電路基礎第3章

1、3.1 動態(tài)元件3.2 動態(tài)電路的方程及其解3.3 電路的初始值3.4 動態(tài)電路的響應3.5 一階電路的三要素公式3.6 階躍函數(shù)和階躍響應3.7 二階電路分析3.8 正弦激勵下一階電路的響應,第三章 動態(tài)電路,返回主目錄,第3章 動態(tài)電路,3.1動態(tài)元件 一、 電容 電容元件是儲存電能的元件， 它是實際電容器的理想化模型。  電容元件可定義為：

2、 一個二端元件， 如果在任意時刻， 其端電壓u與其儲存的電荷q之間的關系能用u~q平面(或q~u平面)上的一條曲線所確定，就稱其為電容元件，簡稱為電容。,電容元件分為時變的和時不變的，線性的和非線性的， 本書主要涉及線性時不變電容元件。  線性時不變電容元件的外特性(庫伏特性)是q~u平面上一條通過原點的直線，如圖 3.1 - 1(b)所示。 在電容元件上電壓與電荷的參考極性一致的條件下，在任一時刻，電荷量與其端電壓的

3、關系為 q(t)=Cu(t)t (3.1 - 1) 式中C稱為元件的電容，單位為法(F)。 對于線性時不變電容元件， C是正實常數(shù)?！半娙荨币辉~及其符號C既表示電容元件也表示元件的參數(shù)。 ,電路理論關心的是元件端電壓與電流的關系。 如果電容端電壓u與其引線上的電流i參考方向一致(見圖3.1 - 1(a))， 則由i= ，

4、有 上式常稱為電容元件的伏安關系(微分關系)。它表明，任何時刻， 電容元件的電流與該時刻的電壓變化率成正比。如果電壓不隨時間變化， 則i=0，電容相當于開路。 故電容有隔斷直流的作用。  將式(3.1 - 2)寫為,對上式從-∞到t進行積分(為避免積分上限t與積分變量t相混，將積分變量換為ξ)，得,上式也稱為電容元件的伏安關系(積分關系)。 它表明，在任一時刻t，電容電壓u是此時刻以前的電流作用

5、的結果，它“記載”了已往的全部歷史，所以稱電容為記憶元件。相應地， 電阻為無記憶元件。  如果只討論t≥t0的情況， 式(3.1 - 3)可進一步寫為,式中,稱為電容電壓在t=t0時刻的初始值， 或初始狀態(tài)。 為了簡便， 常取t0 =0。通常我們研究問題總有一個初始時刻t0 ， 式(3.1 - 4)表明，如果研究t≥ t0的電容電壓u(t)， 那么不必去了解tt0產(chǎn)生的效果可以由uC(t0)，即電容的初始電壓來反映

6、，也就是說，如果已知由初始時刻t0開始作用的電流i(t)以及電容的初始電壓uC(t0)， 就能完全確定t≥ t0時的電容電壓u(t)。  電容電壓u(t)除有上述的記憶性質外， 還有連續(xù)性質。 為了仔細地研究連續(xù)性質， 對于任意給定的時刻t0 ，將其前一瞬間記為t0-，而后一瞬間記為t0+ ，更準確的說，令,t 0-= (t 0 -ε) T

7、0+= (ε＞0) 它們分別是t0的左極限和右極限。  由式(3.1 - 4)可得在t= t0+ 時的電容電壓,如果電容電流i(t)在無窮小區(qū)間［ t 0- ， t 0+ ］為有限值， 或者說在t= t 0處為有限值，則上式等號右端第二項積分為零， 從而有 uC(t 0+ )=uC(t 0-),這表明，若電容

8、電流i(t)在t=t0處為有限值，則電容電壓uC(t)在該處是連續(xù)的，它不能躍變。  現(xiàn)在討論電容的功率和能量。 由式(1.2 - 4)， 在電壓、 電流參考方向一致的條件下， 在任一時刻， 電容元件吸收的功率 p(t)=u(t)i(t)=Cu(t) 由式(1.2 - 6)， 從-∞到t時間內(nèi)，電容元件吸收的能量,若設u(-∞)=0， 則

9、電容吸收能量 wC(t)= 由式(3.1 -8)和(3.1 -9)可見，當|u|增大時即當u>0，且 ＞0；或u0，電容吸收功率為正值， 電容元件充電， 儲能wC增加，電容吸收的能量以電場能量的形式儲存于元件的電場中； 當|u|減少時即u>0， 且 ＜0; 或者u<

