線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器

1、第7章 線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器,如果所研究的系統(tǒng)為線性，所取的性能指標(biāo)為狀態(tài)變量與控制變量的二次型函數(shù)，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問(wèn)題，稱為線性二次型問(wèn)題。,線性二次型最優(yōu)控制特點(diǎn)：易于實(shí)現(xiàn)；具有工程性；線性最優(yōu)控制的結(jié)果可以應(yīng)用于工作在小信號(hào)條件下的非線性系統(tǒng)，其計(jì)算和實(shí)現(xiàn)非線性控制方法容易；線性最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)方法可以作為求解非線性最優(yōu)控制問(wèn)題的基礎(chǔ)；線性最優(yōu)控制除具有二次型性能指標(biāo)意義上的最優(yōu)性外，還具有良好的頻響特性。,7.1 線性二次

2、型問(wèn)題,設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,（7-1）,式中 為 維狀態(tài)向量， 為 維控制向量， 為 維輸出向量； 為維數(shù)適當(dāng)?shù)臅r(shí)變矩陣，其各元分段連續(xù)且有界，在特殊情況下可以是常陣 。假定 ，且 不受約束。,若令 表示 維希望輸出向量，則,（7-2）,稱為誤差向量。要

3、求確定最優(yōu)控制 ，是下列二次型性能指標(biāo)極小：,（7-3）,式中 為 維對(duì)稱非負(fù)定常陣， 為 維對(duì)稱非負(fù)定時(shí)變矩陣， 為 維對(duì)稱正定時(shí)變矩陣，初始時(shí)刻 和末端時(shí)刻 固定。,在二次型性能指標(biāo)（7-3）中，其各項(xiàng)都有明確的物理含義。,（1）末值項(xiàng),（7-4）,不失一般性，取 ，表示對(duì)末態(tài)誤差要求的各元等加權(quán)，則有,此時(shí)，末值項(xiàng)表示

4、 時(shí)刻的跟蹤誤差，即末態(tài)誤差向量 與希望的零向量之間的距離平方和。,當(dāng) 時(shí)，表示對(duì)末態(tài)跟蹤誤差的各元有不同的要求。,若取,,則式（7-4）可以表示為,此時(shí)，末值項(xiàng)表示末態(tài)跟蹤誤差向量 與希望的零向量之間的距離加權(quán)平方和。,如果對(duì)末態(tài)跟蹤誤差不必限制，則可取 。此時(shí)性能指標(biāo) 變?yōu)榉e分型。,（2）第一過(guò)程項(xiàng),（7-5）,若取,則有,于是，式（7-5）可以表示為,上式表明，

5、第一過(guò)程項(xiàng)表示在系統(tǒng)控制過(guò)程中，對(duì)動(dòng)態(tài)跟蹤誤差加權(quán)平均和的積分要求，是系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)態(tài)跟蹤誤差的總度量。,（3）第二過(guò)程項(xiàng),（7-6）,若取,于是，式（7-6）可以表示為,則有,上式表明，第二過(guò)程項(xiàng)表示在系統(tǒng)控制過(guò)程中，對(duì)加權(quán)后的控制能量消耗的總度量。,因此，二次型性能指標(biāo)（7-3）的物理意義是：是系統(tǒng)在控制過(guò)程中的動(dòng)態(tài)誤差與能力消耗，以及控制結(jié)束時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu)。,二次型性能指標(biāo)有如下幾種重要的特殊情形。,（1）狀態(tài)調(diào)節(jié)器

6、的問(wèn)題,在系統(tǒng)方程（7-1）和誤差向量（7-2）中，如果,則有,從而，性能指標(biāo)（7-3）演變?yōu)?（7-7）,（7-7）,這時(shí)，線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離原平衡零狀態(tài)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-7）極小，即使得系統(tǒng)狀態(tài) 始終保持在零平衡狀態(tài)附近。,（7-8）,（2）輸出調(diào)節(jié)器的問(wèn)題,在誤差向量（7-2）中，如果,則有,從而，性能指標(biāo)（7-3）演變?yōu)?（7-8）,這時(shí)，線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離

