matlab 計(jì)算方法 實(shí)驗(yàn)指導(dǎo) 誤差分析

1、實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一誤差分析誤差分析實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)1（病態(tài)問(wèn)題）實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問(wèn)題也有“好”與“壞”之別。對(duì)數(shù)值方法的研究而言，所謂壞問(wèn)題就是問(wèn)題本身對(duì)擾動(dòng)敏感者，反之屬于好問(wèn)題。通過(guò)本實(shí)驗(yàn)可獲得一個(gè)初步體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩陣特征值問(wèn)題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問(wèn)題。病態(tài)問(wèn)題要通過(guò)研究和構(gòu)造特殊的算法來(lái)解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)（如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、占用更多的存儲(chǔ)空間等）。問(wèn)

2、題提出問(wèn)題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式)1.1()()20()2)(1()(201????????kkxxxxxp?顯然該多項(xiàng)式的全部根為12…20共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的。現(xiàn)考慮該多項(xiàng)式的一個(gè)擾動(dòng))2.1(0)(19??xxp?其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對(duì)（1.1）中的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。?19x我們希望比較（1.1）和（1.2）根的差別，從而分析方程（1.1）的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便，我們先介

3、紹兩個(gè)MATLAB函數(shù)：“roots”和“poly”。roots(a)u?其中若變量a存儲(chǔ)n1維的向量，則該函數(shù)的輸出u為一個(gè)n維的向量。設(shè)a的元素依次為，則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程121?naaa?01121???????nnnnaxaxaxa?的全部根；而函數(shù)poly(v)b?的輸出b是一個(gè)n1維向量，它是以n維向量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)?？梢姟皉oots”和“poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù)。))20:1(()2()211(

4、000000001.0vepolyrootsessvezerosveess????上述簡(jiǎn)單的MATLAB程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的。?實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二非線性方程求根非線性方程求根實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2（迭代法、初始值與收斂性）實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康模撼醪秸J(rèn)識(shí)非線性問(wèn)題的迭代法與線性問(wèn)題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關(guān)系。問(wèn)題提出問(wèn)題提出：迭代法是求解非線性方程的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構(gòu)造

5、方法可以有多種多樣，但關(guān)鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的收斂速度。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)方程012???xx針對(duì)上述方程，可以構(gòu)造多種迭代法，如)1.7(121???nnxx)2.7(111nnxx???)3.7(11???nnxx在實(shí)軸上取初始值x0，請(qǐng)分別用迭代（7.1）（7.3）作實(shí)驗(yàn)，記錄各算法的迭代過(guò)程。實(shí)驗(yàn)要求實(shí)驗(yàn)要求：（1）取定某個(gè)初始值，分別計(jì)算（7.1）（7.3）迭代結(jié)果，它們的收斂性如何？重復(fù)選取不同的

6、初始值，反復(fù)實(shí)驗(yàn)。請(qǐng)自選設(shè)計(jì)一種比較形象的記錄方式（如利用MATLAB的圖形功能），分析三種迭代法的收斂性與初值選取的關(guān)系。（2）對(duì)三個(gè)迭代法中的某個(gè)，取不同的初始值進(jìn)行迭代，結(jié)果如何？試分析迭代法對(duì)不同的初值是否有差異？（3）線性方程組迭代法的收斂性是不依賴初始值選取的。比較線性與非線性問(wèn)題迭代的差異，有何結(jié)論和問(wèn)題。思考題一思考題一：用Newton法求方程013???xx在區(qū)間[33]上誤差不大于的根，分別取初值進(jìn)行計(jì)算，比較510