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文檔簡介
1、<p> 關(guān)于聲波—電磁波的類比模型</p><p> Jose M. Carcione,F(xiàn)abio Cavallini</p><p> 1994.07.01收到;1994.11.02修改</p><p><b> 摘要</b></p><p> 我們通過研究波傳播的運動學(xué)特征及能量平衡,對電磁波和
2、聲波進(jìn)行了類比。研究表明,從理論上來看,TEM(橫向)模式的電磁波的傳播與在單斜晶系介質(zhì)的對稱面中的粘彈性SH波的傳播完全類似。與電磁方程式相對應(yīng)的粘彈性模型是三維的Maxwell基本定律。類比模型把質(zhì)點速度類比于磁場,把應(yīng)力類比于電場,柔度類比于介電常數(shù),黏度的倒數(shù)類比于電導(dǎo)率,密度類比于磁導(dǎo)率。所以,用相同的方法計算兩種波的相速、慢度、衰減量、品質(zhì)因子和能速是可行的。因為有物理色散和各向異性的耗散時,精確性是很重要的,所以在做數(shù)值實
3、驗時我們選用了時域譜技術(shù),從而證實了由于黏度和電導(dǎo)率的各向異性而產(chǎn)生的耗散效應(yīng)。針對各向異性的彈性介質(zhì),找到了一種解析方法,并運用對應(yīng)原則將其擴展到粘彈性介質(zhì)和電磁領(lǐng)域。最后,用數(shù)值方法解決了兩個對應(yīng)的問題,并用原本為解決粘彈性介質(zhì)中波的傳播問題而設(shè)計的計算機代碼解決了一個電磁問題。</p><p><b> 引言</b></p><p> 電磁波已經(jīng)被廣泛用于研
4、究地球電氣特性的探測技術(shù)。我們知道,傳導(dǎo)性嚴(yán)重依賴于巖石特性如孔隙幾何形狀、黏土含量和水的電導(dǎo)率等。特別是在煤礦開采中,電磁波可用于定位地質(zhì)擾動的區(qū)域,如沙道和斷層等。另一方面,聲波是地球物理學(xué)中對碳?xì)浠衔锟辈榈闹饕ぞ?。地震勘探法是以不均勻地質(zhì)層和界面對聲波的反射為基礎(chǔ)的。</p><p> 早在17世紀(jì),人們就知道光波和聲波具有相似性。Hooke認(rèn)為光是介質(zhì)中的質(zhì)點振動位移,它以無限的速度傳播。后來,在1
5、9世紀(jì),Maxwell和Lord Kelvin廣泛地運用物理和數(shù)學(xué)上的類比來研究聲學(xué)和電磁學(xué)中的現(xiàn)象。實際上,Maxwell正是通過與彈性位移的類比,才把位移電流的概念引入到電磁方程中。重新改造粘彈性動力學(xué)方程組,使其格式上與Maxwell方程組嚴(yán)格對應(yīng),這是有可能的。很多情況下,這種格式上的類比可以變成數(shù)學(xué)上的等價,例如兩個領(lǐng)域中的問題可以用相同的解析(或數(shù)值)方法解決。</p><p> 本論文闡釋了描述各
6、向異性介質(zhì)中TEM波傳播的二維Maxwell方程組與在Maxwell各向異性的粘彈性固體中傳播的SH波的波動方程組是完全相似的。Maxwell很有可能知道這種等價,他意識到了導(dǎo)電過程(絕緣體的靜電感應(yīng))和介質(zhì)黏性(彈性)的相似。事實上,Maxwell在他分別于1861年和1862年分兩期發(fā)表的論文《On physical lines of force》中,已經(jīng)完成了光的電磁理論工作,其中包括傳導(dǎo)電流和位移電流的概念。另一方面,他于186
7、7年提出了粘彈性模型。他似乎通過與描述電能在電纜中傳導(dǎo)和耗散過程的Thomson的電報方程組的對比,總結(jié)出了粘彈性流變學(xué)。</p><p> 可以將這種類比關(guān)系應(yīng)用于以下幾個方面。第一,可以簡單地修改現(xiàn)存的粘彈性動力學(xué)模型代碼,來模擬電磁波傳播;第二,根據(jù)對應(yīng)原則獲得的一組解決粘彈性SH波問題的方法,可用于測試電磁方面的代碼;再者,各向異性的粘彈性介質(zhì)中平面諧波的傳播理論也可用于各向異性的電磁波的傳播。尤其是,
