船舶與海洋工程畢業(yè)設計散貨船錨機底座的振動分析

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　散貨船錨機底座的振動分析</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 船舶與海洋工程

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　目錄</b></p>

3、;<p><b>　　摘 要III</b></p><p>　　[Abstract]IV</p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1本文研究的背景及意義1</p><p>　　1.2船舶振動危害及原因分析1</p><

4、p>　　1.3船舶振動特性的研究現(xiàn)狀2</p><p>　　1.4 運用有限元法對錨機底座振動的分析3</p><p>　　2 板的振動理論5</p><p>　　2.1彈性薄板基本概念及其基本假定5</p><p>　　2.2彈性薄板理論的基本動力學方程5</p><p>　　2.2.1位移分量6&

5、lt;/p><p>　　2.2.2 應變分量6</p><p>　　2.2.3 應力分量6</p><p>　　2.2.4內力分量7</p><p>　　2.2.5運動方程8</p><p>　　2.2.6基本方程9</p><p>　　2.2.7邊界條件9</p><

6、;p>　　2.2.8初始條件10</p><p>　　2.3振動分析的解析法10</p><p>　　3 船舶板梁組合結構振動的有限元分析理論11</p><p>　　3.1 有限元分析簡介11</p><p>　　3.1.1基本原理11</p><p>　　3.1.2 有限元法基本思路11</

7、p><p>　　3.1.3 有限元模型建模準則12</p><p>　　3.1.4 有限元模型性能指標13</p><p>　　3.1.5 有限元分析特點及步驟13</p><p>　　3.2 有限元基本理論與方法15</p><p>　　3.2.1 彈性力學基本方程15</p><p>

8、　　3.2.2 彈性力學基本原理16</p><p>　　3.3 有限元法的應用18</p><p>　　3.4 結構動力學問題的有限元法19</p><p>　　3.4.1概述19</p><p>　　3.4.2運動方程19</p><p>　　3.4.3 特征值問題20</p><p

9、>　　4 錨機底座的軟件振動分析（MSC.Patran）23</p><p>　　4.1 板的厚度對振動的影響23</p><p>　　4.1.1 算例123</p><p>　　4.1.2算例2：25</p><p>　　4.2邊界條件對實體模型振動的影響27</p><p>　　4.2.1錨機底座實

10、體模型圖27</p><p>　　4.2.2算例1：27</p><p>　　4.2.3算例2：30</p><p>　　4.2.4算例3：33</p><p>　　4.2.5算例436</p><p><b>　　結論與展望：40</b></p><p>&l

11、t;b>　　參考文獻41</b></p><p><b>　　致謝42</b></p><p><b>　　外文翻譯43</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　板梁結構在船舶結構中有著廣泛的運用，隨著船舶的高速化和輕

12、型化的趨勢，以及高強度材料的廣泛運用，使得船體結構的穩(wěn)定性問題尤為突出。船舶結構中的各種振動，不僅影響船舶的使用性能，嚴重的可能導致船體結構的破壞。船體結構穩(wěn)定性問題是船舶結構設計中的重要問題，歷來受到船舶結構力學工作者的高度重視。因此板梁組合結構的振動分析具有重要的理論意義和實用價值。本論文圍繞錨機底座的振動展開分析研究，其內容包括板梁的振動理論、有限元方法理論和應用、船舶錨機底座的振動軟件計算。論文的分析結果對于船舶結構的設計及一些

13、重要設備的安裝具有重要的指導意義。</p><p>　　[關鍵詞] 板梁組合結構；錨機底座；振動分析；有限元分析。</p><p>　　Anchor bulk vibration analysis of machine base</p><p>　　[Abstract] Plate-beam structure has been commonly applied i

14、n ship structures. The buckling strength of ship structure has been paid more and more attention little by little, with the trend of the development of the ship, high-rate and lightness. Various vibrations for the ship s

15、tructure not only affect the use of the ship's performance, but also result in serious damage of the hull structure. The stability of ship structure, as one of the objects in the design of ship structure, has been hi

16、ghly </p><p>　　[Key Words] Ship plate-beam structure; anchor winch base frame; vibration theory; finite element analysis.</p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p>　　1.1本文研究的背景及意義<

17、;/p><p>　　散裝貨輪，集裝箱船及油輪是三個最大的主流船型，因此，倍受船東和船廠青睞，這個巨大的市場值得高度重視。近期，隨著原材料需求煤炭、鋼鐵、銅等的增長對散裝貨輪的運力要求大大增加了。尤其經濟快速增長的中國，其工業(yè)發(fā)展對原材料需求激增，鋼鐵工業(yè)發(fā)展需要大量鐵礦石等大宗散貨物的運力，相應的對散裝貨運輸?shù)囊蟾撸捎谏⒀b貨物運力不足巳導致散裝貨輪運費的急劇增加。因此，盡管世界海上運輸尚未走出國際金融危機帶來的

18、低谷，但是新增散貨船需求市場已是非常活躍，從而帶動新造散裝貨船定單量的提高。</p><p>　　錨機是船舶的重要組成部分，錨機系統(tǒng)由主油路系統(tǒng)、補油路系統(tǒng)和應急操作系統(tǒng)三部分組成。錨機是船舶停泊時克服外力、保持船位的設備，在船舶離靠碼頭和危急情況下到緊急制動的作用。錨機系統(tǒng)故障不能正常工作，將對船舶的運營造成重大損失，也是巨大的安全隱患，因此研究錨機的可靠性有重要意義。</p><p>

19、　　船舶受波浪和機械設備產生等多種載荷作用將產生結構振動，船舶結構中的各種振動,不僅影響船舶的使用性能,嚴重的可能導致船體結構破壞,為此,長期以來船舶振動問題一直是船舶結構工程人員研究的熱點。</p><p>　　1.2船舶振動危害及原因分析</p><p>　　嚴重振動對船舶的危害主要有以下幾點：</p><p>　　1、使船體結構或機械設備在應力過大時產生疲勞破

