區(qū)組長(zhǎng)為4的二維不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì).pdf

1、近年來(lái)，環(huán)境和生態(tài)調(diào)查中的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題已經(jīng)受到人們的廣泛關(guān)注，其中之一就是有限多個(gè)個(gè)體的數(shù)據(jù)收集和分析.通常情況下，在環(huán)境和生態(tài)資源中，不管有限多個(gè)個(gè)體按空間排列還是按次序排列，相鄰個(gè)體總是提供了相似的信息.調(diào)查者為了得到總體的最有用的信息數(shù)據(jù)，不希望收集的信息來(lái)自所取樣本中的相似個(gè)體.而且當(dāng)從如此總體中抽樣時(shí)，分散個(gè)體的選擇將降低估計(jì)量的方差.在1988年，Hedayat，Rao和Stufken首先提出了不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)(BSEC)

2、的存在問(wèn)題.這類(lèi)設(shè)計(jì)常常應(yīng)用于那些相鄰樣本點(diǎn)提供了相似信息的樣本調(diào)查中，如人口特征估計(jì)、環(huán)境的評(píng)估等. 令x={0，1，…，υ-1)。如果C(x)=(xo，x1,……，Xυ-1)是x的一個(gè)圓排列，則稱(chēng)Xi與Xi+1為鄰點(diǎn)，0≤i≤u-2，xo與xυ-l也為鄰點(diǎn). 設(shè)X是有圓排列C(X)的υ元集，B是X的一些k-子集構(gòu)成的集簇，B中元稱(chēng)為區(qū)組.若對(duì)子(X，B)滿(mǎn)足：任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個(gè)不相鄰點(diǎn)恰出現(xiàn)

3、在入個(gè)區(qū)組中，則稱(chēng)(X，B)為一個(gè)1維不含鄰點(diǎn)的k長(zhǎng)平衡樣本設(shè)計(jì)，記為1-BSEC(υ.k.λ). Hedayat，Rao和Stufken(1988年[l，2])證明了k=3，4時(shí)，如果υ≥3k，則存在某個(gè)λ，使得1-BSEC(γ,κ,λ)存在.Stufken和Wright(2001年[22])給出了k=5，6，7且(k，υ)≠(7，22)時(shí)，存在某個(gè)λ使得l-BSEC(γ,κ,λ)存在的充分必要條件是υ≥3k+1.但上述結(jié)果中

4、參數(shù)λ的值隨著點(diǎn)數(shù)μ的增加增長(zhǎng)的很快，這將產(chǎn)生許多的重復(fù).而我們一般希望一個(gè)設(shè)計(jì)的區(qū)組少一些。使得重復(fù)少一些.Colboum和Ling對(duì)給定的k和入進(jìn)行考慮，分別在1998年和1999年證明了1-BSEC(μ，3.λ)存在的充分必要條件和1-BSEC(υ，4，λ)存在的充分必要條件(見(jiàn)[l 9][23]). 二維BSEC的思想最早被Hedayat等人在1988年提出.后來(lái)，Bryant等人給出了二維不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)的概念.

5、 二維意味著點(diǎn)集如Zn×Zm在二維上排列.點(diǎn)(x-1，y)，(x+1，y)，(x，y-1)，和(x，y+1)(前一個(gè)分量模n，后一個(gè)分量模m)均稱(chēng)為與點(diǎn)(x，y)是2-相鄰的.事實(shí)上，這些點(diǎn)在空間構(gòu)成一個(gè)環(huán)面. 設(shè)X=Zn×Zm，B是X的一些k-子集構(gòu)成的集簇，B中元稱(chēng)為區(qū)組.若對(duì)子(X，B)滿(mǎn)足：任意兩個(gè)2-相鄰的點(diǎn)不在任何區(qū)組中出現(xiàn)，而任意兩個(gè)非2-相鄰的點(diǎn)恰出現(xiàn)在入個(gè)區(qū)組中，則稱(chēng)(X，B)為一個(gè)2維不含鄰點(diǎn)的k長(zhǎng)平

6、衡樣本設(shè)計(jì)，記為2-BSEC(n，m，k，λ). Bryant，Chang，Rodger和Wei[26]討論了區(qū)組長(zhǎng)為3的二維不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)，完全解決了2-BSEC(m，n，3，1)的存在性.但2-BSEC(m，n，4，λ)的存在問(wèn)題還遠(yuǎn)沒(méi)有解決. 本文將主要研究二維不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)的構(gòu)造和區(qū)組長(zhǎng)為4的二維不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)的存在性.全文共分為四章： 第一章在這一章中，我們介紹了不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)用

7、于抽樣調(diào)查的背景，給出了不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)的概念和一些已知結(jié)果. 第二章我們介紹了可分組設(shè)計(jì)(GDD)，不完全可分組設(shè)計(jì)(IGDD)，帶洞可分組設(shè)計(jì)(HGDD)等相關(guān)設(shè)計(jì)及性質(zhì)，并給出了它們的一些存在結(jié)果.同時(shí)，我們還給出了輔助設(shè)計(jì)BSEC*的定義，性質(zhì)和一些存在結(jié)果，這在以后的構(gòu)造中有著重要的應(yīng)用. 第三章由于以前的構(gòu)造方法在進(jìn)一步研究區(qū)組長(zhǎng)為4的2-BSEC時(shí)均不可用，所以我們利用可分組設(shè)計(jì)，不完全可分組設(shè)計(jì)，帶

8、洞可分組設(shè)計(jì)和BSEC*，給出了幾個(gè)構(gòu)造不含鄰點(diǎn)的平衡樣本設(shè)計(jì)的一般方法.進(jìn)而得到了一些構(gòu)造2維不含鄰點(diǎn)的4長(zhǎng)平衡樣本設(shè)計(jì)的遞歸構(gòu)造. 第四章我們利用第三章給出的構(gòu)造方法和一些小階數(shù)的2-BSEC的直接構(gòu)造，得到了區(qū)組長(zhǎng)為4的2-BSEC的存在結(jié)果.主要結(jié)論如下： (1)當(dāng)m≥8(mod 24)，且n∈{4，7，10，13)時(shí)，存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，1).當(dāng)m≥8(mod 24)，n≥16(mod 48)時(shí)，

9、存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，1). (2)當(dāng)n≥4，n≠6，且m≥0(mod 4)時(shí)，存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，3). (3)當(dāng)m，n≥3(mod 4)且m，n>3時(shí)，存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，3). (4)(i)當(dāng)m≥1(mod 4)，n≥9(mod 16)。且m≠33，49時(shí)，存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，3).(ii)當(dāng)m，n≥5(mod 16)，存在一個(gè)2-BSEC(m，n，4，