分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（講）-2019年高考數(shù)學(xué)---精校解析講練測 word版

1、<p><b>　　【考綱解讀】</b></p><p><b>　　【知識清單】</b></p><p>　　1. 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理</p><p>　　1. 分類加法計數(shù)原理（加法原理）的概念</p><p>　　一般形式：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種

2、不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，……，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=++……+種不同的方法.</p><p>　　2．分步乘法計數(shù)原理(乘法原理)的概念</p><p>　　一般形式：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.</p><p&g

3、t;　　3. 兩個原理的區(qū)別：</p><p>　?。?）“每類”間與“每步”間的關(guān)系不同：分類加法計數(shù)原理中的每一類方案中的任何一種方法、不同類之間的任何一種方法都是相互獨立，互不依賴的，且是一次性的；而分步乘法計數(shù)原理中的每一步是相互依賴，且是連續(xù)性的.</p><p>　?。?）“每類”與“每步”完成的效果不同：分類加法計數(shù)原理中所描述的每一種方法完成后，整個事件就完成了，而分步乘法

4、計數(shù)原理中每一步中的每一種方法得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事.</p><p>　　4.切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行，同時要優(yōu)先考慮題中的限制條件.</p><p><b>　　【重點難點突破】</b></p><p>　　考點1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理</p>&l

5、t;p>　　【1-1】【山東省2018年普通高校招生（春季）】景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設(shè)沒有其他道路，某游客計劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數(shù)是（ ）</p><p>　　A． 6 B． 10 C． 12 D． 20</p><p><b>　　【答案】C</b&

6、gt;</p><p><b>　　【解析】</b></p><p>　　先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數(shù)是</p><p><b>　　因此選C.</b></p><p>　　【1-2】【浙江省杭州市第二中學(xué)2018屆高三仿真考】工人在安裝一個正六邊形零件時，

7、需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．</p><p><b>　　【答案】60</b></p><p><b>　　【解析】</b></p><p><b>　　法，故答案是60.</b></

8、p><p>　　【1-3】【2017屆山東省棗莊市第三中學(xué)高三 “二調(diào)”模擬】某校選定甲、乙、丙、丁、戊共名教師去個邊遠學(xué)校支教，每學(xué)校至少人，其中甲和乙必須在同一學(xué)校，甲和丙一定在不同學(xué)校，則不同的選派方案共有__________種．</p><p><b>　　【答案】</b></p><p>　　綜合點評：這些題都是分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理

9、的應(yīng)用, 解決這一類問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準是什么,分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和得到總數(shù)；分步要做到“步驟完整”.</p><p><b>　　【領(lǐng)悟技法】</b></p><p>　　1. 計數(shù)問題中如何判定是分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理：如

10、果已知的每類方法中的每一種方法都能單獨完成這件事，用分類加法計數(shù)原理；如果每類方法中的每一種方法只能完成事件的一部分，用分步乘法計數(shù)原理．</p><p>　　2.利用分類計數(shù)原理解決問題時： (1)將一個比較復(fù)雜的問題分解為若干個“類別”，先分類解決，然后將其整合，如何合理進行分類是解決問題的關(guān)鍵．(2)要準確把握分類加法計數(shù)原理的兩個特點：①根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準，分類標(biāo)準要統(tǒng)一，不能遺漏；②分

11、類時，注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)；③對于分類問題所含類型較多時也可考慮使用間接法．</p><p>　　3.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意：</p><p>　　(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即考慮分步的先后順序．</p><p>　　(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這個事件．</p>

12、<p>　　(3)對完成各步的方法數(shù)要準確確定．</p><p>　　4. 用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步．</p><p>　　(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．</p><p>　　(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計數(shù)原

13、理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．</p><p>　　(3)對于復(fù)雜問題，可同時運用兩個計數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析，使問題形象化、直觀化．</p><p>　　(4)在應(yīng)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計數(shù)原理．</p><p>　　5.在解決具體問題時，首先必須弄清楚是“分類”還是“分步”

