(2)b隨機地向a提問從s如何到達m1

1、隨機性在計算機領域中的作用,,隨機性的作用,“Randomization is a big idea in computer science.”---C. E. Leiserson @ MIT,隨機性的作用,賓夕法尼亞大學的André DeHon在“Big Ideas in Computer Science in Computer Science and Engineering”中總結(jié)了所有計算機學科中有代表性的重要思想，其

2、中多次提到了“隨機性”。,1. 隨機化的快速排序算法,,確定性的快速排序算法,確定性的快速排序算法的效率依賴于pivot值的選取。只要pivot值的選取方式固定，都存在一些規(guī)模為n的輸入，使得快速排序算法效率為Θ(n2)。例如，如果每次選取pivot值為待排序數(shù)組的最后一個值，則快速排序算法對于已經(jīng)排序好的數(shù)組效率最低。也就是說，確定性的快速排序算法希望輸入數(shù)據(jù)沒有任何規(guī)律，是完全隨機的。,隨機化的快速排序算法,每次在輸入數(shù)

3、據(jù)中隨機地選取pivot值。不存在任何輸入使得隨機化的快速排序算法在該輸入下復雜度一定為Θ(n2)。隨機化的快速排序算法不依賴于外部輸入數(shù)據(jù)的隨機性。,隨機算法的作用之一：降低對輸入數(shù)據(jù)隨機性的依賴,,,確定性的快速排序算法,依賴于輸入數(shù)據(jù)的“隨機性”,隨機性的快速排序算法：帶有一種內(nèi)置的隨機性(built-inrandomness),不依賴輸入數(shù)據(jù)的“隨機性”,,,2. 計算“平均成績”問題,,計算“平均成

4、績”問題,n個學生P1,P2,…,Pn參加了一次考試，學生Pi的成績?yōu)镃i(1≤i≤n)?，F(xiàn)在這n個學生要計算他們的平均成績，并且保證：(1) 任何一個學生都不泄露自己的成績。(2) 即使有k個學生之間相互共享信息，這k個學生最多也只能知道其余n-k個學生的平均成績。是否存在一種可行的方案？,協(xié)議(protocol),我們通過設計一個“協(xié)議”來解決這個問題。簡單地說，“協(xié)議”是兩個(或兩個以上)人為完成某項任務而進行的一

5、系列操作步驟。最簡單的協(xié)議是“切蛋糕”協(xié)議。參與者：兩個人A和B。任務：公平地分一塊蛋糕。操作步驟：(1)A把蛋糕切成2塊。 (2)B選走其中一塊蛋糕。 (3)A取走剩下的那塊蛋糕。,計算“平均成績”問題,參與者： n個學生P1,P2,…,Pn任務：計算平均成績(滿足前面提到的兩個條件)步驟：？,協(xié)議1,思想：假設考試包含n道題目。每個同學Pi負責統(tǒng)計所有同學第i道題目的得分。最后把所有同學的統(tǒng)計

6、結(jié)果加起來，得到總成績。,協(xié)議1,(1) 每個學生Pi把自己的成績分成n份Ci=Ci1+Ci2+…+Cin（其中Cij代表第i個同學第j道題的分數(shù)），學生Pi把Cij告訴給學生Pj。(2) 每個學生Pj計算并公布Dj=C1j+C2j+…+Cnj (所有學生第j道題的得分)。(3) 計算D1+D2+…+Dn，得到總成績。,協(xié)議1的優(yōu)點,一方面，為了計算總成績，每個學生必須把自己的成績以某種方式發(fā)布出去，實現(xiàn)“信息共享”。另一方面，

7、任何學生都不能直接把自己的成績告訴給任何人。每個學生Pi把自己的成績分成n份，把其中n-1份分別告訴其他n-1個同學。這樣每個學生從Pi那得到的只不過是關于學生Pi成績的“部分信息”。,協(xié)議1的缺點,考試未必恰好包含n個考試題目。假設k個同學共享信息，可以大概估計其他同學的考試分數(shù)。,協(xié)議2,(1) 每個學生Pi把自己的成績分成n份Ci=Ci1+Ci2+…+Cin(對任意j, Cij為0和Ci之間的隨機數(shù))，學生Pi把Cij告訴給

