)容有：</p><p>　　· 有限元法在數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域所依據(jù)的理論；</p><p>　　· 單元的劃分原則、形狀函數(shù)的選擇及協(xié)調(diào)性；</p><p>　　· 有限元法所涉及的各種數(shù)值計(jì)算方法及其誤差、收斂性和穩(wěn)定性；</p><p>　　· 計(jì)算機(jī)

40、程序設(shè)計(jì)技術(shù)；</p><p>　　· 向其他各領(lǐng)域的推廣。</p><p>　　近年來隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和計(jì)算速度的不斷提高，有限元分析在工程設(shè)計(jì)和分析中得到了越來越廣泛的重視，已經(jīng)成為解決復(fù)雜的工程分析計(jì)算問題的有效途徑，現(xiàn)在從汽車到航天飛機(jī)幾乎所有的設(shè)計(jì)制造都已離不開有限元分析計(jì)算，其在機(jī)械制造、材料加工、航空航天、汽車、土木建筑、電子電器，國(guó)防軍工，船舶，鐵道，石化，能

41、源，科學(xué)研究等各個(gè)領(lǐng)域的廣泛使用已使設(shè)計(jì)水平發(fā)生了質(zhì)的飛躍，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： </p><p>　　增加產(chǎn)品和工程的可靠性； </p><p>　　在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段發(fā)現(xiàn)潛在的問題；</p><p>　　經(jīng)過分析計(jì)算，采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，降低原材料成本；</p><p>　　縮短產(chǎn)品投向市場(chǎng)的時(shí)間；</p><p>

42、;　　模擬試驗(yàn)方案，減少試驗(yàn)次數(shù)，從而減少試驗(yàn)經(jīng)費(fèi)。</p><p>　　到目前為止，有限元法已被應(yīng)用于固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域；能進(jìn)行由桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題的求解，包括靜力和動(dòng)力問題；能求解流體場(chǎng)。溫度場(chǎng)、電磁場(chǎng)等場(chǎng)分析問題的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題；還能求解水流管路、電路、潤(rùn)滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。</p

43、><p>　　2.1.4 有限元常用術(shù)語(yǔ)</p><p>　　有限元法的基本思路是“化整為零，積零化整”。它的求解步驟是：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)離散成有限元多個(gè)單元，并在每個(gè)單元中設(shè)定有限元多個(gè)節(jié)點(diǎn)，將連續(xù)體看作是只在節(jié)點(diǎn)處相連接的一組單元的集合體；然后選定場(chǎng)函數(shù)的分布規(guī)律；進(jìn)而利用力學(xué)中的變分原理建立用以求解的有限自由度問題。求解結(jié)束后，利用解得的節(jié)點(diǎn)值和設(shè)定的插值函數(shù)確定單元上以至整個(gè)集合體上的場(chǎng)函

44、數(shù)。</p><p>　　單元可以設(shè)計(jì)成不同的幾何形狀以及模擬和逼真復(fù)雜的求解域。顯然，如果插值函數(shù)滿足一定要求，隨著單元數(shù)目的增加，解的精度會(huì)不斷提高而最終收斂于問題的精確解。從理論上說，無限制地增加單元的數(shù)目可以使數(shù)值分析最終收斂于問題的精確解，但是這卻增加了計(jì)算機(jī)計(jì)算所耗費(fèi)的時(shí)間。在實(shí)際工程應(yīng)用中，只要所得的數(shù)據(jù)能夠滿足工程需要就足夠了。有限元分析法的基本策略就是在分析的精度和分析的時(shí)間上找到一個(gè)最佳平衡點(diǎn)

45、。</p><p>　?。?）單元 結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格劃分中的每一個(gè)小的塊體稱為一個(gè)單元。常見的單元類型有線段單元、三角形單元、四邊形單元、四面體單元和六面體單元幾種。由于單元是組成有限元模型的基礎(chǔ)，因此，單元的類型對(duì)于有限元分析是至關(guān)重要的。</p><p>　　（2）節(jié)點(diǎn) 確定單元形狀的點(diǎn)就叫節(jié)點(diǎn)。例如線段單元只有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，三角形單元有3個(gè)或者6個(gè)節(jié)點(diǎn)，四邊形單元最少有4個(gè)節(jié)點(diǎn)等。<

46、/p><p>　?。?）載荷 工程結(jié)構(gòu)所受到的外在施加的力稱為載荷，包括集中載荷和分布載荷等。在不同的學(xué)科中，載荷的含義也不盡相同。在電磁場(chǎng)分析中，載荷是指結(jié)構(gòu)所受的電場(chǎng)和磁場(chǎng)作用；在溫度場(chǎng)分析中，所受的載荷則是指溫度本身。</p><p>　?。?）邊界條件 邊界條件是指結(jié)構(gòu)邊界上所受到的外加約束。在有限元分析中，邊界條件的確定是非常重要的因素。錯(cuò)誤的邊界條件使程序無法正常運(yùn)行，施加正確

