非線性人工邊界條件.pdf

1、在科學(xué)和工程計(jì)算中，當(dāng)數(shù)值求解無(wú)界區(qū)域上的偏微分方程的時(shí)候，通常需要引進(jìn)人工邊界將無(wú)界區(qū)域截?cái)酁橛邢薜挠?jì)算區(qū)域，同時(shí)在人工邊界上設(shè)置合適的人工邊界條件，從而將無(wú)界區(qū)域上的問(wèn)題簡(jiǎn)化到有界計(jì)算區(qū)域上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算．人工邊界方法在科學(xué)計(jì)算的許多領(lǐng)域里都具有非常重要的意義，比如彈性力學(xué)，流體力學(xué)，聲學(xué)，電磁學(xué)，量子力學(xué)等等．近幾十年來(lái)，大量的文獻(xiàn)從各個(gè)方面對(duì)人工邊界方法進(jìn)行了廣泛的研究，針對(duì)不同的問(wèn)題設(shè)計(jì)人工邊界條件，分析它的數(shù)值離散格式的穩(wěn)定性

2、和解的誤差估計(jì)，從而使人工邊界方法逐步發(fā)展成為除無(wú)限元方法，邊界積分方法和邊界元方法等方法外數(shù)值求解無(wú)界區(qū)域上偏微分方程的重要方法． 近些年來(lái)，人工邊界方法的主要研究方向包括解析邊界條件非局部算子的快速計(jì)算，高階局部邊界條件的構(gòu)造，復(fù)雜區(qū)域和多維空間上的人工邊界條件，以及非線性問(wèn)題的人工邊界條件等等．本文主要研究無(wú)界區(qū)域上非線性偏微分方程的人工邊界條件．這一領(lǐng)域在當(dāng)前尤其受到研究者特別的關(guān)注．由于大部分當(dāng)前常用的研究技巧都只適合

3、于線性問(wèn)題，比如Laplace/Fourier變換和級(jí)數(shù)展開(kāi)等，這些技巧通常不能直接推廣到非線性情形，因而，對(duì)于非線性方程，必須尋找一些特殊的方法和技巧．本文在下列三個(gè)方面對(duì)無(wú)界區(qū)域上非線性偏微分方程的非線性人工邊界條件的研究取得了進(jìn)展： 首先，我們研究了非線性Schrodinger (NLS)方程的吸收邊界條件，這也是本文的研究重點(diǎn)．NLS方程的吸收邊界條件的構(gòu)造近些年來(lái)受到了廣泛的重視，近幾年陸續(xù)提出了一些有效的處理方法，比

4、如利用反散射理論來(lái)求解三次NLS方程和利用完全匹配層(PML)方法等等．本文著重于局部的吸收邊界條件，在人工邊界附近引入局部時(shí)間分裂技巧，然后對(duì)分裂后的線性部分引入Fourier變換，得到單向波傳播方程．另一方面，對(duì)于線性部分，為了提高邊界條件的精度，我們還引入了窗口Fourier變換的方法來(lái)捕捉邊界附近的主要波數(shù)，從而使局部吸收邊界條件能夠自適應(yīng)的隨著波包的頻域信息進(jìn)行調(diào)節(jié)，達(dá)到比較理想的吸收效果．在這一部分的最后，我們還將這種分裂的

5、吸收邊界條件應(yīng)用于激光與原子的相互作用領(lǐng)域． 其次，在第二部分討論一些特殊的非線性方程的解析人工邊界條件，我們將研究無(wú)界區(qū)域上Burgers方程和確定性的KardaJr-Parisi-Zhang方程．通過(guò)應(yīng)用Cole-Hopf變換，這兩類方程可以與熱傳導(dǎo)方程相聯(lián)系，因而采用構(gòu)造無(wú)界區(qū)上熱傳導(dǎo)方程的技巧可以得到它們的準(zhǔn)確非線性人工邊界條件．所得到的人工邊界條件為非局部的形式．對(duì)于Burgers方程，主要討論一維問(wèn)題，同時(shí)我們給出了

6、等價(jià)的有界區(qū)域問(wèn)題的穩(wěn)定性分析結(jié)果．而對(duì)于后一類方程，我們分別給出了一到三維問(wèn)題的人工邊界條件的形式． 最后，本文將討論人工邊界條件在孤立子求解中的應(yīng)用．在許多物理應(yīng)用中，比如水波，希望得到孤立波解形式的解．求解這些問(wèn)題都需要考慮特征值問(wèn)題，而其實(shí)際上也是無(wú)界區(qū)的問(wèn)題．在這一部分，我們只做了很基礎(chǔ)的研究，以廣義KdV方程為例數(shù)值求孤立子解，引出求解這類問(wèn)題的主要思想．由于一般的廣義KdV方程很難通過(guò)常用的解析工具求得孤立子解，所

7、以稱所得到的解為數(shù)值孤立子．我們同時(shí)利用這些數(shù)值孤立子研究它們之間的碰撞行為，從而可以了解一些非線性色散的機(jī)制． 人工邊界方法在最近三十年吸引了很多數(shù)學(xué)家和工程師的廣泛關(guān)注，引申出了許多極具挑戰(zhàn)性同時(shí)又非常重要的課題，包括超奇異積分的計(jì)算及收斂性，多維和復(fù)雜區(qū)域問(wèn)題的人工邊界條件，以及本文討論的非線性問(wèn)題．在這些問(wèn)題中，有些技巧已民日趨成熟并應(yīng)用于實(shí)際的工程和科學(xué)計(jì)算，而有些則剛剛開(kāi)始發(fā)展起來(lái)．由于非線性問(wèn)題的復(fù)雜性，很多非線性