8、學生Pj。(2) 每個學生Pi計算并公布Di=C1i+C2i+…+Cni(3) 計算D1+D2+…+Dn，得到總成績。,協(xié)議2（例子）,假設n=30，學生P1成績是90，學生P2成績是30。則相應的矩陣可能為：,協(xié)議2的缺點,假設k個同學共享信息，可以大概估計出：某兩個學生Pi和Pj的分數(shù)哪個更高。原因：隨機變量Cij為0和Ci之間的隨機數(shù)，因此可以從Cij中得到關于Ci的統(tǒng)計信息。,協(xié)議3,思想：選取一個數(shù)M，使得Ci

9、j為0和M之間的隨機數(shù)。這樣的好處是：無需擔心可以從Cij中得到M的任何統(tǒng)計信息。,協(xié)議3,(1) 選取M=101*n，每個學生Pi產(chǎn)生n-1個1到M之間的隨機數(shù)Cij(i ≠j, 1≤j≤n)，計算Cii，使得Ci=Ci1+Ci2+…+Cin(mod M)，學生Pi把Cij告訴給學生Pj。(2) 每個學生Pi計算并公布Di=C1i+C2i+…+Cni(mod M)。(3) 計算D1+D2+…+Dn (mod M)，得到總

10、成績。,協(xié)議3（例子）,假設n=30，選取M=101*30=3030。學生P1成績是90，學生P2成績是30。相應的矩陣可能為：其中矩陣第一行所有值相加等于3120=90(mod 3030)其中矩陣第一行所有值相加等于6090=30(mod 3030),協(xié)議3,分析：協(xié)議3滿足：(1)任何一個學生都不泄露自己的成績。(2)即使有k個學生之間相互共享信息，這k個學生最多也只能知道其余n-k個學生的平均成績。這

11、是因為：每個學生Pi從其他學生那里得到的無非是一些0到M(公開的)之間的隨機數(shù)。,隨機性在協(xié)議3中起的作用,基本思想：把學生Pi的成績Ci分成n份Ci=Ci1+Ci2+…+Cin（其中n-1個數(shù)都是隨機數(shù)），借助這些隨機數(shù)的“掩護”，Ci中包含的信息才不會被泄露。,3. 驗證一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù),,RSA算法,(1)生成兩個大質(zhì)數(shù)p, q………要想保證RSA的安全性，p和q的數(shù)量級應為21000。,生成質(zhì)數(shù)的算法,generate

12、Prime(m, n)//生成一個m到n范圍內(nèi)的質(zhì)數(shù)isPrime = false;while(!isPrime)k = rand(m,n);//生成一個m到n范圍內(nèi)的隨機數(shù)isPrime = primilityTesting(k);//驗證n是否為質(zhì)數(shù)return k;如果要生成一個21000數(shù)量級的質(zhì)數(shù)，對primilityTesting算法效率有很高的要求。,“驗證質(zhì)數(shù)”的一個簡單算法,p

13、rimilityTesting(n){for i = 2 to n – 1if (n % i == 0)return false;return true;}算法復雜度為O(n)，也就是說要驗證一個21000數(shù)量級的數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，需要O(21000)的時間。,驗證質(zhì)數(shù)的算法,Miller-Rabin Test是驗證一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的最常用的方法，也是最著名的隨機算法。我們這里主要介紹該算法的框

14、架結(jié)構(gòu)和整體思想。,Miller-Rabin Test的思想,假定要驗證n是否為質(zhì)數(shù)，該算法驗證n為質(zhì)數(shù)的某個必要條件（存在高效率的算法）。根據(jù)驗證的結(jié)果判斷n是否為質(zhì)數(shù)。這個必要條件就是“費馬小定理”(Fermat’s Little Theorem),費馬小定理,如果一個數(shù)p是質(zhì)數(shù)，那么對于任意的a∈{1,2,…,p-1}, ap-1 = 1 (mod p)。例如，從{1,2,…,p-1}中隨機地選取a=2：7是質(zhì)數(shù)