47、的邊界條件是獲得正確的分析結(jié)果和較高的分析精度的重要條件。</p><p>　　2.1.5 有限元法的分析過程</p><p>　　應(yīng)用有限單元法分析的一般過程流程圖如圖2-2所示，圖中指出了分析過程的主要步驟及其相互關(guān)系。</p><p>　　圖2-2 有限單元法分析的一般流程圖</p><p>　　有限元分析中各主要步驟的主要工作如下：&

48、lt;/p><p>　?。?）研究分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 研究分析所需求解對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，包括形狀、邊界條件、工況、載荷特點(diǎn)；初步建立物理力學(xué)模型，包括形狀的簡(jiǎn)化、構(gòu)件間連接的簡(jiǎn)化、支承的簡(jiǎn)化、材料的簡(jiǎn)化、截面特性的簡(jiǎn)化、載荷的分析等。這一步工作的好壞對(duì)整個(gè)計(jì)算影響很大。</p><p>　?。?）形成有限元計(jì)算模型 根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定單元類型，選取節(jié)點(diǎn)，形成網(wǎng)格圖，同時(shí)選定支承及邊界條件以及決定載

49、荷的處理，最終形成計(jì)算數(shù)據(jù)文件。這一步既對(duì)選擇怎樣的軟件有影響，又受所選軟件的限制和制約，因?yàn)檫x定所用的軟件后，單元類型、單元數(shù)據(jù)、節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、邊界與載荷的處理，以及最終的數(shù)據(jù)文件都要按軟件規(guī)定處理。</p><p>　?。?）選擇有限元軟件或編制計(jì)算程序 根據(jù)結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型，選擇或編制有限元計(jì)算軟件。選定所用軟件后，又要根據(jù)軟件的要求修改計(jì)算模型。</p><p>　?。?）上機(jī)試算

50、為了檢驗(yàn)計(jì)算模型的正確性，同時(shí)熟悉所選定的軟件，或者考核新編制的程序，一般要進(jìn)行試算。試算時(shí)可在所形成的計(jì)算模型上加單位載荷，確認(rèn)計(jì)算結(jié)果正確無誤后，方可進(jìn)入下一步。</p><p>　?。?）計(jì)算模型準(zhǔn)確性判別 試算順利結(jié)束后，一定要根據(jù)計(jì)算模型是否準(zhǔn)確，這是關(guān)系到有限元分析是否正確無誤的關(guān)鍵。最常用的方法是將計(jì)算機(jī)結(jié)果與通過試驗(yàn)測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行比較，如果兩者之間的誤差在工程允許的范圍之內(nèi)的，則認(rèn)為這個(gè)計(jì)算模型

51、是準(zhǔn)確的。判別的其他方法還有，根據(jù)理論計(jì)算結(jié)果（如果存在的話）及常識(shí)進(jìn)行判別，或?qū)ν粏栴}用其他軟件計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較。</p><p>　　（6）修改計(jì)算模型或修改程序 當(dāng)計(jì)算結(jié)果誤差過大時(shí)，應(yīng)重新修改計(jì)算模型，有時(shí)甚至要更新計(jì)算模型。修改計(jì)算模型可從單元的類型、節(jié)點(diǎn)與單元的劃分和邊界條件等著手。對(duì)自編程序，可以檢查、分析程序的每一步驟，特別要注意數(shù)據(jù)的傳遞等，確保程序各方面無任何錯(cuò)誤。如果使用的是普通軟件，

52、則可以用過驗(yàn)證題、使用手冊(cè)等途徑進(jìn)一步熟悉程序，理解輸入、輸出數(shù)據(jù)的確切含義。</p><p>　?。?）正式計(jì)算以及計(jì)算結(jié)果整理 若結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型判別為是準(zhǔn)確的，則可施加各工況載荷進(jìn)行正式計(jì)算。計(jì)算完成后，要對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行整理，已得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力圖、變形圖或振型圖等。</p><p>　?。?）結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方案的判別 根據(jù)整理得到的計(jì)算結(jié)果，如應(yīng)力圖、變形圖等，來判斷設(shè)計(jì)是否合理。若得出結(jié)

53、構(gòu)的薄弱區(qū)域或者是強(qiáng)度富裕區(qū)域等設(shè)計(jì)不合理之處，可對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，并修改相應(yīng)計(jì)算模型，重新計(jì)算。若設(shè)計(jì)方案合理，則輸出最終較佳的設(shè)計(jì)方案。</p><p>　　從使用有限元程序的角度講，有限單元法分析又可分成三大步，如圖2所示。</p><p>　　圖2-3 有限元分析的三個(gè)步驟</p><p>　　前處理實(shí)際上是對(duì)計(jì)算對(duì)象劃分網(wǎng)格、形成計(jì)算模型的過程，包括單元類型