7、原平衡狀態(tài)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-8）極小，即使得系統(tǒng)輸出 始終保持在零平衡狀態(tài)附近。,（3）跟蹤系統(tǒng)問(wèn)題,如果 ， 式（7-2）成立，性能指標(biāo)保持式（7-3）的形式不變，則線性二次型問(wèn)題歸結(jié)為：當(dāng)希望輸出量 作用于系統(tǒng)時(shí)，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-3）極小，即使得系統(tǒng)的實(shí)際輸出 始終跟隨 的變化。,7.2 狀態(tài)調(diào)節(jié)器,所謂

8、狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持在平衡狀態(tài)附近。,7.2.1 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器,問(wèn)題 7.1 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)方程為,（7-9）,式中 無(wú)約束；矩陣 與 維數(shù)適當(dāng)，其各元連續(xù)且有界。要求確定最優(yōu)控制 ，使下列性能指標(biāo)極小：,（7-10）,式中權(quán)矩陣

9、 其各元均連續(xù)有界；末端時(shí)刻 固定且為有限值。,（1） 最優(yōu)解的充分必要條件,定理7-1 對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-1，最優(yōu)控制的充分必要條件,（7-11）,最優(yōu)性能指標(biāo)為,（7-12）,式中 維對(duì)稱非負(fù)矩陣 滿足黎卡提矩陣微分方程,（7-13）,其邊界條件為,而最優(yōu)軌線 ，則是下列線性向量微分方程的解：,（7-14）,（7-15）,證明：,

10、必要性：證(5-14)表示的u*確為最優(yōu)，取H函數(shù)為：,根據(jù)最優(yōu)控制的控制方程：,可得：,設(shè)協(xié)態(tài)方程的解為,解此方程，可得最優(yōu)軌線：,與（7-19）式,比較可得：,該方程稱為黎卡提（Riccati )矩陣微分方程,因此，得最優(yōu)控制的必要條件為：,必要性得證。,充分性：若上式 u* 中P(t)為黎卡提方程滿足邊界條件的解，我們能證明它滿足哈密頓-雅可比方程，則根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，充分性成立。,令,哈密頓-雅可比方程為,由于 u(t) 無(wú)

11、約束，令,解得：,代入哈密頓-雅可比方程，得,而如此表述的,故當(dāng)上述黎卡提方程的邊界條件為：,對(duì)照性能指標(biāo)的終端項(xiàng),則有,充分性得證。,（2）黎卡提方程解的若干性質(zhì),為反饋增益矩陣。由于式（7-17）中矩陣 和 是已知的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的性質(zhì)取決于黎卡提方程的解 。,證明：由黎卡提方程及邊界條件：,考慮到 F、R、Q 均為對(duì)稱陣，將上式轉(zhuǎn)置：,可見(jiàn)上述兩個(gè)矩陣微分方程和其邊界條件完全相同。,由 P(t) 解

12、的惟一性，可知,命題7-2 對(duì)于性能指標(biāo)（7-10）,如果對(duì)有所的 ，有,則對(duì)于任意的 和相應(yīng)的 ，總有,命題7-3 若矩陣 是黎卡提方程（7-13）及其邊界條件（7-14）的唯一解，則其在區(qū)間 上必為非負(fù)矩陣。,（3）最優(yōu)控制解的存在性與唯一性,定理7-2 對(duì)于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-1，若 有限，則式（7-11）給出的最優(yōu)控制 存在且

13、唯一。,P170－P172 的兩個(gè)例題給出了如何應(yīng)用黎卡提方程來(lái)解最優(yōu)控制的例子。,7.2.2 無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器,對(duì)既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問(wèn)題只能用無(wú)限時(shí)間調(diào)節(jié)器理論去解決。,（1）無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器,性能指標(biāo),(7-20),式中向量 及矩陣 的假定同問(wèn)題7-1，控制 不受約束。要求確定最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo)

14、（5-20）極小。,定理7-3 對(duì)于無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-2,若陣對(duì) 完全可控，則存在唯一的最優(yōu)控制,(7-21),最優(yōu)性能指標(biāo)為,(7-22),式中,(7-23),是對(duì)稱、非負(fù)的，而 是如下黎卡提方程：,(7-24),及其邊界條件,的唯一解。,(7-25),關(guān)于定理7-3,有如下幾點(diǎn)標(biāo)記.,1）對(duì)系統(tǒng)提出的完全可控性要求，是為了保證最優(yōu)解的存在。,例 ： 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條

