第五章留數(shù)定理

1、第五章第五章留數(shù)定理留數(shù)定理（38）一、內(nèi)容摘要1留數(shù)留數(shù)：設(shè)以有限點a為孤立奇點，則在a點的某無心領(lǐng)域內(nèi)可以展成()fz洛朗級數(shù)：，。我們稱此展式中的系數(shù)0()()kkkfzazz???????0zaR???1za?為在a的留數(shù)留數(shù)，記為1a?()fz??0Reszzfz?2留數(shù)定理留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)在回路所圍區(qū)域B上除有限個孤立奇點外解析，??fzl在回路上連續(xù)，則l??????12ResResnlfzdzifzfz?????????

2、?A3將留數(shù)公式推廣到無窮遠(yuǎn)點將留數(shù)公式推廣到無窮遠(yuǎn)點：設(shè)為的一個孤立奇點，則在圓環(huán)?()fz()fz內(nèi)解析，設(shè)為圓環(huán)內(nèi)任一條繞原點的簡單正向閉曲線，定義Rz????l，為順時針方向，取為逆時針方向。對于無11Res()()2lffzdzbi????????Al?l窮遠(yuǎn)點的鄰域來說，才是該領(lǐng)域邊界的正方向。也即在的留數(shù)等于它l?()fz?在點的去心鄰域內(nèi)洛朗展開式中的系數(shù)變號。即其中的圍道?Rz????1z?沿順時針繞原點一周。在圍道外

3、除外別無奇點。l?l???z4留數(shù)和定理：留數(shù)和定理：設(shè)函數(shù)在擴充復(fù)平面上除了有限遠(yuǎn)點以及??fz(12)kzkn????以外處處解析，則有z??1Res()Res()0nkkfzf?????5求留數(shù)的一般方法求留數(shù)的一般方法：1）解析點的留數(shù)為0，即泰勒展開式與洛朗展開式一樣，無負(fù)一次項。2）直接求Laurent展開式的負(fù)一次項系數(shù)。3）判斷極點類型，可去奇點的留數(shù)為0，本性奇點用洛朗展開式中的階極點和一階極點的留數(shù)為。1bm?010

4、1011()lim()()(1)!mmmzzdresfzbzzfzmdz????????????01()sinRes()kkfxmxdxFa???????其中()()(0)imzFzfzem??3）實軸上有奇點的情形。定理：定理：在實軸上有有限個一階極點，在上半平面有有限??fz??12jajm??個孤立奇點.而且在包括實軸的上半平面中當(dāng)時一??12kbkn??z????zfz致趨于零則有.??????112nmkjkjfxdxires

5、fbiresfa????????????二、習(xí)題1填空題（1）在本性奇點處的留數(shù)___________.則1()zfze?=0zRes()fz?2()1izefzz??=__________Res()fi（2）=_________，=___________2=2=1zzeIdzz??A3=1cos=zzIdzz?（3）則___________則20=11cosdIaa????=I220cos=xIdxxb??__________=I2求