54、的選擇、節(jié)點(diǎn)和單元網(wǎng)格的確定、約束載荷的移置等。求解則是在形成總剛度方程并進(jìn)行約束處理后求解大型聯(lián)立線性方程組、最終得到結(jié)點(diǎn)位移的過程，解方程組的方法有很多種，通用軟件根據(jù)其自身特點(diǎn)選用一、兩種方法。后處理則是對(duì)計(jì)算結(jié)果的處理和數(shù)據(jù)的輸出，包括各種應(yīng)力、位移或振型的整理，形成等應(yīng)力線、變形圖、振型圖等。</p><p><b>　　前處理</b></p><p>　　

55、根據(jù)計(jì)算目的，前處理時(shí)將聯(lián)系的實(shí)際結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為理想的數(shù)學(xué)模型，用離散化的網(wǎng)格代替，并最終形成計(jì)算數(shù)據(jù)文件。對(duì)每一個(gè)所分析的結(jié)構(gòu)構(gòu)件都必須給出下列信息：節(jié)點(diǎn)空間位置（坐標(biāo)值），單元信息（包括單元類型、組成節(jié)點(diǎn)號(hào)、截面特征），結(jié)構(gòu)的材料特征參數(shù)，邊界條件或約束信息，各類載荷。</p><p>　　在構(gòu)成離散化模型時(shí)，為了使模型較合理，還必須遵循以下原則：</p><p>　　·在不影響

56、計(jì)算精度的前提下，盡量簡(jiǎn)化計(jì)算模型以減少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)容量；</p><p>　　·選擇合理的單元類型；</p><p>　　·在所關(guān)心的區(qū)域加密計(jì)算網(wǎng)格；</p><p>　　·在編排節(jié)點(diǎn)時(shí)，盡量減少相關(guān)單元的節(jié)點(diǎn)號(hào)之差，減少帶寬，以減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量。</p><p><b>　　求解</b>

57、;</p><p>　　求解時(shí)將前處理得到的有關(guān)單元信息輸入計(jì)算，運(yùn)行有限元程序，進(jìn)行分析計(jì)算。</p><p><b>　　后處理</b></p><p>　　有限元分析是一種大規(guī)模的科學(xué)計(jì)算，計(jì)算勢(shì)必產(chǎn)生大量的數(shù)字信息。只有在對(duì)這些計(jì)算輸出信息進(jìn)行仔細(xì)分析、理解之后，才有可能掌握計(jì)算中出現(xiàn)的情況和問題，才有可能獲得對(duì)被分析對(duì)象的認(rèn)識(shí)和見解。

58、</p><p>　　有限元分析輸出的計(jì)算結(jié)果，包括以下三個(gè)基本類型：</p><p>　　·節(jié)點(diǎn)類數(shù)據(jù) 直接給出模型節(jié)點(diǎn)處的結(jié)果（應(yīng)力、位移、內(nèi)力、溫度值等）。</p><p>　　·單元類數(shù)據(jù) 給出單元節(jié)點(diǎn)處或內(nèi)部指定處的結(jié)果（各種應(yīng)力分量、應(yīng)力組合、等位線等）。</p><p>　　·整體類數(shù)據(jù) 通過

59、對(duì)某些單元結(jié)果求和得到整個(gè)總體模型參數(shù)，通常用以檢查模型的有效性或特定分析的精度等。</p><p>　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元的計(jì)算能力和圖形處理能力都得到了很大提高，不但在工作站上，而且在微型計(jì)算機(jī)上都能夠?qū)崿F(xiàn)以下功能，使人們可以立即對(duì)計(jì)算機(jī)結(jié)果用圖像方式進(jìn)行研究、分析，以獲得正確結(jié)論。</p><p>　　·具有二維乃至三維顯示功能；</p><

60、;p>　　·具有對(duì)圖形進(jìn)行交互縮放的功能，因?yàn)橛?jì)算域往往很大，人們有時(shí)只關(guān)心局部區(qū)域；</p><p>　　·可以動(dòng)態(tài)地顯示結(jié)果隨時(shí)間的變化情況；</p><p>　　·可使結(jié)果包含濃淡過渡的彩色色譜，準(zhǔn)確顯示足夠多的細(xì)節(jié)，如位移分量、位移總量、應(yīng)力分量、應(yīng)力的結(jié)合、塑性區(qū)、等位線等，使人們能直觀、清晰地定性或定量地獲取部分區(qū)域或某些點(diǎn)上的某些物理量的值

61、。</p><p>　　·能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)交互地隨視點(diǎn)位置變更而顯示圖形，這是增強(qiáng)結(jié)果顯示三維效應(yīng)的最好的辦法。</p><p>　　·能交互地修改顏色對(duì)照表，并實(shí)時(shí)地改變圖形顏色。</p><p>　　除此之外，后處理中一般還包含在當(dāng)前流行的各種繪圖儀和打印機(jī)上實(shí)現(xiàn)圖形硬拷貝輸出的驅(qū)動(dòng)軟件，以及與多種CAD系統(tǒng)（如AutoCAD，Pro/E，Soli