15、件為,性能指標(biāo),試求最優(yōu)控制 及最優(yōu)性能指標(biāo) 。,解,①,狀態(tài) 不可控。,本例為線性定常系統(tǒng)，其可控性判據(jù),故系統(tǒng)不可控。,②,不可控狀態(tài) 不穩(wěn)定。,系統(tǒng)矩陣,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為,顯然,③,不穩(wěn)定且不可控狀態(tài) 包含于性能指標(biāo)之中。無(wú)論 取何值 時(shí)，性能指標(biāo),因而本例不存在使 的最優(yōu)控制,實(shí)際上，本例為線性定常系

16、統(tǒng)，性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣亦為常陣。因此，即使對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，為了保證最優(yōu)解存在，也必須要求系統(tǒng)完全可控。,3） 對(duì)于無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，由于黎卡提方程（7-24）在邊界調(diào)節(jié)（7-25）下的穩(wěn)態(tài)解 仍為時(shí)變矩陣，因而最優(yōu)控制律是時(shí)變的，不便于工程應(yīng)用。,2） 對(duì)于無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，通常在性能指標(biāo)中不考慮終點(diǎn)指標(biāo)，取權(quán)陣 。其原因有二：一是希望

17、 ，即要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，因而性能指標(biāo)中不必加入體現(xiàn)終點(diǎn)指標(biāo)的末值項(xiàng)；二是工程上僅考慮在有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)的響應(yīng)，因而 時(shí)的終點(diǎn)指標(biāo)將失去工程意義。,（2）無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器,性能指標(biāo),(7-27),式中 無(wú)約束；矩陣 和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且， 和 分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。要求確定最優(yōu)控制

18、 ，使性能指標(biāo)（7-27）極小。,定理 7-4 對(duì)于系統(tǒng)（7-26）和性能指標(biāo)（7-27），若對(duì)于任意矩陣 ，有 ，且 是如下黎卡提矩陣代數(shù)方程：,定理 7-5 對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-3,若陣對(duì) 完全可控，陣對(duì) 完全可觀，其中 ，且 任意，則存在唯一的最優(yōu)控制,(7-29),最優(yōu)性能指標(biāo)為,(7

19、-30),式中 為對(duì)稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一解,(7-31),7.2.3 最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性,按定常調(diào)節(jié)器問(wèn)題進(jìn)行綜合，可得最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)方程為,(7-32),研究該最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的必要條件。,定理 7-6 設(shè)線性定常系統(tǒng),(7-33),性能指標(biāo),(7-34),7-35,為漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)， 為一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。其中， 為對(duì)稱正定常陣，是黎卡提矩陣代數(shù)方

20、程7-31的唯一解。,式中 無(wú)約束；矩陣 和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且， 和 分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。若陣對(duì) 完全可控，陣對(duì) 完全可觀，其中 ，而 任意，則閉環(huán)系統(tǒng),命題 7-4 對(duì)于系統(tǒng)（7-33）和性能指標(biāo)（7-34）,已知陣對(duì) 可

21、控，且系統(tǒng)（7-33）的可控標(biāo)準(zhǔn)形為,式中 為可控對(duì)。假定 不可觀，其中 。,7.3 具有給定穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器,問(wèn)題7-4 設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程,(7-36),性能指標(biāo),(7-37),式中 無(wú)約束；矩陣 和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?/p>

22、數(shù)矩陣。并且， 和 分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。 ，為已知值。要求確定最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo)7-37極小，并使最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，其特征值實(shí)部小于,7.3.1 修正調(diào)節(jié)器問(wèn)題的最優(yōu)解,設(shè)在問(wèn)題7-4 完全可控， 完全可觀，其中為任一使 的矩陣?？煽丶翱捎^的要求，對(duì)確保無(wú)限時(shí)間問(wèn)題有解以及確定對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定度約束使必需的。,

23、通過(guò)變換方法，可將問(wèn)題7-4 化為無(wú)限問(wèn)題定常調(diào)節(jié)器問(wèn)題，定義,(7-38),(7-39),考查,(7-40),(7-41),將式（7-38）和式（7-39）代入上式，得修正調(diào)節(jié)器性能指標(biāo),(7-42),式中 與 仍然分別為非負(fù)和正定對(duì)稱矩陣。,對(duì)于系統(tǒng)（7-41）和性能指標(biāo)（7-42），如果沒(méi)有可控性和穩(wěn)定性的附加約束，則這一最小化問(wèn)題可能無(wú)解。,根據(jù)線性系統(tǒng)理論，如下四種提法完全等價(jià),根據(jù)定理7-5 ，修正調(diào)節(jié)器問(wèn)題存

