數(shù)學附錄

1、數(shù)學附錄,１ 歐氏空間：歐氏空間Rn的每一點有n個分量，它們都是實數(shù)；兩點x=(x1,…xn)和y=(y1,…,yn)之間的距離為 d(x,y) = [(x1-y1)2+…+(xn-yn)2]1/2。 給出實數(shù)?>0，歐氏空間中一點x的?-鄰域B(x,?)包含所有到這點距離小于?的點。２ 序列和極限：假設X是歐氏空間Rn的一個子集，{xk}k=1? 是X中的一個(無窮)序列。稱x*為這個序列的一個聚點，如果x*的

2、任意一個鄰域中都包含有這個序列中的點。注意：x*不必在X中；又一個序列可以有多個聚點。特別地，如果給出x*的每一個鄰域B(x*,?)，這個序列從某一項開始，這一項及其后所有的項都包含于B(x*,?)，那么 x*就是這個序列的唯一聚點，稱為這個序列的極限。這時又稱這個序列收斂于是x*。３ 開集和閉集：歐氏空間中的一個子集F叫做閉的，如果包含于的X每一個序列的所有聚點都屬于F本身。歐氏空間中一個子集G叫做開的，如果它的余集Gc=Rn\G

3、是閉的。,數(shù)學附錄,４ 內點和界點：歐氏空間中一個子集X的點x叫做一個內點，如果它的某一個鄰域B(x,?)整個被包含在X內；稱x為X的一個界點，如果x的每一個鄰域既包含X的點也包含余集Xc的點。X的全體內點之集記為Int(X)，X的全體界點之集記為Bdy(X)。一個開集G的每個點都是內點，一個閉集F包含它所有界點。５ 緊致性：歐氏空間中一個子集X叫做緊致的（序列緊），如果X中每一個序列都有子序列收斂于X本身某個點?？梢宰C明，歐氏空間

4、中的每個有界閉集都是緊致集，反之亦然。,數(shù)學附錄,６ 連續(xù)函數(shù)：定義在歐氏空間子集X上的實值函數(shù)f叫做在某點x?X連續(xù)的，如果對于每一個收斂于x的序列{xk}k=1??X，相應的函數(shù)值序列{f(xk)}k=1? 都收斂于f(x)。如果函數(shù)f在X上每一個點都連續(xù)，就稱f在X上連續(xù)。定義在緊致集X上的每一個連續(xù)函數(shù)都在X中取得最大值和最小值。,數(shù)學附錄,７ 凸集：A set X??n is said to be a convex set

5、 if for any two points x’ and x” in X and any real number ??[0, 1], the point x?=(1-?)x’+?x” is contained in X. The intersection of any number of convex set is also convex.８. For any m points x1,…,xm in ?n, and any ?1,

6、…,?m in [0, 1] such that ?i?i=1, x=?i?ixi is said to be a convex combination of x1,…,xm.,數(shù)學附錄,9 凹函數(shù)： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set X??n. f is said to be concave if for any x’ and x” in X

7、, and any real number ??(0, 1), it holds that (1-?)f(x’)+?f(x”) ? f((1-?)x’+?x”)f is said to be strictly concave if the sign “?” in the above inequality is replaced by “<”.,數(shù)學附錄,10 凸函數(shù)： Assume that a real-v

8、alued function f is defined on a convex set X??n. f is said to be convex if for any x’ and x” in X, and any real number ??(0, 1), it holds that (1-?)f(x’)+?f(x”) ? f((1-?)x’+?x”)f is said to be strictly concav

9、e if the sign “?” in the above inequality is replaced by “>”.,數(shù)學附錄,11 擬凹函數(shù)：A function f defined on a convex set X??n is said to be quasi-concave, if for any x’ and x” in X and any ??[0, 1]: f((1-?)x’+?x”) ? m

10、in {f(x’),f(x”)}f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “?” in the above inequality is replaced with “>”. 7. Any concave (strictly concave) function is quasi-concave (strictly quasi-concave), but the c

11、onverse is not true.,數(shù)學附錄,12 擬凸函數(shù)：A function f defined on a convex set X??n is said to be quasi-convx, if for any x’ and x” in X and any ??[0, 1]: f((1-?)x’+?x”) ? min {f(x’),f(x”)}f is said to be strictly q

12、uasi-convex, if the sign “? ” in the above inequality is replaced with “<”. . Any convex (strictly convex) function is quasi-convex (strictly quasi-convex), but the converse is not true.,數(shù)學附錄,14 等值集，上值集，下值集： Assum

13、e that f be defined on X??n, x0?X, and f(x0) = y0. The level set, the superior set, and the inferior set for level y0 are, respectively, the sets: L(y0) = {x?X: f(x)=y0}; S(y0) = {x?X: f(x)?y0}; I(y0) = {x?X: f(x)?y