62、dwork等）、IEGS國(guó)際圖形交換系統(tǒng)和Microsoft Word等字處理和桌面辦公系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)文件直接交換的接口，成為一種開放式系統(tǒng)。</p><p>　　今后，隨著上述功能的進(jìn)一步增強(qiáng)，有限元分析模塊將自然嵌入、銜接在CAD系統(tǒng)中，從而為工程技術(shù)人員實(shí)現(xiàn)真的、完全的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)提供更理想的前景。</p><p>　　2.2 有限元平面問題的基礎(chǔ)理論</p><

63、p>　　2.2.1 基本未知量和基本方程的矩陣表示</p><p>　　在有限元法中，為了簡(jiǎn)潔地表示各個(gè)基本量以及它們之間的關(guān)系，也為了便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，廣泛采用矩陣表示和矩陣運(yùn)算。</p><p>　　在平面問題中，物體所受的體積力可用矩陣表示為</p><p>　　{p}==[ ] （2-1）</

64、p><p>　　式中上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。</p><p>　　同樣，物體所受的表面力可用矩陣表示為</p><p>　　{p}=[p p] （2-2）</p><p>　　一點(diǎn)的位移可用矩陣表示為</p><p>　　{}=[u v]

65、 （2-3）</p><p>　　一點(diǎn)的應(yīng)變分量可用矩陣表示為</p><p>　　{}=[ ] （2-4）</p><p>　　一點(diǎn)的應(yīng)力分量可用矩陣表示為</p><p>　　=[ ] （2-5）</p>

66、<p>　　由幾何方程，式（2-4）所表示的應(yīng)變分量可以寫成</p><p>　　{}= （2-6）</p><p>　　彈性力學(xué)中，平面問題可劃分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。對(duì)于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問題，物理方程可用矩陣形式表示為：</p><p><b>　?。?-7）</b><

67、;/p><p>　　式中E、分別為彈性模量和泊松比。上式可簡(jiǎn)化為</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　[D]= （2-9）</p><p>　　稱為平面應(yīng)力問

68、題的彈性矩陣。對(duì)于平面應(yīng)變問題，物理方程也可以用式</p><p>　　(2-8)將式(2-9)所示的彈性矩陣[D]中的E換成，換成。</p><p>　　2.2.2 單元分析</p><p>　　以下對(duì)平面應(yīng)力問題中的三角形單元進(jìn)行分析，建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?lt;/p><p><b>　　1 節(jié)點(diǎn)位移</b></p&

69、gt;<p>　　圖2－1所示彈性體用三角形單元進(jìn)行離散以后，取任一單元進(jìn)行分析，其節(jié)點(diǎn)i,j,m按逆時(shí)針方向排列。每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個(gè)分量：</p><p>　　[ ] (i,j,m) （2-10）</p><p>　　式中為節(jié)點(diǎn)沿x軸和y軸方向的位移分量。記號(hào)表示其它節(jié)點(diǎn)的位移可以按下標(biāo)i,j,m輪換得到。</p

70、><p>　　一個(gè)三角形單元有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，共有6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，它們可用矩陣表示為</p><p>　　[ ]=[ ] （2-11）</p><p><b>　　2 位移模式</b></p><p>　　假設(shè)單元體中任意一點(diǎn)的位移分量是x,y的函數(shù)，選擇最簡(jiǎn)單的線性函數(shù)作為位移模式，即：</p&g

71、t;<p>　　u=+x+y v=+x+y （2-12）</p><p>　　式中為待定常數(shù)，可以由單元的結(jié)點(diǎn)位移確定。</p><p>　　設(shè)結(jié)點(diǎn)i,j,m坐標(biāo)分別為，結(jié)點(diǎn)位移為。將它們代入式(2-12)中，有</p><p><b>　?。?-13）</b></p><

72、;p>　　聯(lián)立求解上述公式左邊的3個(gè)方程，可以求出待定系數(shù)為</p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　式中A為三角形單元ijm的面積，</p><p>　　A＝ （2-15）</p><p>　　為使求得面積的值為正值，結(jié)點(diǎn)i,j,m的

73、次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，至于將哪個(gè)結(jié)點(diǎn)作為起始結(jié)點(diǎn)i,則沒有關(guān)系。</p><p>　　將式(2-14)代入(2-12)的第一式，整理后得</p><p><b>　?。?-16a）</b></p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　?。?-16b）</b

74、></p><p>　　式中 </p><p>　　(i,j,m) （2-17）</p><p><b>　　如令 </b></p><p>　　(i,j,m) （2-18）</p><p>　　則位移模式(2-16)可以簡(jiǎn)寫為&l

75、t;/p><p><b>　?。?-19）</b></p><p>　　式中 是坐標(biāo)的函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，因而稱為位移函數(shù)的形式函數(shù)，其形式將在下面進(jìn)一步討論。</p><p>　　由式(2-19)和（2-3）單元中一點(diǎn)的位移可用結(jié)點(diǎn)位移表示為下列矩陣形式</p><p><b>　?。?-20）<