24、在唯一的最優(yōu)控制,(7-43),最優(yōu)性能指標(biāo),(7-46),式中 為正定對(duì)稱常陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程,(7-45),根據(jù)定理7-5,最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng),是漸進(jìn)穩(wěn)定的。,(7-44),7.3.2 具有給定穩(wěn)定度的調(diào)節(jié)器問(wèn)題的最優(yōu)解,將式（7-38）和式（7-39）分別代入式（7-43）、式（7-44）、式（7-46），可得最優(yōu)控制,（7-47）,最優(yōu)性能指標(biāo),（7-48）,最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng),漸進(jìn)穩(wěn)定。其中 滿足式（7-45）

25、。,（7-49）,為了證明關(guān)于穩(wěn)定度的規(guī)定，由漸進(jìn)穩(wěn)定得式（7-46），有,（7-50）,將式（7-38）代入式（7-50），可得,（7-51）,,當(dāng) 時(shí)，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)（7-49）的狀態(tài) 至少以 的速度趨于零，完全滿足給定穩(wěn)定度 的要求。 越大， 收于零的速度越快。通常將 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的最小穩(wěn)定度。,定理7-7 設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程,(7-52),性能指標(biāo),(7-

26、53),式中 無(wú)約束；矩陣 和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?。并且?和 分別為非負(fù)定和正定對(duì)稱矩陣。 為給定的正常數(shù)。,若陣對(duì) 完全可控，陣對(duì) 完全可觀，其中 為任一使 的矩陣，則存在唯一最優(yōu)控制,(7-54),最優(yōu)性能指標(biāo),7-55,式中 為對(duì)稱正定常陣，是下列黎卡

27、提矩陣代數(shù)方程：,7-56,的唯一解。最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng),7-57,是漸進(jìn)穩(wěn)定的，且穩(wěn)定度至少為 。,7.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器,逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題，是指已知某個(gè)具有未知定常擾動(dòng)的線性定常系統(tǒng)，在規(guī)定穩(wěn)定度要求下，尋求某個(gè)二次型性能指標(biāo)，使得由規(guī)定穩(wěn)定要求確定的線性狀態(tài)反饋控制律 ，對(duì)所構(gòu)造的性能指標(biāo)來(lái)說(shuō)是最優(yōu)的。 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的實(shí)質(zhì)：最優(yōu)調(diào)節(jié)器的極值點(diǎn)配置問(wèn)題。,7.4.1 逆

28、調(diào)節(jié)器問(wèn)題,設(shè)完全可控系統(tǒng)狀態(tài)方程,(7-58),式中 為 維狀態(tài)向量； 為 維控制向量，且無(wú)約束； 為 維常值未知擾動(dòng)向量； ； 和 為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。,假設(shè)：,若令,(7-59),(7-60),則逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題為：尋求二次型性能指標(biāo),(7-61),使得由 和 確定的控制律 ，對(duì)性能指標(biāo)（7-61）是最優(yōu)的。其中， 為非負(fù)

29、對(duì)稱常陣， 和 為正定對(duì)稱常陣。,,由假設(shè) ②，能夠選取一個(gè)矩陣 ，使得,將式（7-62）代入狀態(tài)方程（7-58），并考慮式（7-59）和式（7-60），可得,(7-62),(7-63),定義,(7-64),(7-65),則系統(tǒng)方程（7-63）和（7-64），以及性能指標(biāo)（7-61）可以寫(xiě)為,(7-66),(7-67),式中,經(jīng)上述矩陣增廣后，逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：,對(duì)于給定的線性定常系統(tǒng)（7-66）和給定穩(wěn)定度約束

30、 和 ，尋求狀態(tài)反饋陣 和權(quán)陣 與 ，使得 滿足 和 約束成為最優(yōu)控制，并使性能指（7-67）極小。,7.4.2 狀態(tài)反饋陣的表達(dá)式,一個(gè)完全可控的 階連續(xù)系統(tǒng)，對(duì)其給定穩(wěn)定度的一種評(píng)價(jià)規(guī)則是所有閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部和幅角有要求的上限。若用 表示期望極點(diǎn)區(qū)域，易見(jiàn) 為圖7-1中的陰影區(qū)。,引理7-1 定常齊次動(dòng)態(tài)方程,其零