15、? 2(7-1) = 64 = 1 (mod 7)2(6-1) = 32 = 2 ≠1 (mod 6) ? 6不是質(zhì)數(shù)。,Miller-Rabin Test的思想,如果一個數(shù)p是質(zhì)數(shù)，那么對于任意的a∈{1,2,…,p-1}, ap-1 = 1 (mod p)。例如，從{1,2,…,p-1}中隨機地選取a=2：2(7-1) = 1 (mod 7) ? 7是質(zhì)數(shù)。2(6-1)≠1 (mod 6) ? 6不是質(zhì)數(shù)。,Mi

16、ller-Rabin Test的思想,如果一個數(shù)p是質(zhì)數(shù)，那么對于任意的a∈{1,2,…,p-1}, ap-1 = 1 (mod p)。從{1,2,…,p-1}中隨機地選取a：a(n-1) = 1 (mod n) ? n是質(zhì)數(shù)。(理由不充分)a(n-1)≠1 (mod n) ? n不是質(zhì)數(shù)。(一定成立),Miller-Rabin Test的思想,從{1,2,…,p-1}中隨機地選取a：a(n-1) = 1 (mod

17、n) ? n是質(zhì)數(shù)。(理由不充分)a(n-1)≠1 (mod n) ? n不是質(zhì)數(shù)。(一定成立)如果算法返回“n不是質(zhì)數(shù)”，則n一定不是質(zhì)數(shù)。如果算法返回“n是質(zhì)數(shù)”，則算法有可能“出錯”。事實上，可以證明，“出錯”的概率小于1/2。,Miller-Rabin Test算法,將以下“實驗”重復進行k次：從{1,2,…,p-1}中隨機地選取a：a(n-1) = 1 (mod n) ? n是質(zhì)數(shù)。(理由不充分)a

18、(n-1)≠1 (mod n) ? n不是質(zhì)數(shù)。(一定成立)(Miller-Rabin Test算法在此基礎上還作了進一步的改進。)如果算法返回“n不是質(zhì)數(shù)”，則n一定不是質(zhì)數(shù)。如果算法返回“n是質(zhì)數(shù)”，則算法有可能“出錯”。事實上，可以證明，“出錯”的概率小于(1/2)k。,隨機算法中一種常用的技巧,在隨機算法的精確度和時間復雜度之間可以進行交換(trade-off)：代價：算法時間復雜度以線性的速度上升。收益：算法“失

19、敗”的概率以指數(shù)級的速度下降。,4. 零知識證明（zero-knowledge proof）,,什么是零知識證明？,A向B證明c，證明結(jié)束后B不知道關于c的任何信息。J.-J. Quisquater et al., "How to Explain Zero-Knowledge Protocols to Your Children," Proc. Advances in Cryptology, pp. 628-63

20、1, 1989.我們舉另外一個例子。,一個直觀的例子,有一個迷宮，A知道這個迷宮從入口s到出口t的n條路徑。假設A想讓B相信從s到t至少有一條路徑，同時A又不希望向B泄露從s到t的路徑。該采用什么樣的方法？,s,t,,,解決辦法,(1) A選取從s到t的任意一條路徑及路徑上的一個中間點m1。以m1為界，將路徑一分為二：s,…,m1和m1,…,t。A把m1的位置告訴給B。,s,t,,m1,,,解決辦法,(2) B隨機地向A提問：“從s

21、如何到達m1？”或“從m1如何到達t？”,s,t,,m1,,,解決辦法,(3) A回答B(yǎng)的問題，B驗證A的答案是否正確。如果正確，則B相信A知道從s到t的路徑。,s,t,,m1,,,分析,從B的角度，假設A只知道s,…,m1和m1,…,t其中的一條路徑。A能正確回答B(yǎng)的問題的概率為1/2。,s,t,,m1,,,解決辦法&分析,如果把前面的協(xié)議看成一次“隨機實驗”，該實驗失敗的概率為1/2。如果A和B重復進行該實驗k次，失敗的概

22、率為(1/2)k。當k足夠大時， (1/2)k足夠小，k次實驗全部失敗的概率可以忽略不計。,s,t,,m1,,,,,m2,,,,,。。。 。。。,mk,解決辦法&分析,A每次向B提供的信息都是“部分信息”，B不足以從這些部分信息中“拼湊出”從s到t的路徑。,s,t,,m1,,,,,m2,,,,,。。。 。。。,mk,隨機性所起的作用,我們注意到：(2) B隨機地向A提問：“從s如何到達m1？”或“從m1如何到達t？”假如

