數學建模課程設計---具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型

1、<p>　　學生課程設計（論文）</p><p>　　題 目： 具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型 </p><p><b>　　學生課程設計任務書</b></p><p>　　注：任務書由指導教師填寫。</p><p>　題　目具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型</p><p&g

2、t;　1、課程設計的目的數學建模課程設計是讓學生通過動手動腦解決實際問題，讓學生學完《數學建?！氛n程后進行的一次全面的綜合訓練，是一個非常重要的教學環(huán)節(jié)。</p><p>　課程設計的內容和要求（包括原始數據、技術要求、工作要求等）根據指導教師所下達的課程設計題目和課程設計要求，在規(guī)定的時間內完成設計任務；撰寫詳細的課程設計論文一份。</p><p>　3、主要參考文獻姜啟源、謝金星、葉俊

3、.《數學模型（第三版）》.北京:高等教育出版社.2003.8。王向東、戎海武、文翰.數學實驗.北京：高等教育出版社.2004.5。姜啟源、謝金星、葉俊.《數學模型（第三版）》習題解答.北京:高等教育出版社.2003.8?！?】謝運權丶張志讓.數學.科學出版社，1999。</p><p>　4、課程設計工作進度計劃</p><p>　指導教師（簽字）日期年 月 日</p&g

4、t;<p>　教研室意見：年 月 日</p><p>　學生（簽字）： 接受任務時間： 2014 年 12 月 08 日</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　如果一個自然環(huán)境中有兩個或兩個以上種群生存，那么它們之間存在三種關系：相互競爭、相互依存、弱肉強食。以下將要介紹的是第三種弱肉強食

5、關系，并在此基礎上加入具有自身阻滯作用的條件，即：種群甲（食餌）靠豐富的自然資源生長，而種群乙（捕食者）靠捕食種群甲（食餌）為生，而其自身又受到自身的阻滯作用。于是根據此關系，我們將建立一個具有自身阻滯作用的食餌—捕食者系統。</p><p>　　【關鍵詞】自身阻滯作用 平衡點 穩(wěn)定性 相軌線 </p><p><b>　　目錄</b></p

6、><p><b>　　一．問題重述1</b></p><p><b>　　二．問題分析2</b></p><p>　　三．模型假設與符號說明3</p><p><b>　　四．模型建立4</b></p><p><b>　　五、模型分析5

7、</b></p><p><b>　　六．參數的意義8</b></p><p><b>　　七．模型的求解9</b></p><p>　　十．模型評價與推廣15</p><p><b>　　【參考文獻】16</b></p><p>&

8、lt;b>　　一．問題重述</b></p><p>　　以下將介紹的是在食餌—捕食者模型的基礎上，建立具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，并解釋參數的意義，分析平衡點的穩(wěn)定性，解釋平衡點穩(wěn)定的實際意義，進行相軌線分析。對于Volterra模型，多數食餌—捕食者系統觀察不到那種周期動蕩，而是趨于某種平衡狀態(tài)，即系統存在穩(wěn)定的平衡點。在Volterra模型中考慮自身阻滯作用的Logisitic項建立

9、具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，并對模型的穩(wěn)定性進行分析。</p><p><b>　　二．問題分析</b></p><p>　　具有自身阻滯作用的食餌—捕食者模型，就是在Volterra食餌—捕食者模型中加入考慮自身阻滯作用的Logistic項。自然界中不同種群之間存在著既有依存丶又有制約的生存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群已靠捕食種群甲為生，食用于和

10、鯊魚丶美洲兔和山貓丶落葉和蚜蟲等都是這種生存方式的典型。生態(tài)學稱甲為食餌，種群已為捕食者，二者構成了食餌—捕食者系統。然而在自然界中由于資源有限和其他作用，種群自身也會阻滯自身的增長，從而他們構成了自身具有阻滯作用的食餌—捕食者系統。</p><p>　　三．模型假設與符號說明</p><p>　　1.在一個自然環(huán)境中，有甲（食餌）、乙（捕食者）兩個種群。</p><p