10、;0， 且 ＞0時， p<0，電容吸收功率為負值，電容放電，儲能wC減少，電容將儲存于電場中的能量釋放。 若到達某一時刻t1時，有u(t)=0，從而wC(t1)=0，表明這時電容將其儲存的能量全部釋放。 因此，電容是一種儲能元件，它不消耗能量。,由式(3.1 - 9)還可看出， 無論u為正值或負值， 恒有wC(t)≥0(當然，C＞0)。這表明，電容所釋放的能量最多也不會超過其先前吸收(或儲存)的能量，它不能提供額外

11、的能量， 因此它是一種無源元件。  例 3.1 -1圖3.1 -2(a)中的電容C＝０.5F，其電流 0 2A -2A 1≤t＜2s 0  t≥2 s 其波形如圖3.1 -2(b)所示，求電容電壓u、功率p和儲能

12、wC。 ,-∞＜t＜00≤t＜1s,,I(t),解由圖3.1 - 2(a)可見， 電壓u與電流i為關聯(lián)參考方向， 由式(3.1 - 3)可知， 由于在t＜0時電流i恒為零， 故在-∞＜t＜0區(qū)間u(t)=0， 顯然u(0)=0。   在0≤t＜1 s區(qū)間,即 u(t)=,0 -∞＜t＜04t(V) 0≤t＜1s4(2-t)

13、 (V) 1≤t＜2s0 t≥2 s,,其波形如圖3.1 - 3(a)實線所示， 圖中也畫出了電流i的波形(虛線所示)。 可見電容電流i是不連續(xù)的，而電容電壓是連續(xù)的。  根據(jù)式(3.1 [- 8)，電容C吸收的功率p=ui，可得 8t (W) 0≤t＜1 s -8(2-t)

14、(W) 1≤t＜2 s 0 (W)其余其波形如圖3.1 -3(b)中虛線所示。  根據(jù)式(3.1 -9)， 電容儲能wC= ， 可得,P(t)=,, 4t2 (J) 0≤t＜1 s

15、 4(2-t)2 (J) 1≤t＜2s  0 (J) 其余其波形如圖3.1 -3(b)中實線所示。  由圖3.1 -3(a)和(b)可見，在00，i>0， 因而p>0， 電容吸收功率，其儲能逐漸增高，這是電容元件充電的過程。 在區(qū)間10， i<0， 因而p<0，電容發(fā)出功率，其儲能wC逐漸減

16、小，這是電容放電的過程。直到t=2s， 這時u=0， 電容將原先儲存的能量全部釋放，wC=0。 ,wC(t)=,,二、 電感 電感元件是儲存磁能的元件， 它是(實際)電感器的理想化模型。  電感元件可定義為： 一個二端元件， 如果在任意時刻， 通過它的電流i與其磁鏈Ψ之間的關系能用Ψ~i平面(或i~Ψ平面)上的曲線所確定， 就稱其為電感元件， 簡稱電感。 電感元件也分為時變的和時不變的， 線

17、性的和非線性的， 本書只討論線性時不變的電感元件。  線性時不變的電感元件的外特性(韋安特性)是Ψ~i 平面上一條通過原點的直線， 如圖3.1 - 4(b)所示，當規(guī)定磁通Φ和磁鏈Ψ的參考方向與電流i的參考方向之間符合右手螺旋關系時， 在任一時刻， 磁鏈與電流的關系為,Ψ(t)= 式中L稱為元件的電感。在SI單位制中， 磁通和磁鏈(磁通鏈)的單位都是韋伯(Wb)， 電感的單位是亨(H)。對于線性時不

18、變電感元件， L是正實常數(shù)。 電感及其符號L既表示電感元件也表示元件參數(shù)。  在電感端電壓u與通過它的電流i參考方向一致的條件下(見圖3.1 -4(a))， 由電磁感應定律在物理學中感應電動勢與磁鏈的關系與式（3.1 -11）相差一個“-”號。 這是因為， 在那里是感應電動勢， 其參考方向為由“-”極指向“+”極； 而這里關心的是端電壓， 其參考方向為由“+”極指向“-”極。,具體地說， 楞次定律指出， 線圈中由磁通變

