（節(jié)選）數(shù)學(xué)外文翻譯--最小化對(duì)稱(chēng)矩陣的最大特征值（譯文）

1、中文 中文 2760 字出處： 出處：Michael L. On Minimizing the Maximum Eigenvalue of a Symmetric Matrix[J]. Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1988, 9(2):256-268.最小化對(duì)稱(chēng)矩陣的最大特征值 最小化對(duì)稱(chēng)矩陣的最大特征值ON MINIMIZING THE MAXIMUM EIG

2、ENVALUE OF A SYMMETRIC MATRIX摘要 摘要：一個(gè)重要的優(yōu)化問(wèn)題是使一個(gè)函數(shù)φ(x)最小化，其中φ(x)是一個(gè)關(guān)于 x 的對(duì)稱(chēng)矩陣的最大特征值（取絕對(duì)值） 。如果這個(gè)矩陣函數(shù)是仿射的，那么φ(x)就是凸的。然而，φ(x)是不可微的，因?yàn)樘卣髦凳遣豢晌⒃谒鼈兙劢Y(jié)點(diǎn)。本文提出的一個(gè)算法用來(lái)取得最小化的φ(x)是具有二次速率的。二階導(dǎo)數(shù)都無(wú)須取得二次收斂的情況下，這個(gè)解是唯一的。該算法的一個(gè)重要特征是能夠分割的多個(gè)特征

3、值，如果必要的話，以取得下降方向。在這些方面，該算法對(duì)第一類(lèi) Polak-Wardi-Doyle 方法顯示出顯著改進(jìn)。這種新方法與 Fletcher 對(duì)半定約束和 Friedland，Nocedal 和 Overton 逆特征值問(wèn)題的近期工作有很多共同之處。并會(huì)給出一些數(shù)值例子。關(guān)鍵字 關(guān)鍵字：非光滑的優(yōu)化，不可微的優(yōu)化，凸規(guī)劃，半定約束，最大奇異值的最小化1、簡(jiǎn)介 、簡(jiǎn)介。很多重要的優(yōu)化問(wèn)題涉及特征值的約束。舉個(gè)例子，結(jié)構(gòu)工程，我們不

4、妨以盡量減少一些結(jié)構(gòu)受限于它的固有頻率約束的成本。一個(gè)相當(dāng)常見(jiàn)的產(chǎn)生于控制工程的問(wèn)題是(1.1) minφ(x)條件是(1.2) φ(x) = max |λi(A(x))|,A(x)是一個(gè)關(guān)于 x 的仿射函數(shù)的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且{λi(A(x)),I = 1,…,n}是 A(x)的特征值。既然 A(x)是一個(gè)仿射函數(shù)，那么它可以寫(xiě)作A(x) = A0 + Σxk Ak函數(shù)φ(x)是凸的，因?yàn)橐粋€(gè)矩陣的最大特征值關(guān)于矩陣的元素是一個(gè)凸函數(shù)。一

5、個(gè)重要的特殊例子是(1.3)Ak = ekekT(2.2)s.t. –ω ≤ λi(A(x)) ≤ ω, i = 1,…,n或者等價(jià)的(2.3)minω(2.4) ωI – A(x) ≥ 0,(2.5) ωI +A(x) ≥ 0,在(2.4),(2.5)中的≥說(shuō)明的是一個(gè)矩陣的半正定約束。第二個(gè)形式說(shuō)明了對(duì) Fletcher(1985)的工作是具有適用性的。Fletcher 給出了二次收斂的算法來(lái)解決(2.6)maxΣxk(2.7)s.

6、t.A0 – Diag(x) ≥ 0, x ≥ 0而他的算法中的一些部分是可以用來(lái)解決(2.3)-(2.5)的。然而，這個(gè)算法不具有直接適用性的，而且有一些原因來(lái)解釋為什么在這種情況下它可以用來(lái)改進(jìn) Fletcher 的方法。其中一個(gè)原因是 Fletcher 的方法可以用來(lái)解決一系列的子問(wèn)題，每個(gè)通過(guò)定義一些無(wú)效的關(guān)于 A0+Diag(x)的猜想，直到正確的被標(biāo)示出來(lái)。這樣的策略不能很容易地?cái)U(kuò)展到兩個(gè)（或更多）的半定約束的情況。我們的算

7、法中的一個(gè)目標(biāo)是能夠調(diào)整多重估計(jì)并總是在每次迭代中獲得遞減的φ(x)。我們?cè)诿看蔚型ㄟ^(guò)計(jì)算 A(x)的特征值-特征向量的分解來(lái)得到。相比之下，F(xiàn)letcher 的方法用到了對(duì) A0+Diag(x)做 Choleski 分解，連同一個(gè)精確的罰函數(shù)來(lái)加強(qiáng)(2.7)。此外，因?yàn)?2.6),(2.7)的特殊形式，F(xiàn)letcher 的方法并不需要特征值的分裂技術(shù)。換句話說(shuō)，給出一個(gè) A0+Diag(x)矩陣來(lái)滿足(2.7)，通過(guò)一個(gè)無(wú)關(guān)的 t