23、A預先知道B提的問題是：“從s如何到達m1？”，則A有辦法欺騙B。同樣道理，假如A預先知道B提的問題是： “從m1如何到達t？” ，A同樣有辦法欺騙B。,總結(jié),“驗證身份(authentication)”問題,一組用戶A, B, C,…每個用戶都有一個私有信息。假如A想向B表明身份：(1) A向B證明他(她)知道xA。(2) A不希望泄露xA。,數(shù)論基礎,為了解決“驗證身份”問題，我們在Zn*上考慮問題:Zn* = {

24、i | 1≤ i ≤n-1, gcd(i, n) = 1}，其中n為兩個不相同質(zhì)數(shù)的乘積。假設n = 3×7 = 21，Zn* ={1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}Zn*在乘法操作下，形成一個代數(shù)系統(tǒng)“群(group)”.,游戲時間！,,Zn*中的乘法操作,對任意的a, b∈Zn*，a*b = a*b (mod n)。例如，在Z21*中，2*4 = 8 (

25、mod 21)4*16 = 1 (mod 21)在Zn*中乘法操作是簡單的(regular multiplication & division)。,Zn*中的除法操作,對任意的b∈Zn*，存在唯一的c ∈Zn*，使得b*c = 1 (mod n)我們把c叫做b的倒數(shù)，記為b-1。在Zn*中，已知一個數(shù)b，計算b-1是簡單的(the extended Euclidean algorithm)。,Zn*中的除法操作,對

26、任意的a, b∈Zn*a/b = a*b-1 (mod n)例如，在Z21*中，5/8 = 5*(8-1) = 5*8 = 19 (mod 21)在Zn*中除法操作是簡單的(the extended Euclidean algorithm & regular multiplication and division)。,在Zn*中求平方,對任意的a∈Zn*，a2 = a*a (mod n)例如，在Z21*中，52

27、= 4(mod 21)在Zn*中“求平方”操作是簡單的(regular multiplication & division)。,在Zn*中開平方,對任意的a, b∈Zn*，如果a2 = b (mod n)那么，a叫做b的一個平方根。對于較大的n，在不知道n的質(zhì)因數(shù)分解的情況下，在Zn*中“開方”操作是極其復雜的。,總結(jié),在Zn*(n為兩個不同質(zhì)數(shù)的乘積)中：,“驗證身份(authentication)”問題,一組用戶A

28、, B, C,…每個用戶都有一個私有信息。假如A想向B表明身份：(1) A向B證明他(她)知道xA。(2) A不希望泄露xA。,“驗證身份(authentication)”問題,選取n為兩個不同大質(zhì)數(shù)p和q的乘積。每個用戶都知道n，但并不知道p或者q。每個用戶i從Zn*中隨機地選取一個數(shù)xi，計算Xi = xi2 (mod n)，并把(i, Xi)公開。,“驗證身份(authentication)”問題,假設A想向B表明身份

29、，最簡單的辦法：(1) A把xA告訴給B。(2) B驗證xA2 = XA (mod n)是否成立。但這樣做之后，B知道xA，B可以偽裝成A和其他用戶通信。我們需要用到“零知識證明”。,“零知識證明”的思想,A首先生成一個隨機數(shù)y，并計算Y = y2(mod n)。A把關于xA的信息“拆分”成兩部分，“y”和“y*xA”。(1) 把兩部分信息和在一起，可以得到xA。(2) y對xA起“掩護”作用。,s,t,,Y,,,y

30、,y*xA,類比,解決辦法,(1) A隨機地生成一個數(shù)y∈Zn*，計算Y = y2(mod n)。A把Y告訴給B。,s,t,,Y,,,y,y*xA,解決辦法,(2) B隨機地向A提問：“y等于多少？”或“y*xA等于多少？”,s,t,,Y,,,y,y*xA,解決辦法,(3) A回答B(yǎng)的問題，B驗證A的答案。3.1 問題: “y等于多少?” ? 驗證: y2 = Y (mod n)?3.2 問題: “y*xA等于多少?” ? 驗證