76、/b></p><p>　　式中[N]稱為單元形函數(shù)矩陣，其維數(shù)為2x6，進(jìn)一步可寫為分塊形式</p><p><b>　?。?-21）</b></p><p><b>　　其中子矩陣 </b></p><p>　?。╥,j,m） （2-22）</p&

77、gt;<p>　　式中I為2階單位矩陣。</p><p>　　根據(jù)形函數(shù)的定義式(2-18),容易證明形函數(shù)具有以下性質(zhì):</p><p>　　形函數(shù)在結(jié)點(diǎn)上的值等于1,在其他結(jié)點(diǎn)上的值等于0；</p><p>　　在單元任意一點(diǎn)，三個(gè)形函數(shù)之和等于1；</p><p>　　在三角形單元邊界i,j上一點(diǎn)（x,y）,有形函數(shù)公式&

78、lt;/p><p>　　形函數(shù)在單元上的面積分和邊界ij上的線積分公式為</p><p><b>　?。?-23）</b></p><p>　　式中為邊ij的長(zhǎng)度。</p><p>　　3 單元應(yīng)變和應(yīng)力 </p><p>　　有了單元的位移模式，就可以應(yīng)用幾何方程求得單元的應(yīng)變。將式(2-16)代入

79、式(2-6)，得到應(yīng)變和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式</p><p><b>　?。?-24）</b></p><p>　　上式簡(jiǎn)寫為 </p><p><b>　?。?-25）</b></p><p>　　式中[B]為單元應(yīng)變矩陣（又稱為幾何矩陣），其維數(shù)為3x6。</p>

80、;<p>　　它可以寫成分塊形式 </p><p>　　其中子矩陣 </p><p>　　(i,j,m) （2-26）</p><p>　　式(2-24)是用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變的矩陣方程。由于與x,y無關(guān)，都是常量，因此[B]矩陣也是常量。單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變與結(jié)點(diǎn)位移的乘積，因而也都是

81、常量。因此，這種單元被稱為常應(yīng)變單元。</p><p>　　在平面問題的物理方程式（2-7）中，將式（2-25）代入，得</p><p><b>　?。?-27）</b></p><p><b>　　上式也可寫成為 </b></p><p><b>　?。?-28）</b>&l

82、t;/p><p>　　這就是應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。其中[S]稱為單元應(yīng)力矩陣，并且</p><p>　　[S]=[D]{B} （2-29）</p><p>　　因?yàn)閇D]是3x3矩陣，[B]是3x6矩陣，因此[S]也是3x6矩陣，它可寫成分塊的形式：</p><p><b>　?。?-3

83、0）</b></p><p>　　由于（2-9）所表示的平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，以及由式（2-26）所表示的應(yīng)變矩陣，可得式（2-30）中應(yīng)力矩陣的子矩陣</p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　對(duì)于平面應(yīng)變問題，只要將上式中的E換成，換成，就得到應(yīng)力矩陣的子矩陣</p><p>

84、;<b>　?。?-32）</b></p><p>　　由于三角形單元中的[D]、[B]矩陣都是常數(shù)矩陣，所以[S]矩陣也是常數(shù)矩陣。也就是說，三角形單元內(nèi)的應(yīng)力分量也是常量。當(dāng)然，相鄰單元的E、、A和</p><p>　　一般是不完全相同的，故他們將具有不同的應(yīng)力，這就造成在相鄰單元的公共邊上存在著應(yīng)力突變現(xiàn)象。但是隨著網(wǎng)格的細(xì)分，這種突變將會(huì)迅速減小，有限元法的解

85、答將收斂與正確解答。</p><p><b>　　4 剛度矩陣</b></p><p>　　設(shè)三角形單元結(jié)點(diǎn)力向量為，則可寫成</p><p>　　= （2-33）</p><p><b>　　由虛位移原理得</b></p><p><b>　　

86、（2-34）</b></p><p>　　式中，“*”表示虛設(shè)狀態(tài)，t為厚度。上式可改寫成</p><p><b>　　=（2-35）</b></p><p>　　由于虛位移是任意的，故得，</p><p><b>　?。?-36）</b></p><p>　　式

87、中，A為三角形單元面積，,稱為單元?jiǎng)偠染仃嚒?lt;/p><p>　　2.2.3 整體分析</p><p>　　前面從結(jié)構(gòu)中取出一個(gè)典型的三角形單元進(jìn)行了單元分析，再把各個(gè)單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。</p><p>　　首先不考慮的集體支撐情況，由結(jié)點(diǎn)位移求解點(diǎn)力時(shí)，轉(zhuǎn)換關(guān)系可寫成：</p><p><b>　?。?-37）<