14、0},數(shù)學附錄,A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set X??n to be quasi-concave (resp. quas-convex) is that all the superior sets S(y) (resp. all the inferior sets I(y)) are convex; f is st

15、rictly quasi-concave (resp. strictly quas-convex) if all S(y) (resp. I(y)) are convex, and for any two points x’ and x” in any S(y), (resp. I(y)), the points on the line segment {x=(1-?)x’+?x”: ??[0, 1]} expect possibly

16、the two endpoints are all contained in Int(S(y)) (resp. I(y)).,數(shù)學附錄,15 二元凹函數(shù)和擬凹函數(shù)的判別：Assume that f(x,y) is defined on a convex set X and f is C2. Then f is concave if f xx 0. A necessary and sufficient condition for a

17、 function f defined on a convex set X??n to be quasi-concave is that all the superior sets S(y) are convex; f is strictly quasi-concave if all the superior sets S(y) are convex, and for any two points x’ and x” in any su

18、perior set S(y), the points on the line segment {x=(1-l)x’+lx”: l?[0, 1]} expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y)).,數(shù)學附錄,16 凸規(guī)劃: Assume that f and g are differentiable functions defined on a conve

19、x set X??n and non-decreasing in each variable. Assume that f is quasi-concave and g is quasi-convex, and that f(O)=g(O)=0. Then both of the primal and the dual convex programming problems (where c>0 and k>0 are co

20、nstants):  max f(x), S.T. g(x)k,   have optimal solutions. The solution of the primal (resp.the dual) problem is a tangent point of g(x)=c (resp. f(x)=k) with a level set of f (resp. g).,偏好和效用,消費集：考慮

21、一個有M種商品的經濟。一個各分量非負的M-維向量x=(x1,...,xM)就稱為一個商品向量，這個向量的第m個分量xm表示第m種商品的量。一個消費者i意欲消費的商品向量的全體Xi構成他的消費集。在一般情況下，我們認為Xi=RM+。容許消費集：對消費者i來說，一個商品向量稱為容許的，如果他的收入足夠支付購買這個商品向量所需的花費。對于給定的價格向量p和給定的收入I, 消費者i的所有容許商品向量構成他的容許消費集，記為Bi(p,I)。,偏

22、好和效用,下面我們討論消費者i的消費決策。為方便計我們略去他的消費集和容許消費集的上標。定義在X上的一個偏好就是一個二元關系?: “x ?y”是指“x至少和y一樣好”。(如果有x ?y但沒有y ?x，就記x?y，稱x比y好。如果有x ?y同時有y ?x，就記x?y，稱x和y無區(qū)別。) 這個二元關系應該滿足：完備性：對于X中任何兩個消費向量x, y，或者“x ? y”與“y ? x”至少一個成立；傳遞性：如果x ? y和y ?z同時成

23、立，那么x ?z；連續(xù)性：如果對序列{xn}中的每一個xn都有xn ?y而且 lim xn=x ，那么x ?y。,偏好和效用,單調性：（1）嚴格增性指 x>>y ? x?y ，注意這蘊含了x?y ? x?y；（2）強嚴格增性指 x?y并且x≠y ? x ?y。凸性： （1）弱凸性指 x?y ? tx+(1-t)y ?y 對任何實數(shù)t?[0, 1]；（2）強凸性指 x?y & x≠y ? tx+(1-t)

24、y ?y 對任何實數(shù)t?(0, 1)。,偏好和效用,效用函數(shù)：設?為消費者i的偏好；稱定義在Xi=RH上的函數(shù)u表示i的偏好，如果對任意x,y?RM，u(x)?u(y)?x?y。注意，上式蘊含了u(x)>u(y)?x?y 以及u(x)=u(y)?x?y。u又稱為i的效用函數(shù)。效用函數(shù)的存在性定理：如果消費者i的偏好?滿足完備性，傳遞性，連續(xù)性和嚴格增性公理，那么存在連續(xù)嚴格增的效用函數(shù)u表示i的偏好。又如果u是i的一個效用函數(shù)，

25、那么對任何嚴格增的一元實函數(shù)f，f(u(·))也是i的效用函數(shù)。定義在RM +上的函數(shù)f稱為擬凹的，如果對于x,y? RM+ (x≠y) 和t?(0, 1)，f((1-t)x+ty)?min{f(x),f(y)}；如果上面的不等式是嚴格不等式，則稱f是嚴格擬凹的。偏好的凸性和效用函數(shù)的凹性：如果u是表示?的效用函數(shù)，那么u是（嚴格）擬凹的當且僅當?是（嚴格）凸的。,偏好和效用,函數(shù)擬凹性的判別定理：假設函數(shù)f在RM++上有