19、化率引起的感應電動勢， 其方向是企圖產(chǎn)生感應電流以反抗磁通的變化。設i>0，且(di/dt)＞0（參看圖3.1-4（a）），這時，為反抗磁通增加，電感內(nèi)部感應電勢的實際極性應該是a端為“+”，b端為“-”。而按式（3.1 - 11）可知， 這時電感外部端子的電壓u>0， 即其實際方向也是a端為“+”， b端為“-”?？梢姸呤峭耆恢碌?。對于i>0，(di/dt)＜0以及i<0的情況，也可作類似的說明。 有,上

20、式常稱為電感元件的伏安關系。 它表明，在任一時刻， 電感元件上的電壓與該時刻的電流變化率成正比。如果電流不隨時間變化，則u=0， 電感元件相當于短路。  在電壓、 電流為關聯(lián)參考方向時， 電感電流與其端電壓的積分關系可寫為 i(t)-i(-∞)= 一般認為i(-∞)=0， 即Ψ(-∞)=0， 于是得 i(t)= 上式也是電感元件的伏安關系

21、。它表明，在任一時刻t， 電感電流i是此時刻以前的電壓作用的結果，它“記載”了以往的歷史。 電感也屬于記憶元件，有記憶性質。 ,如果只討論t≥t0的情況， 式(3.1 - 12)可進一步寫為i(t)=iL(t0)+式中 iL(t0) = 稱為電感電流在t= t0時刻的初始值， 或初始狀態(tài)。  式(3.1 - 13)表明，如果研究t> t0的電感電流i(t)，利用i iL(t0)對t<

22、t0時電壓的記憶作用，可不必了解t< t0時電壓的具體情況， 也就是說，如果已知由初始時刻t0開始作用的u(t)以及電感初始電流iL(t0) ，就能完全確定t≥ t0時的電感電流i(t)。,電感電流也有連續(xù)性質，即若電感電壓u(t)在t=t0處為有限值，則電感電流在該處是連續(xù)的，它不能躍變。即有 iL(t0+)= iL(t0-) (3.1 - 14)

23、 現(xiàn)在討論電感的功率與能量， 由式(1.2 - 4)， 在電壓電流參考方向一致的條件下，在任一時刻， 電感元件吸收的功率 p(t)=u(t)i(t)=Li(t),由式(1.2 - 6)， 從-∞到t時間內(nèi)， 電感元件吸收的能量,若設i(-∞)=0， 則電感吸收的能量 wL(t)= Li2(t) (3.1 - 16)

24、 由式(3.1 -15)和(3.1 -16)可見， 當|i|增大時(即i>0，且didt ＞0，或者i0， 電感吸收功率，儲能wL增加， 電感吸收的能量以磁場能量的形式儲存于元件的磁場中；當|i|減小時(即i>0， 且 didt ＜0，或者i<0，且didt ＞0時 )，p<0，電感吸收功率為負值，儲能wL 減小，電感將原先儲存于磁場的能量釋放。 若到達某時刻t1時， 有i(t1)=0，從而wL

25、(t1)=0，表明這時電感將其儲存的能量全部釋放。 因此， 電感是一種儲能元件，它不消耗能量。 ,三、 電容、 電感的串聯(lián)和并聯(lián) 圖3.1 - 5(a)是n個電容相串聯(lián)的電路，各電容的端電流為同一電流i。根據(jù)電容的伏安關系，有 u1= 由KVL，端口電壓u= u1+ u2+…+ un=,式中,圖3.1 - 6(a)是n個電容相并聯(lián)的電路， 各電容的端電壓是同一電壓u。

26、 根據(jù)電容的伏安關系，有 i1= i2 ， i2 = c2 ， …， in = cn 由KVL，端口電流 i= i1 + i2 +…+ in =(c1 + c2 +…+ cn) 式中 ceq= c1 + c2 +…+ cn = 是n個電容并聯(lián)的等效電容， 如圖3.1 - 6(b)所示。 ,圖3

27、.1 - 7(a)是n個電感相串聯(lián)的電路， 流過各電感的電流為同一電流i。 根據(jù)電感的伏安關系，第k個(k=1，2，3， …， n)電感的端電壓uk=Lk 和KVL， 可求得n個電感相串聯(lián)的等效電感 Leq = 如圖3.1 - 7(b)所示。  圖3.1 - 8(a)是n個電感相并聯(lián)的電路， 各電感的端電壓是同一電壓u。 根據(jù)電感的伏安關系