31、解漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)給定的任一正定對(duì)稱陣 ，都存在唯一的正定對(duì)稱陣 ，使得,引理7-2 對(duì)于完全可控的 階連續(xù)系統(tǒng),如果,必有 即,式中 表示特征值， 表示實(shí)部。,引理7-3 對(duì)于任意給定的 正定對(duì)稱矩陣 ，以及任意正數(shù) 和

32、 ，矩陣方程,(7-68),有正定對(duì)稱解的充分必要條件是,定理7-8 設(shè)系統(tǒng)（7-66）完全可控，給定正定對(duì)稱矩陣 。若 為正定對(duì)稱矩陣，則必存在滿足下式的狀態(tài)反饋陣 ：,,(7-69),使得閉環(huán)系統(tǒng)特征值 。,7.4.3 狀態(tài)反饋陣與性能指標(biāo)的關(guān)系,(7-70),的一般解。式中 ，滿足,若

33、 非奇異，則有,(7-71),引理7-4 對(duì)于完全可控系統(tǒng)（7-66），若 列滿秩， 對(duì)稱非負(fù)， 漸進(jìn)穩(wěn)定，則存在對(duì)稱正定矩陣 和狀態(tài)反饋陣 ，其中 為對(duì)稱非負(fù)矩陣，是如下方程,定理7-9 考慮完全可控（7-66）， 列滿秩，若,①,則當(dāng) 正定對(duì)稱時(shí)，必存在非負(fù)對(duì)稱的 和 ，滿足,(7

34、-72),(7-73),式中,推論 在定理7-9中，若取 為單位陣，則必存在非負(fù)對(duì)稱得 和 ，滿足,(7-74),(7-75),7.4.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)步驟,逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)，可按如下步驟進(jìn)行：,①,②,③,給定正定對(duì)稱矩陣 ，一般可取,由式（7-69）求出使 為對(duì)稱正定矩陣 的取值范圍,7.5 離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器,問(wèn)題 7-5 設(shè)線性離散系統(tǒng)狀態(tài)差分方程,式中

35、 .性能指標(biāo),要求一最優(yōu)控制序列 ,使性能指標(biāo)最小,問(wèn)題 7-5是有限時(shí)間離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題?？梢宰C明,其最優(yōu)控制是一種線性狀態(tài)反饋規(guī)律,而且最優(yōu)性能指標(biāo)是初始狀態(tài)的二次型函數(shù)。,定理7-10 對(duì)于有限時(shí)間離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題7-5,存在唯一的線性狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制序列,最優(yōu)性能指標(biāo),式中反饋增益矩陣序列,而

36、 是下列離散黎卡提方程的對(duì)稱非負(fù)定解,邊界條件為,離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖如圖7-5所示,,由定理7-10可見(jiàn),反饋增益矩陣 取決于系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A(k), ,以及性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣, 、 和 ,而與初始狀態(tài) 無(wú)關(guān)。因此實(shí)現(xiàn)上圖 所示閉環(huán)最優(yōu)控制時(shí),可以離線算出 ,在線只進(jìn)行 的簡(jiǎn)單運(yùn)算,例7-8 已

37、知離散系統(tǒng),解 本例為離散狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。由題意,（A）另 ，得,（B）另 ，算得,求出,（C）另 ，算得,求出,（Ｄ）另 ，算得,求出,（E）計(jì)算最優(yōu)控制序列,第8章 線性最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器與跟蹤系統(tǒng),問(wèn)題 8-1 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,要求確定最優(yōu)控制 ，使下列性能指標(biāo)極?。?引理 8-1

38、 在問(wèn)題8-1中，若矩陣對(duì) 完全可觀測(cè)，則下列矩陣：,必為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。,定理 8-1 對(duì)于有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-1，若矩陣對(duì) 在 時(shí)刻完全可觀測(cè)，則存在唯一的最優(yōu)控制,最優(yōu)性能指標(biāo),最優(yōu)軌線 滿足下列線性微分方程：,8.1.2 無(wú)限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器,問(wèn)題 8-2 設(shè)線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,要求確定

39、最優(yōu)控制 ，使下列性能指標(biāo)極小,定理8-2 對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-2，若矩陣對(duì) 完全可控， 完全可觀，且對(duì)于滿足 的任何 ，陣對(duì) 完全可觀，則最優(yōu)控制,最優(yōu)性能指標(biāo),式中 為正定對(duì)稱常數(shù)矩陣，滿足下列黎卡提代數(shù)方程,例8-1 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,解：,（A）檢測(cè)系統(tǒng)的可控性與可觀性。由