26、二次連續(xù)偏導數(shù)，那么（1）如果f在RH++上擬凹，則在RM++上它的所有加邊Hessian主子式Br≤0 (r=1,…,M)。（2）如果在RM++上每點f的所有加邊Hessian主子式Br<0 (r=1,…,K)，那么f在RM++上嚴格擬凹。 其中， Br的定義如下幻燈片所示，其中fm=?f/?xm，fmn= ?2f/?xm?xn 。,偏好和效用,凹函數(shù)：定義在RM+上的函數(shù)f稱為凹的，如果對于x,y? RM+ (x≠y

27、) 和t?(0, 1)，f((1-t)x+ty)?(1-t)f(x)+tf(y)；如果上面的不等式是嚴格不等式，則稱f是嚴格凹的。注意：（嚴格）凹函數(shù)是（嚴格）擬凹函數(shù)，但反過來一般不成立。函數(shù)凹性的判定定理：假設函數(shù)f在RM++上有二次連續(xù)偏導數(shù)，那么(1)如果f在RM++上為凹函數(shù)，則在RM++上它的Hessian矩陣的所有先導主子式Hr滿足(-1)rHr?0。(2)如果在RM++上f的Hessian矩陣的所有先導主子式Hr滿足

28、 (-1)rHr>0那么f在RM++上嚴格凹。Hessian矩陣的定義見下一幻燈片。,偏好和效用,偏好和效用,從幾何上看，一個消費者的偏好如果滿足上述五個公理，它就可以用其效用函數(shù)的那一組等值曲面即無差別曲面（曲線）表示；籠統(tǒng)地說，離開坐標原點越遠的曲面上的消費向量產生的效用越大。消費者的決策問題通常是在容許消費集中選取效用最大化的消費向量；在大多數(shù)情況下，這個最優(yōu)消費向量對應于預算約束平面（直線）和某個無差別曲面的切點

29、。在本課程中最為常見的效用函數(shù)包括Cobb-Douglas和CES效用函數(shù)，它們都具有擬凹性。與偏好和效用相關的另外一些數(shù)學知識和重要結論可見于數(shù)學附錄1中。,消費者決策,Marshallian需求：在初級微觀經濟學的討論中，通常把消費者的需求視為給定的；在實際情況中，消費者是根據商品的價格向量p和自己的收入I選取消費向量以求效用最大化。由此推導出來的需求x(p,I)就叫做Marshallian需求。在一般情況下（指偏好滿足五個公理

30、而具有非嚴格凸性），x(p,I)是個非空凸閉集；進一步，在偏好嚴格凸時，x(p,I)是單點集，這時Marshallian需求是價格和收入的連續(xù)函數(shù)。,消費者決策,消費者的決策是個凸規(guī)劃；無差別曲面的法向量是(u1,…,uM)，預算約束平面 p·x=I 的法向量就是p=(p1,…,pM)；因此在最優(yōu)解處有實數(shù)?使得(u1,…,uM) =?(p1,…,pM)。由此得u1/p1=…=uM/pM。就是說，對每一種商品而言，邊際效用和相

31、應的價格成比例。設想在無差別曲面u(x1,…,xM)=const上讓xm ,xn 變化而其他商品的消費量保持不變，容易導出商品i對商品j的邊際替代率 MRSmn?-dxn/dxm=pm/pn。,消費者決策,簡例1 小陳媽媽每天給小陳的伙食開支是I，用來買食物(f)和飲料(d)，它們的價格分別用pf, pd表示。假設小陳的效用函數(shù)是u=(fd)1/2。試推導小陳的Marshallian需求。,消費者決策,簡例1（續(xù)）小陳的決策是個凸規(guī)劃

32、；他的預算約束直線方程是pff+pdd=I，其法向量為(pf,pd)；他的無差別曲線方程為u=const，法向量為(uf,ud)。在最優(yōu)決策點上這兩個法向量共線，即有實數(shù)?使得(uf,ud)= ?(pf,pd)；由此得到：uf/pf=ud/pd。（對所有商品而言邊際花費所得的邊際效用都相等。）注意?就是Lagrange乘數(shù)。簡例1（續(xù)）當u=(fd)1/2時， (fd)1/2=const就是fd=const， 從而(uf,ud)=(d

33、,f)；由此得到pff=pdd= =I/2；就是說，小陳的Marshallian 需求函數(shù)是：f=I/(2pf)，d=I/(2pd)。,消費者決策,間接效用函數(shù)：間接效用函數(shù)表示消費者的最大效用U和他的收入I以及商品價格向量p之間的相依關系。在效用函數(shù)為嚴格擬凹時，將消費者的Marshallian需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，得到U=v(p,I)?u(x(p,I))，這里v就是間接效用函數(shù)?？梢宰C明，在一般情況下，間接效用函數(shù)是擬凸函數(shù)，分