28、， 第k個(k=1， 2， 3， …， n)電感的電流ik = 和KCL， 可求得n個電感相并聯(lián)時的等效電感Leq， 它的倒數(shù)表示式為,Leq =,如圖3.1 - 8(b)所示。 ,3.2 動態(tài)電路的方程及其解,一、 電路方程 在 動態(tài)電路中， 除有電阻、 電源外， 還有動態(tài)元件(電容或/和電感)，而動態(tài)元件的電流與電壓的約束關系是導數(shù)與積分關系， 因此根據(jù)KCL 、KVL和元件

29、的VAR所建立的電路方程是以電流、電壓為變量的微分方程或微分—積分方程。 如果電路中的無源元件都是線性時不變的，那么動態(tài)電路方程是線性常系數(shù)微分方程。  如果電路中只有一個動態(tài)元件， 則所得的是一階微分方程， 相應的電路稱為一階電路。一般而言， 如果電路中含有n個獨立的動態(tài)元件，那么描述該電路的將是n階微分方程， 相應的電路可稱為n階電路。 ,圖3.2 - 1(a)和(b)都是一階電路。 如果我們要研究圖(a)中開

30、關S閉合(在t=0時)后電容電壓uC， 或者研究圖(b)中開關S斷開(在t=0時)后電感電流iL，就要列寫出t≥0時，即開關閉合后(圖(a))或開關斷開后(圖(b))的電路方程。 對于圖3.2 - 1(a)的電路， 設t=0時開關閉合，若選電容電壓uC 為變量，在換路后 (即t≥0)， 由KCL有 iC + iR = iS 由iC=C 和iR

31、= ，得換路后電路方程為,或寫為,式中τ=RC， 它具有時間的量綱 稱為時間常數(shù)， 簡稱時常數(shù)。  對于圖3.2 - 1(b)的電路，設t=0時開關斷開， 若選電感電流iL為變量，根據(jù)KVL，可寫出換路后(t≥0)的電路方程為,圖3.2 - 2是二階電路，若以電壓u為變量，則由KCL有 iC+ iG + iL= iS 由于,iC=,i

32、G,iL,將它們代入KCL方程，得,由以上各例可知建立動態(tài)方程的一般步驟是：  (1) 根據(jù)電路建立KCL或/和KVL方程，寫出各元件的伏安關系；  (2) 在以上方程中消去中間變量，得到所需變量的微分方程。顯然，對于較復雜的動態(tài)電路，建立動態(tài)方程的過程將比較繁復。因此，常拉普拉斯變換等方法進行動態(tài)電路分析。  二、 固有響應和強迫響應暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應 如果將獨立源(u

33、S和iS)作為激勵， 用f(t)表示， 把電路變量(u或i)作為響應，用y(t)表示，則描述一階和二階動態(tài)電路的方程的一般形式可分別寫為(有時等號右端還有f(t)的導數(shù)),對于線性時不變動態(tài)電路， 上式中的系數(shù)a0、 a1 、 b0等都是常數(shù)。  大家知道，線性常系數(shù)微分方程的解由兩部分組成： 即與該方程相應的齊次方程的通(或齊次解)和滿足非齊次方程的特解。若齊次解用yh(t)表示，特解用yp(t)表示，則微分方程的

34、全解可寫為 y(t)=yh(t)+yp(t),和,對于式(3.2 - 3)的一階微分方程， 其特征方程為s+ a0 =0， 特征根s=- a0 ， 故齊次解為 yh(t)=Kest= Ke - a0 t 式中K為待定常數(shù)。式(3.2 - 3)的特解與激勵有相似的形式。  對于式(3.2 - 4)的二階微分方程

35、，其齊次解yh (t)的函數(shù)形式由式(3.2 - 4)的特征方程 s2 + a1 s+ a0 =0 (3.2 - 6)的根(即特征根) s1 、 s2確定。 表3 - 1中列出了特征根s1 、 s2為不同取值時的相應齊次解。其中常數(shù)K1 、K2將在式(3.2 [- 4)的完全解中由初始條件確定。 ,式(3.2 -4)的特解與激勵有相似的形式。表3 -2列出了常用激勵形式與其所