88、/b></p><p>　　式中，[K]稱作整體剛度矩陣，它可由單元?jiǎng)偠染仃嚢磩偠燃煞ǖ玫健?lt;/p><p>　　然后引入支撐條件和受力情況，便可解方程組，求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)一步可求出應(yīng)力。</p><p>　　2.3 有限元三維機(jī)械應(yīng)力問題的基礎(chǔ)理論</p><p>　　對(duì)于彈性連續(xù)體，設(shè)其零應(yīng)力狀態(tài)的溫度為T0，線性熱膨脹系數(shù)為，楊

89、氏彈性模量為E，泊松比為，剪切彈性模量為G，彈性連續(xù)體上的一微元體，其沿x1,x2,x3方向上的體力為X1,X2,X3，邊界上受力為，工作溫度為T，則彈性體應(yīng)滿足以下方程：</p><p><b>　?。?-38）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　其中，為彈性模量，分別為應(yīng)力矩陣、總應(yīng)

90、變矩陣和熱應(yīng)變矩陣。</p><p>　　彈性體的邊界條件為位移邊界條件、力邊界條件和混合邊界條件：</p><p><b>　　位移邊界條件為 </b></p><p>　?。╥=1,2,3） （2-39）</p><p><b>　　力邊界條件為</b><

91、;/p><p>　?。╥=1,2,3） （2-40）</p><p>　　混合邊界條件之給定邊界上部分力分量和部分位移分量，針對(duì)具體問題，利用（2-39）、（2-40）兩式來表達(dá)。</p><p><b>　　由虛位移原理得</b></p><p><b>　?。?-41）<

92、/b></p><p>　　式中，S1為力邊界區(qū)域，S2為位移邊界區(qū)域，F(xiàn)ni為力邊界上力張量。虛位移原理式（2-41）可表達(dá)為變分形式</p><p><b>　?。?-42）</b></p><p><b>　　令： </b></p><p><b>　?。?-43）</b

93、></p><p>　　其中U為應(yīng)變能密度，滿足稱為許可位移下受力彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能函數(shù)。由虛位移原理得到最小勢(shì)能原理，對(duì)于給定的彈性力學(xué)問題，在一切許可位移場(chǎng)中，真解使系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值，且使總勢(shì)能取極小值者必為真解，其數(shù)學(xué)表達(dá)為 </p><p>　　=0 （2-44）</p><p>　　有限元法研究三

94、維彈性問題，現(xiàn)將所研究的彈性體分割為一系列的單元體，單元可以是四面體、五面體或六面體，按單元給出結(jié)構(gòu)的勢(shì)能函數(shù)為</p><p><b>　?。?-45）</b></p><p>　　單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移又單元各節(jié)點(diǎn)的位移唯一確定。即：</p><p><b>　?。?-46）</b></p><p&g

95、t;　　其中ne為該單元邊界上的節(jié)點(diǎn)數(shù)，Ni是形函數(shù)，將式（2-46）帶入式（2-45），根據(jù)最小勢(shì)能原理式（2-44）經(jīng)過一系列推導(dǎo)，可得到有限元法的基本方程</p><p><b>　?。?-47）</b></p><p>　　其中[F]稱為總剛度矩陣，稱為總結(jié)點(diǎn)位移矩陣，{F}成為總載荷矩陣。</p><p>　　2.4 ANSYS軟件概

96、述</p><p>　　ANSYS軟件是一個(gè)功能強(qiáng)大而靈活的大型通用有限元分析軟件。它融結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁、聲學(xué)于一體，廣泛應(yīng)用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、機(jī)械工程、航空航天、土木工程、汽車交通、能源、電子、國(guó)防、地礦、水利、日用家電等工業(yè)及科學(xué)研究領(lǐng)域。該軟件提供了一個(gè)不斷改進(jìn)的功能清單，具體包括：結(jié)構(gòu)高度非線性分析、電磁分析、計(jì)算流體動(dòng)力分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)、接觸分析、自適應(yīng)網(wǎng)格劃分、大應(yīng)變/有限轉(zhuǎn)動(dòng)功能以及利用A

97、NSYS參數(shù)設(shè)計(jì)語(yǔ)言（APDL）的擴(kuò)展宏命令功能?；贛otif的菜單系統(tǒng)使用戶能夠通過對(duì)話框、下拉式菜單和子菜單進(jìn)行數(shù)據(jù)輸入和功能選擇。進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)，使用ANSYS軟件對(duì)產(chǎn)品性能進(jìn)行仿真分析，可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品問題，降低設(shè)計(jì)成本，縮短設(shè)計(jì)周期，提高設(shè)計(jì)的成功率。</p><p>　　ANSYS軟件是現(xiàn)代產(chǎn)品設(shè)計(jì)中高級(jí)的CAD/CAE軟件之一，它能與大多數(shù)的CAD軟件實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)共享與交換，如Pro/E，NASTRAN，