20、壞，影響航行安全。</p><p>　　2、影響船員和旅客的居住舒適性，影響船員的工作效率，危害身體健康。</p><p>　　3、影響船上設備、儀表的正常工作，降低使用精度，縮短使用壽命。</p><p>　　另外振動還會激發(fā)噪聲。因此研究船舶振動的原因，采取有效措施進行減振十分必要。</p><p><b>　　船舶振動力的分析

21、：</b></p><p>　　船體振動的主要振源是螺旋槳、軸系和主機，在運轉時產生周期干擾力，使船體產生振動。</p><p>　　1、分析主要振源產生的干擾力</p><p>　　（1）螺旋槳激振力可分為表面力和軸承力，頻率都為葉頻，即。其中，表面力經水作用于槳上方的船殼板，其合力方向為垂向；軸承力通過槳軸和軸承作用于船體，其分力表現(xiàn)為推力、垂向彎矩

22、和垂直力、水平彎矩和水平力、轉矩。</p><p>　?。?）軸系的振動也產生干擾力，但該船軸系設計中臨界轉速不在主機工作轉速范圍內，工作轉速避開了“轉速禁區(qū)”，只要軸系校中良好，軸系振動的影響可以忽略。</p><p>　　（3）主機產生的干擾力是三階不平衡橫搖力矩，頻率是，通過機座作用于機艙板架。由于是高階分量，估計影響不大。</p><p>　　2、分析干擾力

23、引起的船體結構振動</p><p>　　（1）表面力在局部上引起該處船底板格的橫振動和艉艙立體分段的垂向振動，在總體上引起船體梁的垂向總振動。</p><p>　?。?）軸承力的分力引起上層建筑和船體的縱向運動，因船體縱向振動的等效剛度極大，振幅極微，故可忽略；垂向彎矩和垂直力引起機艙船底板架以至全船的垂向振動；水平彎矩和水平力引起機艙板架以至全船的水平方向振動。</p>&

24、lt;p>　?。?）轉矩引起軸系和主機的扭轉振動。</p><p>　　從上面分析可知，軸系和主機的扭振較小，主機與軸系這一系統(tǒng)也沒產生妞振共振，故對全船的扭轉振動影響較小，這一部分只考慮主機三階不平衡橫搖力矩引起的機艙船底板格的垂向振動。</p><p>　　3、局部振動與船體總振動的耦合</p><p>　?。?）船底板格與船體分段及全船相比，質量微小，振

25、動頻率高，故板格振動可以從船體分段及全船的總振動中分離出來，單獨計算。而艉分段作為立體結構，質量較大，且與船體前部耦合，故艉部的振動不能與船體梁總振動分離，應視為總振動中的一部分。</p><p>　?。?）機艙船底板架質量較大，且與貨艙區(qū)雙層底骨架相互交錯，連接剛度大耦合緊，其振動不能與船體總振動相分離。</p><p>　　1.3船舶振動特性的研究現(xiàn)狀</p><p

26、>　　船舶結構是由桿、梁、板、殼等構件組成的彈性體，船體構件的質量與剛度具有分布的性質，包含了無限個質點。船舶受波浪和機械設備產生等多種載荷作用將產生結構振動，理論上是將這類具有無限個自由度的彈性體振動，簡化為有限個自由度系統(tǒng)進行振動分析。</p><p>　　船舶振動是在50年代后半期才開始蓬勃發(fā)展起來的一門學科，是研究船體結構振動以及與船體結構振動有關的動力裝置、船型等問題。20世紀60年代后，隨著電子

27、計算機和有限元理論的發(fā)展，目前己廣泛采用有限元技術分析復雜的彈性體結構的振動。</p><p>　　能量法。應用求解船舶自由振動的方法很多，有瑞利法、西曼斯曼法等。能量法的基本原理是應用能量守恒定律。瑞利法是將船體結構振動簡化為單自由度系統(tǒng)的振動，它是計算彈性系統(tǒng)振動的基礎，具體做法是假設振形函數(shù)，滿足幾何的(即端點的位移和轉角)邊界條件，將船體結構振動系統(tǒng)中最大動能與最大位能相等。</p><

28、;p>　　遷移矩陣法。船體的振動采用這種方法是較適宜的。它是將整個船體考慮為一根變剖面梁，分成若干段具有均勻剛性、質量分布的等直梁，從微段的微分方程出發(fā)，列出剖面的狀態(tài)參數(shù)(包括該處的變形和內力)構成狀態(tài)矢量，考察各微段結合處的狀態(tài)矢量在經過一個微段以及結合點處的傳遞和變化關系，并與船體兩端的邊界條件相結合，從而得到振動系統(tǒng)的數(shù)值解。</p><p>　　有限元法。船體結構的有限元計算已經擴展到三維艙段立體

29、結構計算或整艘船舶全部結構的有限元計算，船體各細部可以真實的反映在計算中，使結構計算達到相當?shù)木_和詳細程度。對于一些技術密集型船舶、高性能船舶、特種新型船舶，傳統(tǒng)的船舶設計規(guī)范很難滿足其設計需要，有限元方法就成為這類船舶結構設計必不可少的工具。</p><p>　　型船近似估算法。由于船舶振動問題的重要性，要求在船舶設計的早期估算船體振動的固有頻率，以便為方案設計提供資料，把可能發(fā)生的振動隱患消滅于未然。但在船

30、舶設計的早期，詳細計算所需要的一些原始數(shù)據(jù)，如剖面慣性矩、質量與浮力的分布曲線等尚未得到，要進行較為深入的計算是不可能的，因此，需要用型船的資料，近似估算船體振動的固有頻率。</p><p>　　1.4 運用有限元法對錨機底座振動的分析</p><p>　　由于船舶錨機基座結構形式小規(guī)則，所以很難采用簡化梁的理論進行強度計算。隨著有限元方法的推廣和運用，該方法已經普遍運用于船舶的結構強度計