11、>　　2.若乙離開甲，則乙無法生存。</p><p>　　3.自然環(huán)境中資源豐富，若甲獨立生存時，呈指數規(guī)律生長。</p><p>　　：甲（食餌）在t時刻的數量； </p><p>　?。阂遥ú妒痴撸┰趖時刻的數量； </p><p>　　：甲的相對增長率；

12、 </p><p>　?。阂业南鄬υ鲩L率； </p><p>　　：甲的自然環(huán)境最大容納量； </p><p>　?。阂业淖匀画h(huán)境最大容納量； </p><p>

13、<b>　　四．模型建立</b></p><p>　　有甲（食餌）乙（捕食者）兩個種群，當它們獨自在一個自然環(huán)境中生存時，數量的演變均遵從Logistic規(guī)律。于是對于種群甲：</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　當兩個種群在同一自然環(huán)境中生存時，考察由于乙（捕食者）對于甲（食餌）的生長產生的影

14、響，于是得到種群甲增長的方程為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　類似的，得到種群乙（捕食者）的方程為：</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　五、模型分析</b></p><p><

15、;b>　　1、穩(wěn)定性分析：</b></p><p>　　為了了解食餌和捕食者在自身阻滯作用下的生存結局，即時，的趨向，我們對方程（1），（2）的平衡點進行穩(wěn)定性分析。</p><p>　　首先根據微分方程（1），（2）解代數方程組</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　可以得到

16、3個平衡點：</p><p>　　按照判斷平衡點穩(wěn)定性的方法計算，可以得到：</p><p>　　對三個平衡點進行穩(wěn)定性分析：</p><p>　　、對于點，由于，，故點不穩(wěn)定。</p><p>　　、對于點，有，解得，，所以當時點穩(wěn)定。</p><p><b>　　、對于點，有</b></

17、p><p>　　(4) 解得，當時點穩(wěn)定。</p><p>　　為了好對比，我們將3個平衡點的p，q結果及穩(wěn)定條件匯總到下列的表格中。</p><p>　　從上表中可以看出是不穩(wěn)定的點；當時，點是穩(wěn)定點；當時，是穩(wěn)定點。</p><p><b>　　相軌線分析：</b></p><p>　　對于非線性

18、方程（1），（2）我們對它們的局部穩(wěn)定性做基礎上的相軌線分析，在代數方程組（3）中，令：</p><p>　　對于穩(wěn)定點做穩(wěn)定點的相平面分析即：</p><p>　　對于點的相平面分析我們可以看到圖像的各個區(qū)域都趨向于點，點的相平面分析可以看到各個區(qū)域都趨向于點。</p><p><b>　　六．參數的意義</b></p><

19、;p>　　在上面的兩個方程中，</p><p>　　式中的的意義是：單位數量乙（捕食者）（相對于而言）消耗的供養(yǎng)甲（食餌）的食物量為單位數量甲（相對于）消耗的供養(yǎng)甲的食物的倍。</p><p>　　式中的的意義是：單位數量甲（相對于而言）消耗的供養(yǎng)乙的食物量為單位數量乙（相對于）消耗的供養(yǎng)乙的食物的倍。</p><p><b>　　七．模型的求解&l

20、t;/b></p><p>　　平衡點求解及穩(wěn)定點判斷：由以上兩個微分方程（2）、（3）式，設f()=0,g()=0，解代數方程組</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　得到3個平衡點：</b></p><p>　　=(0,0)，=（，0），＝（，）</

21、p><p>　　按照判斷平衡點的方法，先求出方程的系數矩陣A，其中；</p><p>　　A＝ (7)</p><p>　　按照判斷平衡點穩(wěn)定的方法，將A代入到f()和g()中，有：</p><p>　　A＝ (8)</p><p>　　將上面得到的3個平衡點帶