98、Algor，I-DEAS和AutoCAD等。由CAD軟件生成的模型能與ANSYS軟件共享數(shù)據(jù)接口的文件格式有Pro/E，Unigraphics，CADDS，IGES，SAT和Parasolid等。</p><p>　　2.4.1 ANSYS發(fā)展過程</p><p>　　1970年，John Swanson博士洞察了計(jì)算機(jī)輔助工程商品化的發(fā)展，于是創(chuàng)建了ANSYS公司，總部設(shè)于美國(guó)賓西法尼亞

99、州的匹茲堡，目前它是世界CAE行業(yè)最大的公司。30年來，該公司把握了有限元軟件發(fā)展的方向，使其在同行業(yè)中一直處于領(lǐng)先地位。</p><p>　　ANSYS軟件的最初版本于今天的版本相比已有很大的區(qū)別，當(dāng)時(shí)，它僅僅提供了熱分析及線性結(jié)構(gòu)分析功能，是一個(gè)批處理程序，且只能在大型計(jì)算機(jī)上使用。隨著20世紀(jì)70年代初非線性、子結(jié)構(gòu)和更多的單元類型的加入，以及20世紀(jì)70年代末，圖形技術(shù)和交互式操作方法的使用，ANSYS軟

100、件得到了很大的改善，前后處理技術(shù)進(jìn)入了一個(gè)嶄新的階段。</p><p>　　今天ANSYS軟件更趨于完善，功能更加強(qiáng)大，使用更加便捷。新版本ANSYS中推出了顯式動(dòng)力分析（LS-DYNA）、概率設(shè)計(jì)系統(tǒng)(PDS)、計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)功能以及多物理場(chǎng)功能。</p><p>　　ANSYS公司于1992年2月在北京開設(shè)了第一個(gè)駐華辦事處，短短幾年間又先后成立了上海、成都和廣州辦事處。該公司于199

101、5年開發(fā)了符合我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)JB 732-95的壓力容器版。另外，ANSYS軟件已經(jīng)在鐵路提速和高速機(jī)車車輛的研制中開始發(fā)揮作用。</p><p>　　2.4.2 ANSYS軟件的功能</p><p>　　2.4.2.1 ANSYS的建模功能</p><p>　　有限元分析軟件ANSYS的前處理功能很強(qiáng)大，具有強(qiáng)大的建模功能。建模時(shí)，需要先建立結(jié)構(gòu)的幾何模型，給出材料

102、參數(shù)和單元類型，最后劃分網(wǎng)格，形成結(jié)構(gòu)的有限元模型。ANSYS提供了三種創(chuàng)建模型的方法：實(shí)體建模方法、直接建模方法和輸入在其他計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)中創(chuàng)建的模型。</p><p>　　直接建模的方法就是在ANSYS的前處理程序中直接定義每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置以及單元的大小、形狀和連通性來創(chuàng)建有限元模型。節(jié)點(diǎn)用來定義單元在空間中的位置，單元定義了模型的連接性。直接建模的方法適用于線模型和較簡(jiǎn)單的有規(guī)則的幾何模型。這種模型可以自

103、己控制每個(gè)節(jié)點(diǎn)和單元的編號(hào)。但是，直接建模的方法往往需要處理大量的數(shù)據(jù)，也不能進(jìn)行自適應(yīng)網(wǎng)格劃分，改進(jìn)網(wǎng)格劃分十分困難。對(duì)大而復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，應(yīng)采用實(shí)體建模的方法。</p><p>　　ANSYS提供了兩種方法進(jìn)行實(shí)體建模，即自底向上建模方法和自上向下建模方法。自底向上的建模方法是先創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)，然后依次創(chuàng)建相關(guān)的線、面和體等圖元。自上向下的建模方法是可以直接創(chuàng)建最高級(jí)的圖元，如球、棱柱等三維實(shí)體，通常稱之為幾何體素。

104、當(dāng)定義了一個(gè)體素時(shí)，程序會(huì)自動(dòng)定義相關(guān)的面、線和關(guān)鍵點(diǎn)。在ANSYS建模過程中，自上而下的建模方式和自底向上的建模方式可以自由組合使用，使模型的創(chuàng)建更加方便。實(shí)體建模的優(yōu)點(diǎn)是：對(duì)于龐大或復(fù)雜的模型，特別是對(duì)三維實(shí)體模型更適合；相對(duì)而言，需處理的數(shù)據(jù)少一些；容許對(duì)節(jié)點(diǎn)和單元不能進(jìn)行的幾何操作（如拖拉和旋轉(zhuǎn)）；支持使用面和體的體素及布爾運(yùn)算以順利建立模型；便于施加載荷之后能進(jìn)行所要求的局部網(wǎng)格細(xì)化；便于幾何上的改進(jìn)；便于改變單元類型，不受分

105、析模型的限制。</p><p>　　無論是使用自底向上還是自上而下的方法構(gòu)造實(shí)體模型，均由關(guān)鍵點(diǎn)、線、面和體組成。這些圖元的層次關(guān)系是：體以面為邊界，面以線為邊界，線以關(guān)鍵點(diǎn)為邊界。</p><p>　　無論使用自上而下還是自底向上方法建模，均能使用布爾運(yùn)算來組合數(shù)據(jù)集，形成一個(gè)實(shí)體模型。ANSYS程序提供了完整的布爾運(yùn)算，諸如相加、相減、相交、分割、粘結(jié)和重疊。在創(chuàng)建復(fù)雜實(shí)體模型時(shí)，對(duì)線