14、，接著還要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準是什么． </p><p>　　5. (1)分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類做法中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的．</p><p>　　(2)分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相關(guān)聯(lián)的．</p><p>　　6. 分類加法計數(shù)原理的兩個條件

15、：</p><p>　　(1)根據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標(biāo)準，然后在這個標(biāo)準下進行分類；</p><p>　　(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理．</p><p>　　分步乘法計數(shù)原理的兩個條件：</p><p>　　(1)明確題目中的

16、“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．</p><p>　　(2)將完成這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個事件才算完成，這是分步的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵．從計數(shù)上來看，各步的方法數(shù)的積就是完成事件的方法總數(shù)．</p><p>　　7. 應(yīng)用兩種原理解題</p><p>　　(1)分清要完成的事情是

17、什么？</p><p>　　(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；</p><p>　　(3)有無特殊條件的限制；</p><p>　　(4)檢驗是否有重漏．</p><p>　　8. 涂色問題：涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計數(shù)原理應(yīng)用的典型問題，由于涂

18、色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標(biāo)高考的命題熱點.</p><p>　　涂色問題的關(guān)鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進行分類法是解決這類問題的首選方法.</p><p>　　涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色

19、問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理．</p><p><b>　　【觸類旁通】</b></p><p>　　【變式一】【2016全國甲理5】如圖所示，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）</p><

20、p>　　A.24 B.18 C.12 D.9</p><p><b>　　【答案】B</b></p><p>　　【解析】從的最短路徑有種走法，從的最短路徑有種走法，由乘法原理知，共種走法.故選B．</p><p>　　【變式二】【2017屆浙江省湖州、衢州、麗水三市高三4月聯(lián)考】6個標(biāo)有不同編號的乒乓球放

21、在兩頭有蓋的棱柱型紙盒中，正視圖如圖所示，若隨機從一頭取出一個乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，則不同的排法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．</p><p><b>　　【答案】32</b></p><p>　　【解析】排成一行的6個球，第一個球可從左邊取，也可從右邊取，有2種可能，同樣第二個球也有2種可能，…，第五個球也有2種可能，第六個球只有1種情形，

22、因此不同的排法數(shù)為．</p><p>　　【變式三】【2017年北京市昌平區(qū)高三第二次統(tǒng)一練習(xí)】某校高三年級5個班進行拔河比賽，每兩個班都要比賽一場.到現(xiàn)在為止，1班已經(jīng)比了4場，2班已經(jīng)比了3場，3班已經(jīng)比了2場，4班已經(jīng)比了1場，則5班已經(jīng)比了______場.</p><p><b>　　【答案】 </b></p><p>　　答：⑤號已經(jīng)

23、比了場，即 班已經(jīng)比了場，故答案為.</p><p><b>　　【易錯試題常警惕】</b></p><p>　　易錯典例：在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為(　　)</p><p>　　A．10

24、 B．11 C．12 D．15</p><p>　　易錯分析：分類混淆、計數(shù)原理使用不當(dāng)致誤</p><p>　　溫馨提醒：該題中要求解的是“至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同”，易出現(xiàn)的問題是分類混淆，漏掉各位數(shù)字信息均不相同的情況，解決此類問題的關(guān)鍵是準確確定分類標(biāo)準，分類計數(shù)時要做到不重不漏．</p><p>　　【

25、學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】</p><p>　　………………與計數(shù)原理有關(guān)的新定義問題</p><p>　　分類、分步計數(shù)原理可以應(yīng)用于代數(shù)、幾何，現(xiàn)實生活中的問題，帶有新定義的問題，要抓住關(guān)鍵．理解新定義的特征，轉(zhuǎn)化為分類、分步計數(shù)原理． </p><p>　　【典例1】如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個

26、頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是(　　)</p><p>　　A．48 B．18</p><p>　　C．24 D．36</p><p><b>　　【答案】D</b></p><p>　　【典例2】回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3443,9424

27、9等．顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.</p><p>　　則：(1)4位回文數(shù)有________個；</p><p>　　(2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個．</p><p>　　【答案】（1）90；（2）9×10n</p>&