演化方程的有限元分析

1、第二章第二章發(fā)展方程的有限元分析發(fā)展方程的有限元分析W.B.J.ZIMMERMAN，B.N.HEWAKAMBYDepartmentofChemicalProcessEngineeringUniversityofSheffieldNewcastleStreetSheffieldS13JDUnitedKingdomEmail:科學(xué)研究和工程應(yīng)用中的偏微分方程（PDE）多源自復(fù)雜的平衡方程。常見(jiàn)的偏微分方程主要來(lái)自質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、組分守恒

2、和能量守恒定律。由于這些守恒定律是整個(gè)域上的積分方程，所以在連續(xù)性假設(shè)下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。本章介紹了COMSOLMultiphysics中典型的三種不同類型“時(shí)間－空間”系統(tǒng)偏微分方程——橢圓方程，拋物線方程和雙曲線方程。本章還對(duì)有限元方法進(jìn)行了總體介紹，結(jié)合應(yīng)用實(shí)例講解有限元方法精確計(jì)算的特性，更深層次的內(nèi)容將在后續(xù)章節(jié)中引出。1.簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中常會(huì)遇到滿足守恒定律約束的偏微分方程，通常以積分形式

3、出現(xiàn)。所有由質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、組分守恒和能量守恒控制的傳遞現(xiàn)象都會(huì)產(chǎn)生連續(xù)逼近的偏微分方程。相信化工人員對(duì)傳熱、傳質(zhì)和動(dòng)量傳遞現(xiàn)象不會(huì)感到陌生。與前一章COMSOLMultiphysics化工實(shí)例中介紹的零維、一維空間系統(tǒng)相比，化工課程中通常不會(huì)出現(xiàn)超過(guò)二維或三維的偏微分方程計(jì)算。從文獻(xiàn)[1]中找到一個(gè)非常珍貴的例子。實(shí)際上，很多常見(jiàn)的化工模型和公式都是由實(shí)際過(guò)程中更高維數(shù)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)化而來(lái)的。流體動(dòng)力學(xué)中的阻力系數(shù)，傳熱傳質(zhì)系數(shù)，

4、多相催化的Thiele模型，精餾塔設(shè)計(jì)中的McCabeThiele圖等許多描述高維數(shù)系統(tǒng)傳遞現(xiàn)象或非穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)過(guò)程的技術(shù)，都是半經(jīng)驗(yàn)性的方法，也許可以用偏微分方程來(lái)描述這些過(guò)程，但是由于基本物理、化學(xué)現(xiàn)象的復(fù)雜性，這些方程通常很難求解。所以對(duì)于初步的設(shè)計(jì)計(jì)算，這些快速計(jì)算的簡(jiǎn)化方法很受歡迎，但是對(duì)于細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)、設(shè)計(jì)翻新、過(guò)程分析和優(yōu)化過(guò)程，只有簡(jiǎn)化方法是不夠的。在基礎(chǔ)科學(xué)研究過(guò)程中，這些方法仍然不斷地從化學(xué)工程師傳給生物學(xué)家、材料學(xué)家等，

5、逐漸應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域的工作中。但是計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）的出現(xiàn)徹底改變了這些方法在傳導(dǎo)模型中的地位。雖然CFD在傳導(dǎo)現(xiàn)象可視化和量化方面具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，但是唯象方法對(duì)于描述分布系統(tǒng)模型仍然有非常重要的作用。COMSOLMultiphysics不是一個(gè)“商業(yè)CFD軟件”，但是也可以做一些CFD計(jì)算。它包含一些通用的CFD軟件包，在某些模型支持上具有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于CFD方法，大多數(shù)過(guò)程工程師希望有對(duì)湍流和燃燒模型的支持。但是COMSOLM

6、ultiphysics不同，擅長(zhǎng)多物理場(chǎng)計(jì)算。除了CFD的傳統(tǒng)傳遞現(xiàn)象，COMSOLMultiphysics還包含了電動(dòng)力學(xué)、磁動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等實(shí)例模式，可以對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行模擬計(jì)算。實(shí)際上COMSOLMultiphysics的最大優(yōu)點(diǎn)在于——首先，用戶自定義編程容易，可以輕易建立用戶自定義的模型，通過(guò)改變變量系數(shù)、邊界條件、初始條件，還可以同時(shí)耦合多個(gè)物理場(chǎng)（甚至不在同一個(gè)域上的物理場(chǎng)）；其次，基于MATLAB（或COMSOL），可以

7、實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜模型模擬的所有編程功能，可以把COMSOLMultiphysics看作是一個(gè)方便的高階有限元編程和分析軟件。上一章中，我們介紹了一些用戶自定義編程分析也就是說(shuō)，不再傳遞、超出給定范圍、來(lái)自噪聲或者在給定窗口內(nèi)因丟失初始條件而消失。2.1泊松方程：橢圓偏微分方程泊松方程：橢圓偏微分方程拉普拉斯方程經(jīng)過(guò)適當(dāng)變化就成為泊松方程：(2)2()ufx??我們?cè)诘谝徽旅枋龇蔷鶆蚪橘|(zhì)中具有分布熱源的熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)見(jiàn)過(guò)該方程的1一維形式，但是這

8、里的熱傳導(dǎo)率是均勻的。下面給出(2)式的另一個(gè)側(cè)面，應(yīng)該注意到，該方程滿足給定渦量曲線的流函數(shù)方程：(3)2()x?????有兩種較為容易的常見(jiàn)渦量類型——蘭金渦（某一區(qū)域內(nèi)的渦量是常數(shù)）和點(diǎn)源渦（渦量快速降低，可以理想為一個(gè)點(diǎn)渦）。你可能會(huì)對(duì)這兩種類型渦產(chǎn)生的流線感興趣。下面我們來(lái)研究一下這些流線。打開(kāi)COMSOLMultiphysics模型導(dǎo)航欄。按照表1的步驟求解具有單位分布源項(xiàng)（常渦量）的泊松方程。該模型具有一個(gè)獨(dú)立變量u，二維

9、空間坐標(biāo)x和y。我們繪制一個(gè)實(shí)心圓作為研究域，COMSOLMultiphysics將邊界分為四部分，默認(rèn)網(wǎng)格劃分762個(gè)。等流函數(shù)線如圖1所示。表1單位分布源項(xiàng)的泊松方程ModelNavigat選擇2D空間維數(shù)，COMSOLMultiphysics|PDEModes|ClassicalPDEs|Poisson’sEquation設(shè)定Element：LagrangeQuadratic，完成Draw菜單Specifyobjects：Circ

10、le默認(rèn)設(shè)置（單位半徑；圓形在原點(diǎn)），完成Physics菜單：BoundarysettingsDirichlet默認(rèn)模式，h=1，r=0(u=0)完成Physics菜單：Subdomainsettings選擇域1接受默認(rèn)選項(xiàng)，c＝1；f＝1。完成Meshing點(diǎn)擊三角形符號(hào)繪制網(wǎng)格Solver點(diǎn)擊求解按鈕（＝）求解Postprocessing：Plotparameters在General選項(xiàng)卡中取消選中Surface選項(xiàng)Contour選