31、算之中。本文采用有限元軟件MSC.PATRAN/NASTRAN，對某客滾船首部過道甲板錨機基座建立局部結構計算分析有限元模型，進行直接計算分析。</p><p>　　有限單元法的基本思路是將結構物看成由有限個劃分的單元組成的整體，以單元節(jié)點的位移或節(jié)點力作為基本未知量求解。在分析結構時，先設法求出內力，然后即可計算相應的位移，這便是力法；也可以反過來，先確定某些位移，再據(jù)此推求內力，這便是位移法。力法是以多余未知

32、力作為基本未知量，位移法是以某節(jié)點位移作為基本未知量。</p><p>　　有限元的基本方程為：</p><p>　　式中：整體剛度矩陣；節(jié)點位移列陣；節(jié)點載荷列陣。</p><p>　　有限元分析過程包括如下具體步驟：建立有限元模型、結構模型離散化、引入邊界條件、后處理與計算結果的評價。</p><p>　　有限元模型建立：錨機基座是一采用

33、板板焊接而成的支承結構，其面板孔位與錨機固定螺栓孔位相同。這一支承結構焊接固定在船的舷樓甲板上。在甲板下采用型鋼對固定位置進行局部結構加強。根據(jù)基座及其附屬加強結構的特點，建立有限元模型中采用板(shell)、梁(beam)結合的單元形式對結構進行合理的模擬。</p><p><b>　　1)坐標系</b></p><p>　　X一船尾指向船首為正方向，Y一船中指向左

34、舷為正方向，Z一鉛垂方向，向上為正方向。</p><p><b>　　2)材料參數(shù)</b></p><p>　　結構材料采用CCS一A級鋼。 </p><p>　　輸入材料參數(shù)為:ρ=7800kg/m3，E=2.06x105N/mm2，u=0.3.</p><p>　　對船舶局部結構振動分析中邊界條件的簡化問題做了體統(tǒng)的

35、分析研究，比較分析了各種不同邊界處理方法對計算結果的影響，在此基礎上提出了一種邊界簡化和修正的方法。通過算例分析表明，本文的邊界簡化和修正方法能更好地描述船舶局部結構的正式邊界條件，而且在實際的工程分析中易于實現(xiàn)。</p><p>　　采用Mindlin板單元和參考軸桿單元，建立了考慮板剪切變形。骨架剪切變形和骨架偏心影響的船舶板梁組合結構振動分析模型并研究比較了不同船舶板梁組合結構振動分析有限元模型的計算精度。

36、最后通過對某艙室甲板固有頻率計算值和實測值的比較，討論了船舶局部結構振動分析中邊界條件處理問題。</p><p><b>　　2 板的振動理論</b></p><p>　　2.1彈性薄板基本概念及其基本假定</p><p>　　中面為一平面的扁平連續(xù)體稱為平板。當厚度遠小于中面尺寸時稱為薄板。平板主要承受垂直中面的橫向載荷，將外載荷傳遞到支承處

37、，此時板件發(fā)生垂直中面的橫向撓曲，相應動力問題是薄板的橫向振動。當然板件也有受中面內載荷情況，若此時無橫向外載同時存在，則屬于平面振動問題；若同時作用有橫向載荷，則中面載荷將影響橫向振動。</p><p>　　平板振動也是一種彈性體振動，是一種三維問題。但對于厚度尺寸遠小于平面上另兩個尺寸的薄板來說，可以采用一系列反映薄板力學特性的簡化假定，使原始三維問題降為二維問題來分析，這就是薄板理論。</p>

38、<p>　　彈性薄板橫向振動小撓度理論的基本假定為：</p><p>　?。╝）變形前垂直于中面的直線在變形后仍為一直線，并保持與中面垂直。</p><p>　　（b）忽略沿著中面垂直方向的法向應力。</p><p>　?。╟）只計入質量的橫向慣性力，而略去其轉動慣性力。</p><p>　　（d）無沿中面面內的變形。</p

39、><p>　　假定（a）是“直法線”假定，是薄板振動理論的基礎。這一假定的實質是使板件內整個變形狀態(tài)只取決于中面撓曲面形狀，從面使求解三維變形體問題變?yōu)榇_定二維撓曲面間問題，并使問題大為簡化。從力學角度來看，假定（a）認為直法線永遠與中面垂直，即橫向</p><p>　　剪切變形為零，也即橫向剪應力比平面方向彎曲應力要小得多，假定（b）則認為垂直方向法應力也比彎曲應力小得多。這兩點對于厚度尺寸

40、比平面尺寸小得多的薄板面言是近似成立的。</p><p>　　2.2彈性薄板理論的基本動力學方程</p><p>　　假定（a）認為法線永遠與中面垂直，即橫向剪切變形為零，即認為橫向剪應力比平面方向的彎曲應力要小很多；假定（b）認為垂直方向法應力比彎曲應力小很多。這兩點對于厚度尺寸比平面尺寸小得多的薄板而言是近似成立的。工程上通常認為當板厚h與板的最小平面跨度b之比h/b≤就可以看成是薄板

41、。假設（d）認為中面內不產生拉壓、剪切，從而也就沒有中面內變形，即認為中面內薄膜力遠小于橫向荷載產生的彎曲應力。考慮一個具有任意邊界形狀的各向同性均質等厚薄板，取板的中面為xoy平面，z軸垂直于xoy平面，板厚為h，z=-h/2為受載面，中面撓曲函數(shù)為w(x，y，t)。</p><p><b>　　2.2.1位移分量</b></p><p>　　由彈性體動力學幾何方程

42、及假定知</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　式中u，v為中面位移，根據(jù)假定（c）應該為零，因此有板內平面位移：</p><p>&

43、lt;b>　　(2.3)</b></p><p>　　式（2.3）表明，板件內各點平面位移u， 沿厚度方向是線性分布的，并與撓曲面在該處沿x，y方向斜率有關。</p><p>　　2.2.2 應變分量</p><p>　　將式（2.3）代入彈性體動力學方程，可求得板內應變分量：</p><p><b>　　(2.4

44、)</b></p><p><b>　　(2.5)</b></p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　式中，， 分別為撓曲面得曲率與扭曲率。式（2.6）表明，板件內各點應變分量沿厚度也是線性分布的，并與撓曲面的曲率火扭曲率有關。</p><p>　　2.2.3

