Horn-Schunck光流理論研究.pdf

1、準(zhǔn)確、有效地提取場景中的運(yùn)動信息，對于很多視覺任務(wù)都是至關(guān)重要的?；镜姆椒ǚ譃閮深悾夯诠饬鞯姆椒ê突谔卣鞯姆椒?。通過計算光流來提取運(yùn)動信息的方法，由于具有無須特征提取、無須特征匹配、以及可以得到稠密的運(yùn)動信息三大優(yōu)點(diǎn)，在運(yùn)動視覺領(lǐng)域占有重要地位。從1987年到2007年之間的Marr獎中，就有多項工作和光流直接相關(guān)。
　　Horn和Schunck提出的光流理論，是光流領(lǐng)域中最經(jīng)典和最有影響的理論，至今已經(jīng)存在很多改進(jìn)版本，其

2、實際效果也已經(jīng)得到大量的實驗驗證和評估；但是，該理論仍存在若干尚未解決、或者剛剛引起注意的基本問題，包括：Horn-Schunck方程組的適定性和可解耦性、方程組解的規(guī)則性和輸入圖像序列規(guī)則性之間的關(guān)系、Horn-Schunck的經(jīng)典算法的收斂性證明和收斂率估計、算法性能和參數(shù)之間的定量關(guān)系、新的計算方法等，其中每一個問題都直接或間接地影響算法設(shè)計和實用效果。
　　基于作者的工作，論文對這些基本問題研究結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。研究的問題和得

3、到的主要結(jié)果如下：
　　1.引用二階橢圓方程組的理論，證明了Horn-Schunck方程組是一致橢圓、適定的，由此推知其Dirichlet邊值問題解是唯一的。因此，根據(jù)論文所得結(jié)論，Horn-Schunck方程組并不存在不適定現(xiàn)象的可能性。
　　2.Horn-Schunck方程組，是對一個Tikhonov型正則化泛函做形式上的變分運(yùn)算得到的Euler-Lagrange方程組。這個形式對應(yīng)的合法性，需要該泛函具有適當(dāng)?shù)目晌⑿浴?/p>

4、論文通過驗證該泛函的凸性和增長條件，證明了所需的可微性確實具備，從而形式運(yùn)算是合法的。
　　3.Horn-Schunck方程組是由兩個光流分量滿足的二階方程耦合而成的方程組。能否通過變量的線性變換，使得變換后的方程組呈現(xiàn)兩個方程相互解耦的結(jié)構(gòu)，從而新的兩個變量可以單獨(dú)計算，是實際中關(guān)心的問題。通過細(xì)致的分析，文中證明了，對于一般的（generic）圖像序列，這是不可能的，并且闡明了不滿足一般條件的圖像所具有的特征。
　　4.

5、由于方程組解的規(guī)則性不僅影響算法類型的選擇，特別是有限差分方法中容許差分格式的選擇，也直接影響具體算法中近似解序列的收斂速度，論文中特別關(guān)注了這個問題。由于邊界條件是簡單的，解的規(guī)則性只和系數(shù)的規(guī)則性直接相關(guān)。Horn-Schunck方程組的系數(shù)，正是輸入圖像序列對時間和空間的一階導(dǎo)數(shù)。文中綜述了近年來關(guān)于自然圖像規(guī)則性這個熱點(diǎn)大問題研究的觀點(diǎn)和成果，并用于交替迭代算法解析解的規(guī)則性和算法收斂率估計、以及從變分表述到偏微分方程組過渡的合

6、法性等問題中。
　　5.Horn和Schunck在提出他們的方程組的同時，也設(shè)計了首個迭代算法，但是，直到近年來，該算法的收斂性和收斂速度才開始得到有限的關(guān)注。論文采用連續(xù)嵌入、能量估計、以及壓縮映射不動點(diǎn)原理等完全不同于前人的方法，獨(dú)立地得到了Horn-Schunck經(jīng)典算法指數(shù)收斂的結(jié)論、以及收斂率的估計。對于提出的交替迭代算法，也做了類似的研究。此外，也證明了偏微分方程組離散化后所得線性代數(shù)方程組解的唯一性。早先關(guān)于Horn

7、-Schunck算法的研究，包括Horn-Schunck的原創(chuàng)性論文，大多都是基于實驗的經(jīng)驗性驗證。本文中所得收斂條件和收斂率估計，雖然偏于保守，但是已經(jīng)明顯地包含了圖像規(guī)則性、正則化參數(shù)大小、圖像區(qū)域尺寸、以及算法所用到的時間空間步長等參數(shù)在內(nèi)。離散化后方程組解的唯一性，論證雖然簡單，至今尚未見諸于已發(fā)表工作。
　　6.對于Horn-Schunck算法，采用帶有g(shù)round truth的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)、針對正則化參數(shù)的大范圍選擇，進(jìn)行

8、了大量實驗驗證。實驗不僅驗證了收斂性的定性結(jié)論，還采用自行設(shè)計的收斂率估計方法，得到了每種情況下的收斂率估計，此外還發(fā)現(xiàn)了收斂率不均勻變化的現(xiàn)象，由此引出了新的研究問題。
　　Horn-Schunck方程組的適定性之所以值得研究，是因為形式上相近的橢圓方程和方程組，在適定性、極值原理、先驗估計、正則性等方面的結(jié)論卻可以存在本質(zhì)差別，而這些差別一直被視覺研究者所忽視。結(jié)論1解除了對于Horn-Schunck方程組在適定性方面的后顧之

9、憂，說明了不同算法所尋找的解不僅存在，而且是相同的唯一目標(biāo)。
　　Horn-Schunck方程組不能解耦的結(jié)論，消除了試圖通過線性變換把方程組歸結(jié)為兩個獨(dú)立標(biāo)量方程的任何幻想；不過，該論證只是在較為局限的線性變換下才得到了完善的結(jié)論。這個論證，盡管并未窮盡所有可能性，但它是論文所提兩個交替迭代算法的出發(fā)點(diǎn)。這兩個新算法，具有和經(jīng)典算法可比較的性能和計算量，但是，在具體計算格式以及性能分析兩方面，相比經(jīng)典算法有獨(dú)到的優(yōu)勢：新算法存在

10、解析解表達(dá)式，以及收斂性證明和收斂率估計中可使用壓縮不動點(diǎn)原理這樣簡潔有效的技術(shù)，迅速得到結(jié)論，就是兩個明顯的例證。所以，盡管所得到的該方程組解耦的理論不完備、結(jié)論是否定的，仍然具有獨(dú)立價值。至于一般變換之下，該方程組能夠解耦與否，由于存在目前無法克服的技術(shù)困難，尚未得到明確結(jié)論。
　　將離散的光流迭代嵌入到一個連續(xù)流中，不僅使得迭代算法和原始的變分表述以及偏微分方程組的關(guān)系變得明朗，更重要的是，經(jīng)過連續(xù)嵌入，偏微分方程理論中的極

11、值原理、各種強(qiáng)有力的能量估計不等式、算子半群理論、解析解表達(dá)式等現(xiàn)成工具都可以派上用場，這為光流方程的性能分析提供了一種新的范式。
　　以前關(guān)于光流算法的實驗驗證，通常是為了考查精度、算法各環(huán)節(jié)的重要性、計算量、計算結(jié)果對參數(shù)的依賴性、不同算法之間的橫向比較等，本論文中關(guān)于收斂性和收斂率的實驗，在目的和內(nèi)容上與過去的實驗工作是不同的。
　　偏微分方程組的適定性和不可解耦性、顯式的偏微分方程組和隱式的變分表述之間的關(guān)系、離散化