106、、面、體的布爾運(yùn)算操作能減少相當(dāng)可觀的建模工作量。ANSYS程序還供了拖拉、延伸、旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)、拷貝、蒙皮等的功能，可以大大減少建模時(shí)間。輔助工具如選擇和組元、拾取與利用工作平面，為建模提供了極大的方便。</p><p>　　可以在其它CAD系統(tǒng)中建立模型并把它輸入到ANSYS中進(jìn)行分析。</p><p>　　它有如下優(yōu)點(diǎn):一是可利用己有CAD模型，避免重復(fù)工作;二是可利用熟悉的工具去建模。

107、但是，從CAD系統(tǒng)中輸入的模型，如果不適于網(wǎng)格劃分則需要大量的修補(bǔ)工作。</p><p>　　2.4.2.2 ANSYS軟件的分析功能</p><p>　　ANSYS提供的分析類型包括以下幾種。</p><p>　?。?）結(jié)構(gòu)靜力分析 用來求解外載荷引起的位移、應(yīng)力和力。靜力分析很適合求解慣性和阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)影響并不顯著的問題。ANSYS中的靜力分析不僅可以進(jìn)行線性分

108、析，而且可以進(jìn)行非線性分析，例如塑性變形、蠕變、膨脹、大變形、大應(yīng)變及接觸問題的分析。</p><p>　?。?）結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析用來求解隨時(shí)間變化的載荷對(duì)結(jié)構(gòu)或者部件的影響，相對(duì)于靜力分析，動(dòng)力分析要考慮隨時(shí)間變化的力、載荷以及阻尼和慣性的影響，如旋轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生的交變力，爆炸產(chǎn)生的沖擊力，地震產(chǎn)生的隨機(jī)力等。ANSYS可以進(jìn)行的結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析類型有瞬態(tài)分析、動(dòng)力分析、模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析以及隨機(jī)震動(dòng)響應(yīng)

109、分析。</p><p>　?。?）結(jié)構(gòu)屈曲分析 屈曲分析用來確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的載荷大小在特定的載荷下結(jié)構(gòu)是否失穩(wěn)的問題。</p><p>　?。?）熱力學(xué)分析 熱力學(xué)分析主要包含三種類型：傳導(dǎo)、對(duì)流和輻射。ANSYS對(duì)熱力學(xué)問題可以進(jìn)行穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)、線性和非線性分析。熱力學(xué)分析還可以進(jìn)行模擬材料的固化和溶解過程的分析，以及模擬熱與結(jié)構(gòu)應(yīng)力之間關(guān)系的耦合問題的分析。</p>&l

110、t;p>　?。?）電磁場(chǎng)分析 電磁場(chǎng)分析主要完成以下問題的分析：一維、二維靜態(tài)電磁場(chǎng)的分析，一維、二維隨時(shí)間變化的低頻電磁場(chǎng)的分析，三維高頻電磁場(chǎng)的分析。電磁場(chǎng)分析可以解決電磁場(chǎng)的相關(guān)問題，如電容、電感、渦流、電磁場(chǎng)分布、運(yùn)動(dòng)效應(yīng)等。主要應(yīng)用于發(fā)電機(jī)、變、加速器、調(diào)制器等在電磁場(chǎng)作用下工作設(shè)備的設(shè)計(jì)和分析。</p><p>　?。?）聲場(chǎng)分析 聲場(chǎng)分析主要用來研究在流體（氣體、液體等）介質(zhì)中聲音的傳播問

111、題，以及在流體介質(zhì)中固態(tài)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。</p><p>　?。?）壓電分析 壓電分析主要進(jìn)行靜態(tài)分析、模態(tài)分析、瞬態(tài)響應(yīng)分析和諧波響應(yīng)分析等，可用來研究壓電材料結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間變化的電流或機(jī)械載荷作用下的響應(yīng)特性。主要適用于諧振器、振蕩器以及其他電子材料的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析。</p><p>　?。?）流體動(dòng)力分析 ANSYS中的流體動(dòng)力分析功能可用來分析二維、三維流體動(dòng)力場(chǎng)的問題?？梢赃M(jìn)

112、行傳熱或絕熱、層流或湍流、壓縮或不可壓縮等問題的研究。主要用于分析超音速噴管中的流場(chǎng)，使用混合流研究估計(jì)熱沖擊的可能性，以及研究解決彎管中流體的三維流動(dòng)等問題。</p><p>　　2.5 ANSYS軟件分析的一般過程</p><p>　　ANSYS軟件含有多種有限元分析的能力，一般的ANSYS分析過程可分為以下三個(gè)步驟：</p><p><b>　　&#