34、別對p（p>>0）和對I（I?0）連續(xù)。簡例1（續(xù)）回到簡例1，小陳的間接效用函數(shù)就是v(p,I)=u(I/(2pf),I/(2pd))=I/[2(pfpd)1/2]。,消費者決策,支出函數(shù)：支出函數(shù)表示消費者的最小支出E和商品的價格向量p以及消費者想要達到的某一效用水平V之間的相依關系。支出最小化和效用最大化是一對對偶問題。從間接效用函數(shù)關系V=v(p,I)中解出I?E=e(p,V)，e就是支出函數(shù)。支出函數(shù)e分別對p

35、（p>>0）和對V連續(xù)；又e對于p是凹函數(shù)。簡例1（續(xù)）回到簡例1，從V=I/[2(pfpd)1/2]解得I?E=2(pfpd)1/2V，e(p,V)=2(pfpd)1/2V就是小陳的支出函數(shù)。,消費者決策,Hicks需求函數(shù)：Hicks需求函數(shù)表示出消費者以最小支出在價格向量p下取得某個給定效用水平V而選擇的消費向量。將最小支出函數(shù)代入Marshallian需求函數(shù)中的收入I，就得到Hicks需求函數(shù)h：h(p,V)?x

36、(p,e(p,V))。必須注意，在價格向量p和收入I給定的情況下，如果V=x(p,I)，那么因為e(p,V)=I，所以h(p,V)=x(p,I)。但是當價格向量改變成p’后，一般而言，e(p,V)不再等于I，所以h(p’,V)一般不再等于x(p’,I)。特別的，如果p’?p并且p’≠p，則有e(p’,V)>I；在所有商品都是正規(guī)商品時，h(p’,V)=x(p’,e(p’,V))>>x(p’,I)。,消費者決策,簡例1

37、（續(xù)）小陳的Hicks需求函數(shù)是hf(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pf)= (pd/pf)1/2V，hd(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pd)= (pf/pd)1/2V。簡例1（續(xù)）假設原來I=8，pf=pd=2；那么Marshallian需求為xf=xd=2，效用水平是V=2。同時容易驗證他的Hicks需求是：hf=hd=(2/2)1/2V=2。簡例1（續(xù)）設想食物的價格上漲到pf’=4而飲料的價格不變；小陳

38、的Marshallian需求改變?yōu)閤f=1，xd=2。如果要保持原來的效用水平，他的Hicks需求是：hf=(2/4)1/2(2)=21/2 ，hd=(4/2)1/2(2)=2?21/2。,消費者決策,Roy’s 恒等式：注意到間接效用函數(shù)V=v(p,I)由求解優(yōu)化問題：max u(x), S.T. p·x=I 而得。根據包絡定理，?V/?pm=?L/?pm =-?xm(p,I);再注意到?=?V/?I=?L/?I，最后得出x

39、m(p,I)=-(?V/?pm)/(?V/?I)。Sheperd’s引理：注意到支出函數(shù)E=e(p,V)由求解優(yōu)化問題：min I=p·x, S.T. u(x)=V 而得。根據包絡定理， ?E/?pm=?L/?pm= =xm(p,e(p,V))=hm(p,V)。,消費者決策,Slutsky方程：從xm(p,e(p,V))=hm(p,V)中對pn求導得到?hm/?pn=?xm/?pn+(?xm/?I)(?E/?pn)=?xm/

40、?pn+ xn(p,I)(?xm/?I)；由此得到 ?xm/?pn= ?hm/?pn-xn(p,I)(?xm/?I)。在支出函數(shù)E=e(p,V)有二階連續(xù)偏導數(shù)時,根據Shepherd引理：smn??hm/?pn=?2E/?pm?pn=snm。由于支出函數(shù)e為凹函數(shù)，smm??hm/?pm?0。這就是說，對任何商品，Hick需求曲線的斜率小于或等于0。,消費者決策,在Slutsky方程 ?xm/?pm=?hm/?pm-xm(p,I)(

41、?xm/?I)中，左邊（?xm/?pm）是商品m價格改變時引起對商品j的實際需求量的邊際改變，右邊第一項（?hm/?pm）是消費者維持原效用水平時商品m價格改變導致的商品j需求量的邊際改變（替代效應），右邊第二項中(?xm/?I)是消費者的收入改變時他對商品m需求量的邊際改變（收入效應）。在價格的改變量是有限量（非無窮小量）時，替代效應和收入效應如下圖所示。,消費者決策,U2,U1,,,Quantity of x,Quantity o

42、f y,,,,B,,,A,,An increase in the price of good x means thatthe budget constraint gets steeper,,How would the graph change if the good was inferior?,消費者決策,簡例1（續(xù)）從上面的計算結果知道，當食物的價格從pf=2上漲到pf’=4而飲料的價格pd=2不變時，小陳的Marshallian需