45、應力分量</p><p>　　由彈性體動力學物理方程，并考慮到假定（b），，有：</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　解出應力分量，代入應變表達式：</p><p><b>　　(2.8)</b></p><p><b>　　(2.9

46、)</b></p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　式（2.10）表明，板件內各點應力分量沿厚度也是線性分布的，并與撓曲面的曲率或扭曲率有關。</p><p><b>　　2.2.4內力分量</b></p><p>　　我們定義板內截面上各點正應力，和水平剪

47、應力對中面取矩沿厚度積分為彎矩、扭矩：</p><p><b>　　，，(2.11)</b></p><p>　　垂直剪切應力，沿厚度積分為剪力：</p><p><b>　　，(2.12)</b></p><p><b>　　圖2.1</b></p><

48、;p>　　其正方向如圖2.1所示。將應力表達式（2.10）代入（2.11）求積，得彎矩、扭矩表達式：</p><p><b>　　(2.13)</b></p><p><b>　　(2.14)</b></p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>&l

49、t;b>　　(2.16)</b></p><p>　　上式D為板的彎曲剛度或抗彎剛度。</p><p>　　綜上所訴，采用彈性薄板理論基本假定，則板的各位移分量，應變分量，應力分量，內力分量均只是取決于二維撓曲面函數(shù)，從而達到了將三維彈性體問題化為二維板件問題的目的。</p><p><b>　　2.2.5運動方程</b>&l

50、t;/p><p>　　如圖2.2所示板件微體動力平衡，根據(jù)假定（c），忽略慣性力矩有</p><p><b>　　(2.17)</b></p><p><b>　　(2.18)</b></p><p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　代

51、入得到剪力表達式：</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p>　　式中為拉普拉斯(Laplace)算子。</p><p><b>　　2.2.6基本方程</b></p><p>　　將式（2.19）代入式（2.20），得到薄板橫向振動的基本微分方程：</p>&

52、lt;p><b>　　(2.21)</b></p><p>　　式中為板件質量密度，q為單位面積板件上所承受橫向動荷載。這是關于撓曲面函數(shù)w(x，y，t)的四階偏微分方程。若求得滿足邊界及其初始條件的方程的解w(x，y，t)，則可求得內力，應力，應變等等。很明顯，薄板小撓度振動的基本問題歸結為在給定動荷載及邊界條件和初始條件下定解方程。</p><p><

53、b>　　2.2.7邊界條件</b></p><p>　　薄板振動所應滿足的邊界條件和薄板靜力問題一樣，一般有固定、簡支、自由、彈性支承、彈性嵌固等幾種。這里先列出平行x軸的直線邊的邊界條件（平行y軸邊界也類似），然后給出斜邊及曲線邊得邊界條件。</p><p>　　1 固定邊：其邊緣上各點撓度為零以及沿該邊垂直方向的撓度斜率為零，即</p><p>

54、;<b>　??；(2.22)</b></p><p>　　2 簡支邊：其邊緣上各點撓度以及彎矩為零，即 </p><p><b>　??；(2.23)</b></p><p>　　3 自由邊：其邊緣上各點彎矩、扭矩、剪力為零，即</p><p><b>　??；(2.24)</b&

55、gt;</p><p><b>　　2.2.8初始條件</b></p><p>　　在薄板情況下，撓度w在初始時刻應滿足的沿著板面給定的撓曲與其速度的分布：</p><p><b>　　(2.25)</b></p><p><b>　　(2.26)</b></p>

56、<p>　　2.3振動分析的解析法</p><p>　　利用振動解析解來研究結構的振動特性，先要知道結構的幾何形狀、邊界條件和材料特性，把結構的質量分布、剛度分布和阻尼分布分別用質量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣表示出來，這樣便有了足夠多的信息來確定結構的模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼系數(shù)、模態(tài)振型等），這些模態(tài)參數(shù)可以完整地描述結構的動力學特性。</p><p>　　對于N自由度的振動結

57、構，其運動方程可以表示為： </p><p><b>　　(2.27)</b></p><p>　　式中，, , ，和分別為質量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣，力量矩陣和響應向量。結構固有特性可以由一組模態(tài)參數(shù)定量描述，主要是固有頻率和模態(tài)振型。由于固有特性與外載荷無關，且阻尼對結構的固有頻率和振型影響不大，因此可通過結構無阻尼自由振動方程計算固有特性可得：</p&g

58、t;<p><b>　　(2.28)</b></p><p>　　由于自由振動可以分解為一系列簡諧振動的疊加，因此可將上式解表示為：</p><p><b>　　(2.29)</b></p><p>　　式中，為簡諧振動的圓頻率，為節(jié)點位移振幅列向量。將上式消去因子可得：</p><p&g

59、t;<b>　　(2.30) </b></p><p>　　由該式可求出N個特征值，，…，和相對應的N個特征向量，，……..，。其中特征值的平方根（=1，2，…，N）就是結構的第階固有頻率，特征向量就是結構的第階模態(tài)振型，它反映了結構按頻率振動時各自由度方向振幅間相對比例關系。全部N個構成固有振型矩陣。 </p><p>　　3 船舶板梁組合結構振動的有限元分析理論

60、</p><p>　　3.1 有限元分析簡介</p><p><b>　　3.1.1基本原理</b></p><p>　　在工程技術領域內，對于力學問題或其他場問題，己經得到了基本微分方程和相應的邊界條件。但能用解析方法求出精確解的只是方程性質比較簡單且?guī)缀芜吔缦喈斠?guī)則的少數(shù)問題。因此，人們多年來一直在尋求另一種方法，即數(shù)值解法。</p&

61、gt;<p>　　有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。</p&g

62、t;<p>　　有限元是那些集合在一起能夠表示實際連續(xù)域的離散單元。有限元的概念早在幾個世紀前就已產生并得到了應用，例如用多邊形（有限個直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應用于航空器的結構強度計算，并由于其方便性、實用性和有效性而引起從事力學研究的科學家的濃厚興趣。經過短短數(shù)十年的努力，隨著計算機技術的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結構工程強度分析計算擴