22、入到A中算出，，i=1,2,3。，i=1,2,3。將3個平衡點p,q的結果及穩(wěn)定條件列入下表中：</p><p>　　八．平衡點穩(wěn)定的實際意義</p><p>　　1.當<1時，甲（食餌）不能夠為乙（捕食者）提供足夠的食物，點穩(wěn)定。即乙滅亡，甲趨向自然環(huán)境最大容量；</p><p>　　2.當>1時，甲能夠為乙提供足夠的食物，點穩(wěn)定。即甲和乙都能夠共存下

23、去，分別趨向非零的有限值，甲和乙保持共存的最大數量。</p><p><b>　　九．相軌線分析</b></p><p>　　平衡點的全局穩(wěn)定（即不論初始值如何，平衡點是穩(wěn)定的），需要在上面得到的局部穩(wěn)定性的基礎上輔之以相軌線分析。</p><p>　　下面用計算機求方程（2）、（3）的 數值解畫圖，并畫出相軌線的圖形。</p>

24、<p>　　1.討論上述<1的情況。設=0.8，=1.5，=1.2，=0.5，=2，=1.6.使用matlab軟件計算。</p><p>　　先建立一個文件并輸入：（文件保存為shier）</p><p>　　function x=shier(t,x)</p><p>　　r1=0.8;r2=1.5;a=1.2;b=0.5;N1=2;N2=1.6;&

25、lt;/p><p>　　x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];</p><p><b>　　end</b></p><p>　　在matlab的主界面中輸入：</p><p>　　>> ts=0:0.1:15;</p

26、><p>　　>> x0=[12,5];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier1',ts,x0);[t,x];</p><p>　　>> plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)')</p><p>

27、;<b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid</p><p>　　由圖可知：當<1時，甲（食餌）不能夠為乙（捕食者）提供足夠的食物，乙會滅亡。</p><p>　　2.討論上述>1的情況。設=0.8，=1.5，=1.2，=1.7，=2，=

28、1.6.使用matlab軟件計算。</p><p>　　先建立一個文件并輸入：（文件保存為shier1）</p><p>　　function x=shier(t,x)</p><p>　　r1=0.8;r2=1.5;a=1.5;b=1.7;N1=2;N2=1.6;</p><p>　　x=[r1*x(1)*(1-x(1)/N1-a*x(2)

29、/N2);r2*x(2)*(-1+b*x(1)/N1-x(2)/N2)];</p><p><b>　　end</b></p><p>　　在matlab主窗口中輸入：</p><p><b>　　>> clear;</b></p><p>　　>> ts=0:0.1:15;

30、</p><p>　　>> x0=[12,5];</p><p>　　>> [t,x]=ode45('shier1',ts,x0);[t,x];</p><p>　　>>plot(t,x),grid,gtext('x(1)'),gtext('x(2)')</p><

31、;p><b>　　>> pause,</b></p><p>　　>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid</p><p>　　由圖可知：當>1時，甲能夠為乙提供足夠的食物，甲和乙共同生存。</p><p><b>　　十．模型評價與推廣</b></p>&l

32、t;p>　　多數的食餌—捕食者系統中，都沒有考慮到自身的阻滯作用，觀察不到周期震蕩，而是趨向于某種平衡狀態(tài)。本文則是添加了具有自身阻滯作用的條件，使得這個模型更加趨向于生態(tài)平衡系統。</p><p>　　本文的模型只考慮了甲乙兩個物種，我們可以把它推廣到三個或三個以上的物種來建立模型。在此不繼續(xù)做討論。</p><p><b>　　【參考文獻】</b></

33、p><p>　　【1】姜啟源、謝金星、葉俊.《數學模型（第三版）》.北京:高等教育出版社.2003.8。</p><p>　　【2】王向東、戎海武、文翰.數學實驗.北京：高等教育出版社.2004.5。</p><p>　　【3】姜啟源、謝金星、葉俊.《數學模型（第三版）》習題解答.北京:高等教育出版社.2003.8。</p><p>　　【4】謝