36、對應的特解Yp(t)。當特解形式確定后，將其代入原微分方程，求出待定常數(shù)Ai，則特解就確定了。 例 3.2 –1 如圖3.2 -3的RC電路，當t=0時開關閉合，若電容的初始電壓uC(0)=U0，電壓源Us為常數(shù)，求t≥0時的uC (t)。  解 (1) 建立電路方程。當t>0時，開關已閉合，由KCL有 uR + uC = Us 

37、 由于i=iC=C 故 uR =Ri=RC ， 將它代入上式， 并除以RC，得,令τ=RC為時間常數(shù)， 上式可寫為,(2) 求齊次解uCh。 式(3.2 - 7)的特征方程為,其特征根s=-1/τ， 故uC的齊次解 uCh =Ke st=Ke,(3) 求特解uCp。由于激勵US為常數(shù)，故特解也是常數(shù)。 令uCp =A，并將它代入式(3.2 - 7)， 得

38、故得uS 的特解 uCp (t)=A= US (4) 求完全解。 電容電壓的完全解為 uc(t)= uch(t)+ ucp(t)=Ke + USt ≥0 式中常數(shù)K由初始條件確定。 當t=0時， 由上式和給定的初始電壓，得 uc (0)=K+ US = U0 可解得K= U0 - US ，故

39、得完全解,在完全解式(3.2 - 8)中，其第一項(即齊次解)的函數(shù)形式僅由特征根確定，而與激勵的函數(shù)形式無關(它的系數(shù)與激勵有關)， 稱為固有響應或自由響應。式中第二項(即特解)，它與激勵具有相同的函數(shù)形式， 稱為強迫響應。 圖3.2 - 4中畫出了U0 US兩種情況的uC波形。  由以上討論可見， 固有響應的函數(shù)形式?jīng)Q定于特征根， 它僅與電路的結構和元件的參數(shù)有關，與激勵的函數(shù)形式無關， 固有響應以及特征根s反映

40、了電路的固有特征，而強迫響應是外部激勵作用的結果， 它與激勵有相同的函數(shù)形式。,固有響應,固有響應,特征根s的倒數(shù)具有時間的量綱，常稱其為電路的固有頻率，它在電路理論中占有重要地位。 按電路的工作情況，也常將完全響應分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。式(3.2 -8)中的第一項按指數(shù)規(guī)律衰減，當t趨近于無限大時， 該項衰減為零， 稱為暫態(tài)響應。 式中第二項在任何時刻都保持穩(wěn)定， 它是t趨近于無限大時，暫態(tài)響應衰減為零時的響應，稱為穩(wěn)態(tài)響應。 

41、 就圖3.2 -3的電路而言， 在t<0時，開關尚未閉合， 電容電壓為U0 ，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)(也稱為平衡狀態(tài))。 當t=0時， 開關閉合，假設U0 <US，這時電源對電容充電，電容電壓uC由U0開始逐漸增高(見圖3.2 -4(a))；,經(jīng)過較長時間后(嚴格地說為t趨近于無限大)， 電容電壓達到US ，充電電流i衰減為零， 這時電路達到另一穩(wěn)定狀態(tài)。 電容電壓uC由原來的穩(wěn)定狀態(tài)(uC = U0)逐漸增高到新的穩(wěn)定狀態(tài)(

42、uC = US)的過程稱為過渡過程(或暫態(tài)過程)。  需要注意，與把完全響應分為固有響應和強迫響應不同， 將完全響應區(qū)分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應是從電路響應的波形上來觀察的。 當換路時，如果接入的激勵為直流或周期信號(如正弦信號、方波信號等)， 可將完全響應區(qū)分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。暫態(tài)響應是指激勵接入后，全響應中短暫時間存在的分量， 隨著時間的增長， 它將逐漸消失。完全響應中除暫態(tài)響應外的其余部分就是穩(wěn)態(tài)響應，它可能是常

43、數(shù)(當接入的激勵為直流時)或周期函數(shù)(當接入為周期信號時)。,如果激勵不是周期信號(例如eαt ，α>0)或者電路的固有頻率s有實部為正的值，即Re［si］>0， 將完全響應區(qū)分為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應將沒有實際意義，或者說電路不存在穩(wěn)態(tài)響應。譬如，若圖3.2 - 3中的電阻R為負值(負電阻)， 則其完全響應為,這時它可分為固有響應和強迫響應。顯然，由于uC隨時間的增長而無限增大， 因而不存在穩(wěn)態(tài)響應。,固有響應,強迫響應,3.