63、展到幾乎所有的科學技術領域，成為一種豐富多彩、應用廣泛并且實用高效的數(shù)值分析方法。</p><p>　　3.1.2 有限元法基本思路</p><p>　　有限單元法的基本思路是將結構物看成由有限個劃分的單元組成的整體，以單元節(jié)點的位移或節(jié)點力作為基本未知量求解。在分析結構時，先設法求出內力，然后即可計算相應的位移，這便是力法；也可以反過來，先確定某些位移，再據(jù)此推求內力，這便是位移法。力法

64、是以多余未知力作為基本未知量，位移法是以某節(jié)點位移作為基本未知量。</p><p>　　有限元的基本方程為：</p><p>　　式中:整體剛度矩陣；節(jié)點位移列陣；節(jié)點載荷列陣。</p><p>　　有限元法利用在每一個單元內假定的近似函數(shù)分片地表示求解域上待求的未知場函數(shù)（如位移場、應力場）。單元內的近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)(或包括其導數(shù))在單元內各個節(jié)點的數(shù)值通

65、過函數(shù)插值來表示。這樣，未知場函數(shù)（或包括其導數(shù)）在單元內各個節(jié)點的數(shù)值就成為新的未知量（即自由度），從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一經求解出這些未知量，就可以通過函數(shù)插值計算出各個單元內場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上場函數(shù)的近似值。有限元分析是設計人員在計算機上調用有限元程序完成的。為此，必須了解所用程序的功能、限制以及支持軟件運行的計算機硬件環(huán)境。分析者的任務是建立有限元模型、進行有限元分析并解決分析

66、出現(xiàn)的問題、以及計算后的數(shù)據(jù)處理。</p><p>　　有限元模型數(shù)據(jù)主要包括：</p><p>　?。?）主控數(shù)據(jù)，包括分析任務描述（結構靜力分析、模態(tài)分析、時程響應分析、非線性分析、接觸分析、彈塑性分析等等）以及輸出控制數(shù)據(jù)。</p><p>　　（2）材料性質數(shù)據(jù)，包括材料的彈性常數(shù)、熱膨脹系數(shù)、熱傳導系數(shù)、密度、極限強度等參數(shù)。</p><

67、;p>　?。?）荷載數(shù)據(jù)，包括基本荷載模式、工況組合等。</p><p>　　（4）有限元網格節(jié)點坐標數(shù)據(jù)。</p><p>　?。?）單元類型及單元拓撲結構描述數(shù)據(jù)。</p><p>　　（6）邊界條件和連接條件數(shù)據(jù)等。</p><p>　　3.1.3 有限元模型建模準則</p><p>　　所謂建模就是根據(jù)工

68、程分析精度要求，建立合適的能模擬實際結構的有限元模型。在連續(xù)體離散化及用有限個參數(shù)表征無限個形態(tài)自由度過程中不可避免地引入了近似。為使分析結果有足夠的精度，所建立的有限元模型必須在能量上與原連續(xù)系統(tǒng)等價。具體地應滿足下述準則：</p><p>　?。?） 有限元模型應滿足平衡條件。即結構的整體和單元在節(jié)點上都保持靜力平衡。</p><p>　　（2） 變形協(xié)調條件。交匯于一點上的各元素在外

69、力作用下，引起元素變形后必須仍保持交匯于一個節(jié)點；整個結構上的各個節(jié)點，也都應同時滿足變形協(xié)調條件；若用協(xié)調元，元素邊界上應滿足相應的位移協(xié)調條件。</p><p>　　（3） 必須滿足邊界條件（包括結構邊界條件及單元的邊界條件）和材料的本構關系。</p><p>　　（4） 剛度等價原則。有限元模型的抗彎、抗扭、抗拉及抗剪剛度應盡可能等價。</p><p>　?。?/p>

70、5） 單元能較好地反映結構構件的傳力特點，尤其是對主要受力構件，盡可能地不失真。單元內部所采用的應力和位移函數(shù)必須是當單元大小遞減時有限元解趨于連續(xù)系統(tǒng)的精確解；避免使用非收斂元，對于波動收斂元應慎用。</p><p>　?。?） 根據(jù)結構特點、應力分布、單元性質、精度要求及計算量大小等仔細劃分網格。</p><p>　?。?） 在幾何上要盡可能地逼近真實結構體，特別要注意曲線與曲面的逼近

71、問題。</p><p>　?。?） 仔細地處理載荷模型，正確地生成節(jié)點力，載荷的簡化不應跨越主要受力構件。 </p><p>　?。?） 質量的堆聚應滿足質量質心、質心矩及慣性矩等效要求。</p><p>　?。?0） 當量阻尼折算應符合能量等價要求。</p><p>　　（11） 超單元的劃分盡可能單級化并使剩余結構最小。</p>

72、;<p>　　3.1.4 有限元模型性能指標 </p><p>　　有限元模型是借助計算機進行分析的離散近似的模型。對于線性靜力問題，它包括有限元網格的離散點組成的近似幾何模型，由材料力學特性數(shù)據(jù)和單元剛度矩陣表達的變形應力平衡近似，以及外載荷近似和邊界條件近似的總體。因此，即便理論模型是準確的，模型誤差總是難免的。要控制和減小誤差，有限元模型應滿足下述性能指標。</p><p&

73、gt;　　（1）可靠性：簡化模型的變形和受力及力的傳遞等應與實際結構一致。例如，有限元模型中的桿、梁、板（殼）、平面應力、平面應變以及連接條件和邊界條件等，均應與實際結構相符合。確定模型的可靠性可用下列準則判斷：物理力學特性保持；相應的數(shù)學特性保持。</p><p>　?。?）精確性：有限元解的近似誤差與分片差值函數(shù)的逼近誤差成正比。因此，在建立有限元模型時，應根據(jù)問題的性質和精度要求，選用一階精度元，二階精度元

