華東師范大學12級第一學期高等數(shù)學b期中試題及其解答

1、華東師范大學期中試卷2012 —2013 學年第 一 學期課程名稱：_ 高等數(shù)學 B____ 學生姓名：___________________ 學 號：___________________專 業(yè)：___________________ 年級/班級：____12 級_____ ____課程性質(zhì)：專業(yè)必修一 二 三 四 五 六 七 八 總分 閱卷人簽名……

2、……………………………………………………………………………………一、 （5 分）求函數(shù) 的定義域. 1 ( ) 2 ln(5 ) 3 f x x x x ? ? ? ? ? ?解 要使函數(shù)有意義，必須 ， 且 ，由此得： 且 2 0 x ? ? 3 0 x ? ? 5 0 x ? ? 2 5 x ? ? 3 x ?∴所求函數(shù)的定義域為 . ? ? ? ? 2,3 3,5 ?二、計算下列極限（25 分，每小題 5 分）（1） ；22 01

3、 lim 3 2 xxx x ??? ?解 22 01 1 lim 3 2 2 xxx x ?? ? ? ? ?（2） ；239 lim 3 xxx ???解 23 39 lim lim( 3) 6 3 x xx x x ? ?? ? ? ? ?（3） ； 2 11 2 lim 1 1 x x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ?解 ? ?? ?2 1 11 2 1 1 lim lim 1 1 1 1 2 x xxx x x x

4、? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4） ； 3 lim sinnx nn ??2ln arcsin1y x xy x x? ? ??∴ arcsin2 2ln arcsin ln arcsin1 1x x x x x y y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?四、(5 分)設(shè) ， 求 ， , . 2 ( ) sin , ( ) f x x x

5、x ? ? ? ? ? ) (x f ?? ? ? ) (x f ? ? ? ? ? ?? ) (x f ?解 ? ? ( ) sin 2 f x x ?? ?? ?2 ( ) cos f x x ? ? ?? ? ? ?2 2 ( ) (sin ) 2 cos f x x x x ? ? ? ? ?五、(12 分，每小題 6 分) （1）設(shè) ，求常數(shù) a 的值；2122 lim 2 3xxx ax e x a???? ? ? ? ?

6、 ? ? ? ?解 ∵2 22 2 22 2 3 lim ln lim 1 lim 2 3 2 3 2 3 2 x x xx ax x ax ax a a x x x x a x a x a ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴2222 lim 2 3x axx ax e x a???? ? ? ? ? ? ? ? ?由條件得 ，因此 1 2a ? ? ?

7、2 a ?（2）設(shè)當 時， 與 是等價無窮小量，求常數(shù) a 的值. 0 x ? 1 1 4 3 ? ? ax x 3 sin解 33 43 3 0 011 1 4 lim lim sin 4 x xax ax ax x ? ?? ? ? ?另外，由條件知3 43 01 1 lim 1 sin xaxx ?? ? ?∴ ，因此 1 4a ? 4 a ?六、 （12 分，每小題 6 分）（1）求曲線 在 處的切線方程和法線方程； 32ttx