44、3 電路的初始值,所描述的線性時不變動態(tài)電路的方程是常系數(shù)線性微分方程，在求解常微分方程時，需要根據(jù)給定的初始條件確定解答中的待定常數(shù)。如果描述電路動態(tài)過程的微分方程是n階的，就需要n個初始條件，它們是所求變量(電壓或電流)及其1， 2， …， (n-1)階導數(shù)在t=0+時的值(設換路時刻t=t0=0)， 也稱為初始值。其中電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始儲能決定，稱為獨立的初始值或初始狀態(tài)， 其余各變量(如

45、iC ， uL， iR ， uR等)的初始值稱為非獨立的初始值，它們將由激勵(電壓源或電流源)以及獨立初始值uC (0+)和iL (0+)來確定。 ,一、 獨立初始值 如前所述， 電容電壓和電感電流反映了電路儲能的狀況， 它們都具有連續(xù)的性質。設換路時刻為t=0， 那么由式(3.1 -7)和(3.1 -14)知，若電容電流iC和電感電壓uL在t=0時為有限值，則換路前后瞬間電容電壓uC和電感電流iL;是連續(xù)的，即有

46、,uC(0+)= uC(0-) iL(0+)= iL (0-) 因而可根據(jù)換路前電路的具體情況確定獨立初始值uC (0+)和iL (0+)。 式(3.3 - 1)常稱為換路定律。  換路定律可以從能量的角度來理解。 我們知道， 電容和電感的儲能分別為,果uC 或iL發(fā)生躍變， 那么WC 或WL也發(fā)生躍變。 由于功率p=

47、， 因此能量的躍變意味著瞬時功率為無限大， 這在實際電路中通常是不可能的。不過在某些理想情況下， 電容電流iC 和電感電壓uL 在某瞬時可能趨于無限，在這種情況下， 電容電壓uc 和電感電流iL 可能躍變(請參看下面將要介紹的例3.3 - 3)。  需要強調指出， 在接入激勵或換路的瞬間， 除了電容電壓uc 和電感電流iL 外，其余各變量(如ic，uL ， iR， uR等)都不受換路定律的約束。  如

48、果換路時刻為t=t0， 則換路定律可寫為,uC (t 0+)= uC(t 0-)iL(t 0+)= iL(t 0- ),順便提及， 對于非線性電路或時變電路， 電容電荷和電感磁鏈分別是uC (t)和iL (t)的函數(shù)， 即q(t)=f［ uC(t)］，Ψ(t)=f［iL(t)］。上述換路定律可表述為： 若ic和ul在t=t0處為有限值， 則電容電荷和電感磁鏈在t= t0處是連續(xù)的，它們不能發(fā)生躍變， 即,q(t0+ )=q(t0-

49、)Ψ(t0+ )=Ψ(t0-),二、 非獨立初始值 除uC(t0+ )、iL(t0+ )以外的各電流、 電壓的初始值(即非獨立初始值)可根據(jù)激勵和已求得的獨立初始值用以下方法求得。我們將給定的t≥0的電路中除全部激勵源和所有儲能元件以外的部分電路稱為NR，各激勵源和儲能元件都接于NR 的外部端口，如圖3.3 - 1(a)所示。 顯然， NR 中通常只有線性電阻， 有時還有受控源。  由于我們欲

50、求的各電流、 電壓的初始值是在t=0+時刻的值， 而在t=0+時刻，各激勵源均為常數(shù)，如us(0+)、is (0+)等；在此時刻(t=0+)各電容電壓和電感電流也是常數(shù)。,它們就是上面求得的uC(t0+ ) 、 iL(t0+ )等， 根據(jù)替代(置換)定理， 電容支路可用電壓源uC(t0+ )替代，電感支路可用電流源iL(t0+ )替代，于是得到如圖3.3 - 1(b)的初始值(t=0+時)等效電路。 顯然， 初始值等效電路是線性