31、: (y*xA)2= Y*XA (mod n)?,s,t,,Y,,,y,y*xA,分析,從B的角度，假設A只知道“y”或“y*xA” 。A能正確回答B(yǎng)的問題的概率為1/2。,s,t,,,,Y,y,y*xA,解決辦法&分析,如果把前面的協(xié)議看成一次“隨機實驗”，該實驗失敗的概率為1/2。如果A和B重復進行該實驗k次，失敗的概率為(1/2)k。當k足夠大時， (1/2)k足夠小，k次實驗全部失敗的概率可以忽略不計。,s,t,,Y1

32、,,,,,Y2,,,,,。。。 。。。,Yk,解決辦法&分析,A每次向B提供的信息或者是“y”或者是“y*xA”，B不足以從這些隨機信息中得到關于xA的任何信息。,s,t,,Y1,,,,,Y2,,,,,。。。 。。。,Yk,隨機性所起的作用,我們注意到：(2) B隨機地向A提問：“y等于多少？”或“y*xA等于多少？”假如A預先知道B提的問題是： “y等于多少？” ，則A有辦法欺騙B。同樣道理，假如A預先知道B提的問

33、題是： “y*xA等于多少？” ，A同樣有辦法欺騙B。,5. 隨機性方法在數(shù)據(jù)通信中的應用,,問題,已知：A和B各有一個文本文件，并且A和B之間通過一條可靠（但昂貴）的通訊線路連接。目標：A和B需要比較他們的文本文件是否相同。要求：在A與B之間通訊的數(shù)據(jù)量盡量少。方法：？,問題,,This is my document …,This is my document …,1001011101 …,1001011101 …,A,B

34、,,,,,,?,問題,已知：A和B各有一個二進制序列（二進制數(shù)），并且A和B之間通過一條可靠（但昂貴）的通訊線路連接。目標：A和B需要比較他們的二進制序列（二進制數(shù)）是否相同。要求：在A與B之間通訊的數(shù)據(jù)量盡量少。方法：？,方法1,(確定性的方法)A和B事先約定好，A只向B傳輸二進制序列的某些位（比如，奇數(shù)位）。B接收到A傳來的數(shù)據(jù)后，依序跟自己序列的相應位（奇數(shù)位）位比較。,方法1的缺點,有時候，方法1能檢測出A與

35、B數(shù)據(jù)的不一致。,有時候，方法1不能檢測出A與B數(shù)據(jù)的不一致。,A: 1011010,B: 1011110,A: 1011010,A: 1111010,,,,,方法1的缺點,條件：假設A與B的二進制序列長度為n，選取傳輸位的方法為確定性的方法且傳輸位的總位數(shù)小于n。結(jié)論：則總存在某些情況，使得A與B之間數(shù)據(jù)的不一致性永遠無法得到檢測（檢測出數(shù)據(jù)不一致性的概率為0）。,方法2,(隨機性的方法)A隨機地向B傳輸二進制序列的某些位。

36、B接收到A傳來的數(shù)據(jù)后，依序跟自己序列的對應位比較。,方法2的缺點,對于A傳送的每一個比特位，都需要附加相應的信息，來表示該比特位對應A數(shù)據(jù)的哪一位。該方法能成功地檢測A與B數(shù)據(jù)不一致的概率較低。假設只傳輸100個比特位，成功驗證兩個長度為100000的比特序列是否一致的概率小于0.1%。,方法2的缺點,假設A與B的二進制序列長度為n，且其中只有一個比特位不一致。如果A隨機地向B傳送k比特的數(shù)據(jù)，則用方法2能成功地檢測出這

37、種不一致性的概率為： / = k/n 。,方法3,思想：采用傳輸數(shù)據(jù)指紋（fingerprint）的方法。A向B傳送A數(shù)據(jù)的指紋，B核對該指紋是否與自己數(shù)據(jù)的指紋一致。一個數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)指紋中包含原數(shù)據(jù)的特征信息。,,我們前面已經(jīng)提到了，A和B的數(shù)據(jù)都可以看成是二進制序列（二進制數(shù)）。最簡單的生成數(shù)據(jù)指紋的方法：對于一個二進制數(shù)n，其指紋為“n (mod p)”其中p為一個質(zhì)數(shù)。,數(shù)據(jù)指紋的例子,為了直觀