40、題意有,因?yàn)?所以， 可控， 可觀， 可觀，可以構(gòu)造漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,（B）解黎卡提代數(shù)方程。將各有關(guān)參數(shù)代入式（8-16）求得,易驗(yàn)證閉環(huán)系統(tǒng)確是漸進(jìn)穩(wěn)定的。,定義8-1 穩(wěn)定子空間與不穩(wěn)定子空間。,對(duì)于齊次微分方程 ，其中 有各異特征值，則所有由負(fù)實(shí)部特征值的特征向量所張成的線性子空間，稱為穩(wěn)定子空間;否則稱

41、為不穩(wěn)定子空間。,定義8-5 可穩(wěn)定性。,在式（8-18）中， 為可控對(duì)， 為系統(tǒng) 的可控特征值， 為不可控特征值,式中 漸進(jìn)穩(wěn)定。,在式（8-19）中， 為可觀時(shí)， 為系統(tǒng) 可觀特征值， 為不可觀特征值,定理8-3 對(duì)于無(wú)限時(shí)間定常輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-2，若

42、給定黎卡提矩陣微分方程,邊界條件,最優(yōu)性能指標(biāo),最優(yōu)控制為,且閉環(huán)系統(tǒng),漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是 可穩(wěn)定， 可檢測(cè),（D）當(dāng) 時(shí)， 的充分必要條件是 可觀,8.1.3 輸出反饋次優(yōu)調(diào)節(jié)器,問(wèn)題8-3 設(shè)完全可控且完全可觀的線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,試確定輸出反饋次優(yōu)控制律,使下列性能指標(biāo)極小,式中 和 均為對(duì)稱正定常數(shù)矩

43、陣。并使如下閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。其中,輸出反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖所示，將（6-48）代 入 （6-49）得：,其中,下面采用李雅普諾夫第二法討論，確定 ，要求保證閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，并使性能指標(biāo)極小。,取李雅普諾夫函數(shù),將（8-50）代入上式，得,令,由（8-53）和（8-56），可得,將（8-57）代入（8-51），得,由于閉環(huán)系統(tǒng)（8-50）漸進(jìn)穩(wěn)定，必有 。于是，問(wèn)題8-3的次優(yōu)

44、性能指標(biāo),次優(yōu)控制,其中 和 滿足,由（8-60）解出用 表示的 ，即 ，代入（8-58），得 ，然后令,可以找到使 極小的 值。從而求得 值,8.2 離散輸出調(diào)節(jié)器,問(wèn)題8-4 設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程及輸出方程為,定理8-4 對(duì)于有限時(shí)間離散輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題8-4，若陣對(duì)

45、 完全可觀，則存在唯一的線性狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)控制序列,最優(yōu)性能指標(biāo),而 是離散黎卡提方程,問(wèn)題8-5 已知線性時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程,為極小值,定理8-5 對(duì)于有限時(shí)間時(shí)變跟蹤系統(tǒng)問(wèn)題8-5，若陣對(duì) 完全可觀，則存在唯一的最優(yōu)控制,式中 為對(duì)稱非負(fù)定實(shí)矩陣，是下列黎卡提矩陣微分方程,及其邊界條件,最優(yōu)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng),滿足初始條件,的解，為最優(yōu)軌線,8.3.2

46、 無(wú)限時(shí)間定常跟蹤系統(tǒng),定理 8-6 已知線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,設(shè) 為 維定常希望輸出常向量， 為誤差向量，由下式定義：,性能指標(biāo),若陣對(duì) 完全可控，陣對(duì) 完全可觀，則近似最優(yōu)控制,式中 為對(duì)稱正定常陣，滿足下列黎卡提代數(shù)方程,常值伴隨向量,引理 8-2 若 為 維實(shí)常陣，且有,則當(dāng) 充分大

47、時(shí)，有,證明 不失一般性，設(shè) 有各異特征值 必存在非奇異變換矩陣,因?yàn)?令 ，且 充分大，必有,例8-5 設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,性能指標(biāo),試求近似最優(yōu)控制 。其中 （常數(shù)）,解 由題意,（A）檢測(cè)系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性,故系統(tǒng)完全可控、可觀，近似最優(yōu)控制存在