51、電阻電路，并且各電源均為常數(shù)，因而可用求解電阻電路的各種方法求解。 如初始時刻為t= t0 ， 其求法類似。  例 3.3 -1如圖3.3 -2(a)的電路，在t<0時開關閉合在“1”， 電路已處于穩(wěn)態(tài)。當t=0時開關閉合到“2”， 求初始值ic (t0+ ) 、 uL(t0+ ) 、 i1(t0+ )和u2(t0+ ) 。 (1) 首先應求得初始狀態(tài)uC(t0+ )和iL(t0+ ) 。 為

52、此就需要求出uC(t0+ )和iL(t0+ ) 。在t=0-時開關閉合于“1”，由于電路已達到穩(wěn)態(tài)， 各電流、電壓不再隨時間變化， 從而有 ,也就是iC=0和uL=0。 因而在t=0-時刻， 電容可看作開路， 電感可看作短路，于是得t=0-時的等效電路如圖3.3 - 2(b)所示。 由圖(b)不難求得,iL(t0+ ) = ×3=2 A uC(t0

53、- ) =3 iL(t0- ) =6 V根據(jù)換路定律有 iL(t0+ ) = iL(t0- ) =2A uC(t0+ ) = uC(t0-) =6V,(2) 求各電流電壓的初始值。 為此畫出初始值(t=0+， 這時開關閉合于“2”)等效電路，其中電容用電壓源uC(t0+ )替代， 電感用電流源iL(t0+ )替代， 如圖3.3 - 2(c)所示。 將電流源

54、i iL(t + )與1Ω電阻的并聯(lián)組合變換為電壓源與電阻串聯(lián)組合， 如圖3.3 - 2(d)所示。 根據(jù)圖3.3 - 2(d)不難求得,iL(tC+ ) = =2 A i2(t0+ ) = =3A所以 u2(t0+ ) =3 i2(t0+ ) =

55、9 V uL(t0+ ) =10- u2(t0+ ) =1 V iC(t0+ ) = iC(t0+ ) + i2(t0+ ) =5A,例 3.3 -2如圖3.3 -3(a)的電路，已知uC(t)=10(1-e -t )(V)。當t=1s時，開關S斷開， 求開關斷開后的初始值i1(1+)、 i2(1+) 、 i3(1+)和iC(1+) 。   解本例中

56、換路的瞬間為t=t0=1s。首先求出初始狀態(tài)uC  (1+)的值。根據(jù)已知條件，當t=1-s時，電容電壓uC (1-) = 10(1-e -t ) =6.32V根據(jù)換路定律有根據(jù)換路定律有 uC (1+) = uC (1-) =6.32 V 畫出t=1+時的初始值等效電路，其中電容用電壓源uC (1+)替代，如圖3.3-3(b)所示，不難求得, i1(1+) =

57、 =0.92A u2 (1+) =10- uC (1+) =3.68 V i3(1+) = =3.16 A iC(1+) = i1(1+) – i3(1+) =-2.24 A,例 3.3 -3這是一個電容電壓躍變的例子。 如圖3.3 -4的電路， 如已知在t<

58、;0時，電容電壓均為零， 當t=0時，開關S閉合，求電容電壓的初始值uC (1+)和uC2 (1+) 。  解由于在t=0-時(顯然，t=0-<0 )， 各電容電壓均為零， 因而在t=0-時各電容可看作短路。,當開關在t=0閉合時，充電電流將為無限大，這時電容電壓將發(fā)生“強迫躍變”，換路定律不再適用。在這種情況下， 可根據(jù)電荷守恒的原理來確定各電容的初始電壓。 設電容C1和C2的電壓分別為uC1(t)和uC2(

59、t)，電荷分別為q1(t)和q2(t)， 則根據(jù)電容的定義有 q1(t) = C1 uC1(t) q2(t) = C2 uC2 (t) 由于在t=0-時各電容電壓為零，因而電荷也為零， 即有q1(0-)= q2(0+) =0。由圖3.3 -4可見， C1的負極和C1的正極接于節(jié)點A。 在t=0-時，節(jié)點A處的總電荷

60、 q1(0-) + q2(0-) =0,當開關閉合后，在t=0+時，根據(jù)電荷守恒原理， 對于節(jié)點A而言，也應有 -q1(0+) + q2(0+) =0考慮到式(3.3 -4)， 上式可以寫為- C1 uC1 (0+)+ C2 uC2(0+)=0 (3.3 -5)另一方面， 在t=0+時，根據(jù)KVL有 uC1 (0+)+ uC2(0+)=US