38、起見，我們用十進制數(shù)來解釋數(shù)據(jù)指紋，二進制數(shù)的指紋類似。假設，n = 8928，選取p = 23：8929 (mod 23) = 4意味著8929在“mod 23”操作下的數(shù)據(jù)指紋為4。,方法2.9999,假定A和B的數(shù)據(jù)分別為xA和xB（位數(shù)為n）A隨機選取一個質(zhì)數(shù)p（位數(shù)最多為m），A向B發(fā)送xA (mod p)。B接收到指紋后，核對xA (mod p) = xB (mod p)是否成立。,方法3,假定A和B的數(shù)據(jù)分別

39、為xA和xB（位數(shù)為n）A隨機選取一個質(zhì)數(shù)p（位數(shù)最多為m），A向B發(fā)送xA (mod p)和p。B接收到指紋后，核對xA (mod p) = xB (mod p)是否成立。,方法3 --- 例子,,,A:8928,mod 23,4,B:8928,mod 23,4,(4, 23),,,,,,,=?,,,,,A: 8928,mod 23,4,B:8944,mod 23,20,(4, 23),,,,,,,=?,,,,,方法3 ---

40、例子,,如果B的數(shù)據(jù)為8928+23*k, 用方法3都會“出錯”。下面我們來分析一下方法3出錯的概率。,A:8928,mod 23,4,B:8951,mod 23,4,(4, 23),,,,,,,=?,,,,,方法3 --- 分析,為了區(qū)分xA和xB (xA≠xB) ，我們隨機地選取一個質(zhì)數(shù)p，進行“mod p”操作：如果p | |xA-xB|， 則xA ≠ xB (mod p)。即：p能將xA和xB區(qū)分開來。如果p | |x

41、A-xB|， 則xA = xB (mod p)。即：p不能將xA和xB區(qū)分開來。,,方法3 --- 分析,Fact #1: 小于等于n的數(shù)中大約有n / ln(n)個質(zhì)數(shù)。Fact #2: 如果x ≤ 2n，則x最多有n個不同的質(zhì)因數(shù)。P[failure]= (|xA-xB|的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)) / (1到2m之間的質(zhì)數(shù)的個數(shù))< n / (2m / ln(2m))例如，n=100000，m=32：P[fail

42、ure] ≈ 10-3假設只傳輸64個比特位，成功驗證兩個長度為100000的比特序列是否一致的概率大概是99.9%。我們還可以通過“重復進行隨機試驗”的方法提高成功的概率。,6. 隨機性方法在圖論中的應用,,圖,定義圖G = (V, E)，其中V為頂點的集合，E為邊的集合。例如，,,,,,,,,,,,,,,,連通圖,在圖G = (V, E)中，p1, p2, …, pn叫做從v到v’的路徑，當且僅當p1=v, pn=v’，(p

43、i, pi+1) ∈E（1 ≤ i ≤ n-1）。圖G = (V, E)被稱為是連通圖，當且僅當對任意的v, v’∈V，都存在從v到v’的路徑。,連通度,已知一個連通圖G = (V, E)，如果至少需要從G中去掉c條邊才能使G變?yōu)榉沁B通圖，則c稱為G的連通度(connectivity)。,研究連通度的意義,假設我們用圖來表示一個局域網(wǎng)：頂點表示局域網(wǎng)中的計算機，邊表示計算機之間的物理連接。則，連通度在一定程度上表示該局域網(wǎng)的可靠程度

44、。假設我們用圖來表示一個交通網(wǎng)絡：頂點表示城市，邊表示城市之間的公路。則，連通度在一定程度上表示該交通網(wǎng)絡的抗阻塞能力。,計算連通度的算法,計算圖連通度的確定性算法是基于網(wǎng)絡流(network flow)的方法。該算法復雜，而且效率低。目前，計算圖連通度常用算法是一種隨機算法。和確定性的算法相比，該方法不僅簡單，而且效率較高。,計算連通度的隨機性算法,connectivity(G)//G=(V, E)while(|V|≠2

45、)choose an edge (x, y) at random in G;//在G中隨機選擇一條邊(x, y)contract (x, y);//聚合邊(x, y)return |E|;,分析,給定一個圖G = (V, E)，重復執(zhí)行connectivity(G) kn2次之后，算法“出錯”的概率小于(1/e)k (其中n為圖G的頂點數(shù)，e為自然對數(shù)的底)。Nick Harvey: “The Bes