張彬斌定稿論文淺析

1、安慶師范學院數學與計算科學學院2011屆畢業(yè)論文第1頁共12頁中值定理與不等式作者：張彬斌指導老師：胡學平摘要：摘要：不等式的證明是數學分析中的常見問題本文主要討論應用微分中值定理對不等式證明的應用.微分中值定理包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理以及積分中值定理在這里主要分析這三種中值定理之間的關系及其在不等式證明、函數單調性、凹凸性中的應用.關鍵詞：關鍵詞：不等式中值定理單調性的應用凹凸性的應用1引言引言關于羅爾中值定理、拉格朗日中值

2、定理以及柯西中值定理的證明和應用有許多專門的研究利用微分中值定理證明不等式有許多方便之處本文主要介紹如何利用它來分析證明一些常見的不等式.2基本概念基本概念定理定理2.1羅爾中值定理若函數滿足如下條件：f⑴在閉區(qū)間上連續(xù)；f[]ab⑵在開區(qū)間內可導；f()ab⑶()()fafb?則在內至少存在一點使得()ab?（1）()0f???證明：因為在上連續(xù)所以有最大值與最小值分別用與表示現(xiàn)分兩種情f[]abMm況來討論：①若則在上必為常數從而結

3、論成立.mM?f[]ab②若則因使得最大值與最小值至少有一個在內某點mM?()()fafb?Mm()ab處取得從而是的極值點.由條件（2）在點處可導故由費馬定理推知?ff?()0f???注：定理中的三個條件缺少任何一個結論將不一定成立.安慶師范學院數學與計算科學學院2011屆畢業(yè)論文第3頁共12頁值總可為小于1的某一正數.?定理定理2.3柯西中值定理設函數和滿足：fg⑴在上都連續(xù)；[]ab⑵在內都可導；()ab⑶和不同時為零；()fx?

4、()gx?⑷()()gagb?則存在使得()ab??()()()()()()ffbfaggbga???????（6）證明：作輔助函數()()()()()(()())()()fbfaFxfxfagxgagbga???????易見在上滿足羅爾中值定理的條件故存在使得F[]ab()ab??()()()()()0()()fbfaFfggbga???????????因為（否則由上式也為零）所以可把上式改寫成（6）式.()0g???()f??結論：