第七節(jié)函數(shù)的微分

1、二、微分運算法則,三、微分在近似計算中的應(yīng)用,四、微分在估計誤差中的應(yīng)用,,,,第五節(jié),一、微分的概念,函數(shù)的微分,第二章,一、微分的概念,引例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,,,,,,,,,,,,,既容易計算又是較好的近似值,問題: 一般函數(shù) y = f (x)是否也有 ?y = f (x+?x) – f (x) = A?x + o(?x)? A是什么?如何求?,的微分,,定義: 若函數(shù)

2、,在點 的增量可表示為,( A 為不依賴于△x 的常數(shù)),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,在點,可微,,由定義知:,更通俗地說, 是 的線性近似.,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點 可微 ,,則,故,在點 的可導(dǎo),,且,在點 可微的充要條件是,即,可微與可導(dǎo)的關(guān)系,定理 : 函數(shù),在點 可微的充要條件是,在點 處可導(dǎo),,且,即,,“充分性

3、”,已知,即,在點 的可導(dǎo),,則,微分的幾何意義,,,,,,,,,,當(dāng) 很小時,,則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,切線縱坐標(biāo)的增量,,自變量的微分,,記作,通常把自變量的增量,二、 微分運算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,,的微分為,,,微分形式不變,5. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),例1.,求,解:,例2. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例3. 在下列括號

4、中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.,注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.,三、 微分在近似計算中的應(yīng)用,當(dāng),很小時,,,使用原則:,得近似等式:,特別當(dāng),很小時,,常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 計算,例6. 有一批半徑為1cm 的球 ,,為了提高球面的光潔度,,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,

5、時體積的增量,,,因此每只球需用銅約為,( g ),用銅多少克 .,估計一下, 每只球需,要鍍上一層銅 ,,厚度定為 0.01cm ,,四、 微分在估計誤差中的應(yīng)用,某量的精確值為 A ,,其近似值為 a ,,稱為a 的絕對誤差,稱為a 的相對誤差,若,稱為測量 A 的絕對誤差限,稱為測量 A 的相對誤差限,誤差傳遞公式 :,已知測量誤差限為,按公式,計算 y 值時的誤差,故 y 的絕對誤差限約為,相對誤差限約為,若直接測量某量得 x

6、 ,,內(nèi)容小結(jié),1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可導(dǎo),,,可微,2. 微分運算法則,微分形式不變性 :,( u 是自變量或中間變量 ),3. 微分的應(yīng)用,近似計算,估計誤差,,思考與練習(xí),1. 設(shè)函數(shù),的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點,處的,及,并說明其正負(fù) .,,,,,,,,2.,,,,5. 設(shè),由方程,確定,,解:,方程兩邊求微分,,得,當(dāng),時,由上式得,求,作業(yè),P120 3 (4) , (7) , (8) , (9)