74、和高階精度元等不同類型的單元。</p><p>　?。?）魯棒性：其確切含義是指有限元方法對有限元模型的幾何形狀變化，對于材料參數(shù)的變化（例如泊松比從接近不可壓縮變成不可壓縮）以及對于從中厚度板模型變成薄板的板厚變化的依賴性：也是有限元法的可靠性對上述變化的敏感程度。</p><p>　　（4）計算成本的經濟性：計算經濟性問題不僅與算法的復雜性、算法結構、程序的優(yōu)化程序以及總的算術運算次數(shù)

75、相關，而且在精度確定下，與有限元建模的質量有很大的關系。選用單元時，應盡量選取在頂點設置節(jié)點的單元。</p><p>　　除了節(jié)點自由度相對布置對計算效率的影響外，單元剖分全局性的疏密配置更為重要。如在應力集中部位，為達到好的計算效果，應該布置較密的網格，以刻畫位移變化梯度較大的實際情況。自適應網格技術的應用可以很好地解決全局疏密合理配置問題。</p><p>　　3.1.5 有限元分析特

76、點及步驟</p><p>　　有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法

77、將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。</p><p>　　對于不同物理性質和數(shù)學模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為： </p><p>　　第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實際問題近似確定求解域的物理

78、性質和幾何區(qū)域。 </p><p>　　第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域，習慣上稱為有限元網絡劃分。顯然單元越?。ňW絡越細）則離散域的近似程度越好，計算結果也越精確，但計算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一。 </p><p>　　第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個具體的物理問題通?？梢杂靡唤M包含問題狀

79、態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價的泛函形式。 </p><p>　　第四步：單元推導：對單元構造一個適合的近似解，即推導有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關系，從而形成單元矩陣（結構力學中稱剛度陣或柔度陣）。 </p><p>　　為保證問題求解的收斂性，單元推導有許多原則要遵循。 對工程

80、應用而言，重要的是應注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應以規(guī)則為好，畸形時不僅精度低，而且有缺秩的危險，將導致無法求解。 </p><p>　　第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結點進行，狀態(tài)變量及其導數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結點處。 </p><p>　　

81、第六步：聯(lián)立方程組求解和結果解釋：有限元法最終導致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機法。求解結果是單元結點處狀態(tài)變量的近似值。對于計算結果的質量，將通過與設計準則提供的允許值比較來評價并確定是否需要重復計算。 </p><p>　　簡言之，有限元分析可分成三個階段，前置處理、計算求解和后置處理。前置處理是建立有限元模型，完成單元網格劃分；后置處理則是采集處理分析結果，使用戶能簡便提取信息，了解計

82、算結果。</p><p>　　3.2 有限元基本理論與方法</p><p>　　3.2.1 彈性力學基本方程</p><p>　　彈性體V在表面力和體積力的作用下，任意一點產生位移為。其中，，和分別為表面力、體積力和位移沿直角坐標軸方向的三個分量。體內的應力狀態(tài)由六個應力分量來表示，其中為正應力，為剪應力。應力分量的矩陣形式稱為應力列陣或應力分量。</p>

83、;<p>　　彈性體內任意一點的應變可以由六個應變分量表示，其中為正應變，為剪應變。應變的矩陣形式為稱為應變列陣或應變向量。</p><p><b>　?。?）平衡方程</b></p><p>　　對于一般三維問題，彈性力學基本方程如下：</p><p><b>　　(3.1)</b></p>

84、<p><b>　　其矩陣形式為：</b></p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　其中為微分算子矩陣。</p><p><b>　?。?）幾何方程</b></p><p>　　對于線性彈性力學問題，應變和位移的關系為：</p>

85、<p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　幾何方程的矩陣形式為：</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p><b>　　（3）邊界條件</b></p><p>　　彈性體V的全部邊界為S，在一部分邊界上作用著表面力，這部分邊

86、界稱為給定力的邊界，記為；在另一部分邊界上彈性體的位移已知。這部分邊界稱為給定位移的邊界，記為，這兩部分邊界構成彈性體的全部邊界，即</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　所以彈性體的邊界條件為：</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　其

87、中l(wèi)，m，,n為彈性邊界法外法線與三個坐標軸夾角的方向余弦。</p><p>　　彈性體位移邊界條件為：</p><p><b>　　(3.8)</b></p><p>　　以上是三維彈性力學問題的基本方程和邊界條件，對于彈性力學平面問題、軸對稱問題和板殼問題都有與之對應的類似方程和邊界條件。</p><p>　　3.2

88、.2 彈性力學基本原理</p><p>　　彈性力學是固體力學的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產生的變形和內力，也稱為彈性理論。它是材料力學、結構力學、塑性力學和某些交叉學科的基礎，廣泛應用于建筑、機械、化工、航天等工程領域。</p><p>　　彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當外力不超過某一限度時，除去外力后物體即恢復原狀。絕對彈性體是不存在

89、的。物體在外力除去后的殘余變形很小時，一般就把它當作彈性體處理.</p><p><b>　　彈性力學的發(fā)展簡史</b></p><p>　　人類從很早時就已經知道利用物體的彈性性質了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例子。當時人們還是不自覺的運用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學，是從17世紀開始的。</p><p>　　彈性力學的發(fā)展

90、初期主要是通過實踐，尤其是通過實驗來探索彈性力學的基本規(guī)律。英國的胡克和法國的馬略特于1680年分別獨立地提出了彈性體的變形和所受外力成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學三定律。</p><p>　　同時，數(shù)學的發(fā)展，使得建立彈性力學數(shù)學理論的條件已大體具備，從而推動彈性力學進入第二個時期。在這個階段除實驗外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來處理一些簡單構件的力學問題。這些理論在后來都被指出

91、有或多或少的缺點，有些甚至是完全錯誤的。</p><p>　　在17世紀末第二個時期開始時，人們主要研究粱的理論。到19世紀20年代法國的納維和柯西才基本上建立了彈性力學的數(shù)學理論?？挛髟?822～1828年間發(fā)表的一系列論文中，明確地提出了應變、應變分量、應力和應力分量的概念，建立了彈性力學的幾何方程、運動(平衡)方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定了彈性力學的理論基礎，打開了彈性力學向縱深發(fā)

