第一講 微分方程的基本概念

1、《高等數(shù)學》精品課程—《微積分》部分—電子教案第1頁共23頁12y=x32y=x31y=x3Oyx第八章第八章微分方程微分方程8.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念教學目的：了解微分方程的有關概念教學目的：了解微分方程的有關概念難點：微分方程解的分類與判定點：微分方程解的分類與判定重點：常微分方程、通解與特解、初始條件與初值問題點：常微分方程、通解與特解、初始條件與初值問題我們先通過具體的例子來說明微分方程的有關概念例1設曲線y=f

2、(x)在其上任一點(x，y)的切線斜率為3x2，且曲線過點(0，1)，求曲線的方程解由導數(shù)的幾何意義知在點(x，y)處，有(1)23xdxdy?此外，曲線滿足條件(2).10???xy(1)式兩邊積分，得(3).332cxdxxy????其中c為任意常數(shù)(3)式表示了無窮多個函數(shù)圖(6–1)，為得到滿足條件(2)的具體曲線，以條件(2)代入(3)，得c=1故所求曲線的方程為(4).13??xy例2質量為m的物體自由落下t=0時初始位移和

3、初速度分別為求物體00Sv的運動規(guī)律。解設運動方程為S=S(t)則(5)(6)()Stg???0000||ttSSSv?????兩次積分分別得出:(7)(8)1()Stgtc???2121()2Stgtctc???條件代入:(9)1020cvcS??2001()2StgtvtS????圖6–1《高等數(shù)學》精品課程—《微積分》部分—電子教案第3頁共23頁定某個具體的特解階微分方程(14)常見的定解條件是如下形式的條件：n10)1(1000

4、)()()(??????nnyxyyxyyxy?其中為個給定的常數(shù)，通常稱這樣的定解條件為初始條1100?nyyyx?1?n件例如，方程(1)滿足初始條件(2)的特解是函數(shù)(4)，而方程(5)滿足初始條件(6)的特解是函數(shù)(9)求微分方程滿足某定解條件的解的問題，稱為微分方程的定解問題求微分方程滿足某初始條件的解的問題，稱為初值問題例3驗證：函數(shù)是微分方程atCatCxsincos21??=0xadtxd222?(14)的通解解求出函數(shù)

5、的導數(shù)：atCatCxsincos21??cossin21ataCataCdtdx???.sincos222122ataCataCdtxd???將以上兩式代入方程(14)的左端，得(14)因此，函數(shù)是atCatCxsincos21??方程(14)的解，又此函數(shù)中含有兩個任意常數(shù)，而方程(14)為二階微分方程，因此，函數(shù)是方程(14)的通解atCatCxsincos21??例4驗證：由方程所確定的隱函數(shù)是微分方程Cyxyx???22yxy