61、(3.3 -6)由式(3.3 -5)和(3.3 -6)可解得 uC1 (0+) = US  uC2(0+) = US,一般而言， 強迫躍變發(fā)生于兩種情況： 如果電路中存在有全部由電容組成的回路或由電容與理想電壓源組成的回路， 如圖3.3 -5(a)所示， 那么，當激勵接入或發(fā)生換路時， 電容電壓可能發(fā)生躍變； 如果電路中存在有

62、全部由含電感支路組成的割集或由含電感支路與理想電流源組成的割集，如圖3.3 -5(b)所示，那么，當激勵接入或電路發(fā)生換路時， 電感電流可能發(fā)生躍變。 在發(fā)生強迫躍變的情況下， 可根據(jù)電荷守恒和磁鏈守恒的原理確定有關初始值。 ,3.4 動態(tài)電路的響應,在動態(tài)電路中， 電路的響應(電流、 電壓)不僅與激勵源有關，而且與各動態(tài)元件的初始儲能有關。如果從產(chǎn)生電路響應的原因著眼，電路的完全響應(即微分方程的全解)可分為零輸入響應和零狀態(tài)響

63、應。  零輸入響應是外加激勵均為零(即所有獨立源均為零)時， 僅由初始狀態(tài)所引起的響應，即由初始時刻電容或/和電感中儲能所引起的響應。  零狀態(tài)響應是初始狀態(tài)均為零(即所有電容電感儲能均為零)時， 僅由施加于電路的激勵所引起的響應。  如令零輸入響應為yx(t)，零狀態(tài)響應為yf(t)，那么線性動態(tài)電路的完全響應為,y(t)=yx(t)+yf(t)

64、(3.4 -1)上式體現(xiàn)了線性電路的線性性質。  下面以直流(激勵源為常數(shù))一階電路為例研究動態(tài)電路的響應。  一、 零輸入響應 一階電路僅有一個動態(tài)元件(電容或電感)，如果在換路的瞬間動態(tài)元件已儲存有能量(電能或磁能)，那么即使電路中無外加激勵電源， 換路后， 電路中的動態(tài)元件將通過電路放電， 在電路中產(chǎn)生響應(電流或電壓)， 即零輸入響應。,圖3.4 -1(a)所示的RC電路中

65、，如在開關S閉合前已被充電，設t=0-時電容電壓uC(0-)=U0。當t=0時開關閉合，現(xiàn)在研究它的零輸入響應。 對于t≥0，根據(jù)KVL可得  -uR+uC=0 其中uR =Ri，i=-C (式中負號是由于電流i與uC參考方向相反)，將它們代入上式，得描述圖3.4 -1(a)電路的一階微分方程為 RC+uC=0

66、 (3.4 -2a)或寫為 式中τ=1/ RC為時間常數(shù)。根據(jù)換路定律，電容電壓的初始值uC(0+)= uC(0-) =U0。 ,式(3.4 -2b)的特征方程為s+(1/τ)=0，特征根s=-1/τ， 故得式(3.4 -2b)的解為 uC(t)=Ae 根據(jù)初始值uC(0+) = U0 ， 將它代入上式， 可求得常數(shù)A= U0 ， 最后得滿足初始

67、值的微分方程解為 uC(t) = U0 e≥0 (3.4 -3)式中τ=1/RC。  電路中的電流,按式(3.4 -3)和(3.4 -4)畫出uC(uR = uC )和i的波形如圖3.4 -1(b)和(c)所示。 由圖可見，在換路后， 電容電壓uC (t)和電流i(t)分別由各自的初始值uC(0+) = u0和i(0+)=U0/R，隨時間t的增大按指數(shù)

68、衰減， 當t→∞時，它們衰減到零， 達到穩(wěn)定狀態(tài)［uC(∞)=0， i(∞)=0］。 這一變化過程稱為過渡過程或暫態(tài)過程。 在換路瞬間電容電壓是連續(xù)的， 即uC(0-) = uC(0+) = U0 ，而電流i(0-)=0， i(0+)= U0 /R，它在換路瞬間由零突跳為U0 /R，發(fā)生了躍變。,圖3.4 -2(a)是一階RL電路， 在t<0時開關S是閉合的， 電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。 設t