92、展的突破口。</p><p>　　第三個時期是線性各向同性彈性力學大發(fā)展的時期。這一時期的主要標志是彈性力學廣泛應用于解決工程問題。同時在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了許多有效的計算方法。</p><p>　　1855～1858年間法國的圣維南發(fā)表了關于柱體扭轉和彎曲的論文，可以說是第三個時期的開始。在他的論文中，理論結果和實驗結果密切吻合，為彈性力學的正確性提供了有力的證據(jù)

93、；1881年德國的赫茲解出了兩彈性體局部接觸時彈性體內的應力分布；1898年德國的基爾施在計算圓孔附近的應力分布時，發(fā)現(xiàn)了應力集中。這些成就解釋了過去無法解釋的實驗現(xiàn)象，在提高機械、結構等零件的設計水平方面起了重要作用，使彈性力學得到工程界的重視。</p><p>　　在這個時期，彈性力學的一般理論也有很大的發(fā)展。一方面建立了各種關于能量的定理(原理)。另一方面發(fā)展了許多有效的近似計算、數(shù)值計算和其他計算方法，如

94、著名的瑞利——里茲法，為直接求解泛函極值問題開辟了道路，推動了力學、物理、工程中近似計算的蓬勃發(fā)展。</p><p>　　從20世紀20年代起，彈性力學在發(fā)展經典理論的同時，廣泛地探討了許多復雜的問題，出現(xiàn)了許多邊緣分支：各向異性和非均勻體的理論，非線性板殼理論和非線性彈性力學，考慮溫度影響的熱彈性力學，研究固體同氣體和液體相互作用的氣動彈性力學和水彈性理論以及粘彈性理論等。磁彈性和微結構彈性理論也開始建立起來。

95、此外，還建立了彈性力學廣義變分原理。這些新領域的發(fā)展，豐富了彈性力學的內容，促進了有關工程技術的發(fā)展。</p><p><b>　　彈性力學的基本內容</b></p><p>　　彈性力學所依據(jù)的基本規(guī)律有三個：變形連續(xù)規(guī)律、應力-應變關系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學三大基本規(guī)律。彈性力學中許多定理、公式和結論等，都可以從三大基本規(guī)律推導出來。<

96、/p><p>　　連續(xù)變形規(guī)律是指彈性力學在考慮物體的變形時，只考慮經過連續(xù)變形后仍為連續(xù)的物體，如果物體中本來就有裂紋，則只考慮裂紋不擴展的情況。這里主要使用數(shù)學中的幾何方程和位移邊界條件等方面的知識。</p><p>　　求解一個彈性力學問題，就是設法確定彈性體中各點的位移、應變和應力共15個函數(shù)。從理論上講，只有15個函數(shù)全部確定后，問題才算解決。但在各種實際問題中，起主要作用的常常只是

97、其中的幾個函數(shù)，有時甚至只是物體的某些部位的某幾個函數(shù)。所以常常用實驗和數(shù)學相結合的方法，就可求解。</p><p>　　數(shù)學彈性力學的典型問題主要有一般性理論、柱體扭轉和彎曲、平面問題、變截面軸扭轉，回轉體軸對稱變形等方面。</p><p>　　在近代，經典的彈性理論得到了新的發(fā)展。例如，把切應力的成對性發(fā)展為極性物質彈性力學；把協(xié)調方程(保證物體變形后連續(xù)，各應變分量必須滿足的關系)發(fā)

98、展為非協(xié)調彈性力學；推廣胡克定律，除機械運動本身外，還考慮其他運動形式和各種材科的物理方程稱為本構方程。對于彈性體的某一點的本構方程，除考慮該點本身外還要考慮彈性體其他點對該點的影響，發(fā)展為非局部彈性力學等。 </p><p>　　3.3 有限元法的應用</p><p><b>　?。?）整船強度分析</b></p><p>　　90年代起，造

99、船界對大開口船采用了基于整船有限元模型的彎扭強度計算法，使船體結構分析上升到一個新水平。國外先進船級社對大型集裝箱船的總縱強度計算，通常采用動態(tài)載荷法進行整船有限元直接計算，建立和處理針對縱向主要結構強度評估的足夠精確的整船結構有限元模型與質量模型是此有限元技術的關鍵。</p><p>　　對于整船的有限元分析，在有限元建模過程中主要涉及三個重要問題：一是三維船體有限元模型的建立；二是邊界條件的處理；三是對船體有

100、限元模型的加載。</p><p>　?。?）船舶板梁組合結構的計算模型分析</p><p>　　在船舶結構初步設計階段不可能也不需要對整船作完整的應力分析，因此有必要對普通板梁結構分析。</p><p>　?。?）用有限元方法分析船舶振動問題</p><p>　　隨著計算機技術的發(fā)展和大型有限元計算程序的出現(xiàn)，可以建立復雜的三維計算模型來模擬

101、實際結構，但正確的計算結果還取決于計算模型的正確建立。對于一個龐大而又復雜的艦船結構，不可避免地存在著許多許多局部模態(tài)，這些局部模態(tài)會給計算結果帶來較大的影響。主從自由度方法的應用可以較好地解決這一問題。</p><p>　　模態(tài)綜合法也是研究復雜結構的重要方法之一：Hurty 提出了固定界面模態(tài)綜合法；Hou提出自由截面模態(tài)綜合法；MacNcal提出混和模態(tài)綜合法。上述方法都要求任何兩子結構之間是剛性聯(lián)接，然

102、而工程上許多結構不僅有剛性聯(lián)接，而目有彈性聯(lián)接，如裝有減震器的結構，其各子結構截面位移不具協(xié)調性，用傳統(tǒng)的模態(tài)綜合法對此類結構進行分析受到限制。</p><p>　　提出一種“中間結構”的概念，將彈性連接件作為柔性子結構單獨處理，使了結構間不協(xié)調的界面位移轉化為柔性子結構的內部變形，這樣柔性子結構與其余子結構的連接處滿足協(xié)調條件。這種新的模態(tài)綜合法一方面能夠處理既存在剛性聯(lián)接又存在彈性聯(lián)接的復雜系統(tǒng)，另一方面能夠

103、分析特定系統(tǒng)較高頻率的震動特性。</p><p>　?。?）分析船舶結構中的應力集中問題</p><p>　　應力集中通常是由于船體結構不連續(xù)而引起的。集裝箱船由于甲板大開口，使船體水平彎曲、扭轉效應、橫向強度在其總強度中所占的比例明顯上升。在船體彎扭變形時，甲板上的翹曲應力和剪應力占有較大比例，這兩類反對稱應力與彎曲正應力的聯(lián)合作用，造成了集裝箱船的艙口角隅應力集中嚴重，特別在后艙口角隅

104、處最為嚴重。</p><p>　　3.4 結構動力學問題的有限元法 </p><p><b>　　3.4.1概述</b></p><p>　　結構動力分析的主要任務有二：其一是求出結構的動態(tài)特性，主要指求出結構的固有頻率和振型，其二是求出結構對隨時間變化的載荷的響應，亦即結構在動載荷作用下的運動規(guī)律、應力。</p><p&g

105、t;　　任務一是解決結構能否正常工作的問題，同一動載荷作用下，不同結構的響應是不同的，響應的大小直接與結構的固有頻率相關，而且對于艙室和主機基座結構的固有頻率還要求與主機的頻率錯開以免發(fā)生共振。任務二是解決結構能否可靠工作的問題，有了結構各點的應力時歷曲線，可進行響應的極值分析和結構疲勞壽命評估。</p><p><b>　　3.4.2運動方程</b></p><p>

106、;　　可用三種等價但形式不同的方法建立，即：①利用達朗伯原理引進慣性力，根據(jù)作用在體系或其微元體上全部力的平衡條件直接寫出運動方程；②利用廣義坐標寫出系統(tǒng)的動能、勢能、阻尼耗散函數(shù)及廣義力表達式，根據(jù)哈密頓原理或其等價形式的拉格朗日方程導出以廣義坐標表示的運動方程；③根據(jù)作用在體系上全部力在虛位移上所作虛功總和為零的條件，即根據(jù)虛功原理導出以廣義坐標表示的運動方程。對于復雜系統(tǒng)，應用最廣的是第二種方法。</p><p

107、>　　通常,結構的運動方程是一個二階常微分方程組,寫成矩陣形式為：</p><p><b>　?。?.9）</b></p><p>　　式中為廣義坐標矢量，是時間t的函數(shù),其上的點表示對時間的導數(shù)；分別為對應于的結構質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；是廣義力矢量。</p><p>　　方程解法：運動方程（3.9）可用振型疊加法或逐步積分法求解

108、。</p><p>　?、?振型疊加法：先求出結構作自由振動時的固有頻率和振型，然后利用求得的振型作為廣義位移函數(shù)再對運動方程作一次坐標變換，進而求出方程的解。</p><p>　?、?逐步積分法：可用于直接求解耦合的運動方程(3.9),而且對阻尼矩陣的性質不需要附加任何限制，也適用于使振型疊加法失效的非線性結構系統(tǒng)的動力分析，因此是一種普遍適用的方法。該法是把時間劃分為一系列很短的時段，

109、按照初始條件確定初始時刻的廣義位移和廣義速度快，通過運動方程(3.1)解出廣義加速度悮，然后可設悮在這一時段內為常量,通過積分求出在這一時段結束時刻的,并以它們作為下一時段的初始值,如此一步一步求解下去，就能得到最終的結果。如果結構是非線性系統(tǒng)，同樣可假設結構參量（如剛度）在每一時段內是常量并取為該時段開始時刻的瞬時參量值。逐步積分法是一種近似的方法，為了減小積累誤差，必須把時段取得非常短，因而其計算工作量很大。為了提高效率，可以假設加

110、速度在每一時段內為線性函數(shù)（或其他簡單函數(shù)）。這樣，即使取時段（即積分步長）為運動周期的十分之一甚至五分之一也可以得到合理的結果。</p><p>　　3.4.3 特征值問題</p><p>　　在動力學方程式（3.18）中，令，，得結構的無阻尼自由振動方程</p><p><b>　　(3.10)</b></p><p&g

111、t;　　這是一個二階常系數(shù)線性齊次常微分方程組，其解的形式為：</p><p><b>　　(3.11)</b></p><p>　　代入式（3.10），得 </p><p><b>　　(3.12)</b></p><p><b>　　寫作 </b></p>

112、<p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　這是一個n階線性代數(shù)方程組，若要有非零解，則其系數(shù)行列式必須為零，即</p><p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　它是的n次實系數(shù)方程，稱為常微分方程組（3.11）的特征方程。形如式（3.12）的特征值問題稱為廣義特征值問題

113、，形如：</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　的特征值問題稱為標準特征值問題，是單位矩陣。</p><p>　?。?）剛度矩陣的正定的。足夠的約束使結構沒有剛體運動就屬于這種情況。將分解成三角陣的乘積</p><p><b>　　(3.16)</b></p&g

114、t;<p>　　式中是下三角陣。式（3.4）就可寫為：</p><p><b>　　(3.17)</b></p><p>　　記 (3.18)</p><p>　　作變換 (3.19)</p><p>　　并在方程中前乘，便得</p><

115、;p><b>　　(3.20)</b></p><p>　　再記 (3.21)</p><p>　　就化為標準特征值問題 (3.22)</p><p>　?。?）質量矩陣正定的。采用一致質量矩陣就屬于這種情況，有些集中質量矩陣也是正定的。用相同的辦法也可以化為標準特征值問題，只是表達式稍有不同，它們是</

116、p><p><b>　　(3.23)</b></p><p><b>　　(3.24)</b></p><p><b>　　(3.25)</b></p><p>　　由式（3.23）和式（3.24）可以看出，矩陣仍對稱，但不再是稀疏帶狀了。如果質量矩陣是對角陣，則式（3.24）中的