8、各向異性效應(yīng)的引入與關(guān)于儲存有石油和天然氣的沉積結(jié)構(gòu)有關(guān)。確實,人們都知道,聲波在嵌入在各向異性的頁巖中的裂紋石灰?guī)r和薄層飽和砂巖層中傳播,其速度和衰減量的各向異性特征是很重要的。此外,電導(dǎo)率的值跨度很大(可能從,這可能意味著各向異性程度很高。在某些情況下,像在頁巖和砂巖的夾層間,縱向傳導(dǎo)率是橫向傳導(dǎo)率的9倍之多。從這個意義上講,電磁衰減效應(yīng)在碳?xì)浠衔锏闹甘旧戏浅V匾?lt;/p><p> 本論文的結(jié)構(gòu)如下:第
9、2、3節(jié)介紹了電磁波和聲波的方程組;第4節(jié)確立了類比模型,包括和電路的對應(yīng)關(guān)系;第5節(jié)分析了描述波的傳播過程的運動和能量方面的問題。最后,在第6節(jié),我們用數(shù)值方法求解了場方程組,并將結(jié)果與理論預(yù)測進(jìn)行了對比。另外,用關(guān)于各向異性的電磁波傳播的問題對數(shù)值模型的計算程序進(jìn)行了測試。</p><p> Maxwell方程組</p><p> Maxwell方程組用三維矢量符號表示如下:<
10、;/p><p><b> (1)</b></p><p><b> (2)</b></p><p> 其中,、、、分別是電場強度、磁感應(yīng)強度、磁場強度、電位移矢量,和分別是電流密度和磁流密度。</p><p> 一般而言,以上矢量是在笛卡爾坐標(biāo)系和時間變量之上設(shè)立的。假設(shè)已知和是由后文的方程(5
11、)明確給出的電場已知函數(shù),則方程(1)和(2)由6個標(biāo)量方程和12個未知標(biāo)量組成。另外六個標(biāo)量方程是本構(gòu)關(guān)系,在各向同性介質(zhì)中,可表示如下:</p><p><b> (3)</b></p><p><b> (4)</b></p><p> 其中和分別是介電常數(shù)和磁導(dǎo)率矩陣,圓點表示普通矩陣乘法。</p>
12、;<p> 此外,電流密度表示如下:</p><p><b> (5)</b></p><p> 其中,是電導(dǎo)率矩陣,是已知的源基準(zhǔn)值(在第四節(jié)中值為0)。</p><p> 將方程(3)、(4)、(5)代入到方程(1)、(2)中得:</p><p><b> (6)</b>
13、</p><p><b> (7)</b></p><p><b> 聲場方程組</b></p><p> 聲場的基本方程組可用質(zhì)點速度和應(yīng)力的一階時間導(dǎo)數(shù)來表示。根據(jù)Auld[8],柯西方程組可表示如下:</p><p><b> (8)</b></p>
14、<p><b> 其中,</b></p><p><b> (9)</b></p><p> 是應(yīng)力矢量,是質(zhì)點速度矢量,是密度,是體力矢量。而且,本文規(guī)定微分算子</p><p><b> (10)</b></p><p><b> 應(yīng)變可由位
15、移給出:</b></p><p><b> (11)</b></p><p><b> 其中,,,等等。</b></p><p> 應(yīng)變和質(zhì)點速度關(guān)系如下:</p><p><b> (12)</b></p><p> Auld(見
16、參考文獻(xiàn)[8,p.101])在建立聲波—電磁波類比模型時使用了三維Kelvin-Voigt模型:</p><p><b> (13)</b></p><p> 其中,和分別是(Kelvin-Voigt)彈性和黏性矩陣。</p><p> 將此關(guān)系與一維Kelvin-Voigt應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行對比,參考文獻(xiàn)[9,公式(10.43)]。用方
17、程(12)消去應(yīng)力的時間導(dǎo)數(shù),并定義如下矩陣:</p><p><b> 可得下面的方程:</b></p><p><b> (14)</b></p><p> Auld確立了方程(8)、(14)與(6) 、(7)的類比關(guān)系,其中,對應(yīng)于,對應(yīng)于。</p><p> 為獲得更好的對應(yīng)關(guān)系,我
18、們引入三維Maxwell本構(gòu)關(guān)系[10]來代替方程(13):</p><p><b> (15)</b></p><p> 其中,和分別是(Maxwell)彈性和黏性矩陣。</p><p> 將上面的關(guān)系和一維Maxwell應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系([9,方程(10.34)])作對比。用方程(12)消去應(yīng)變,可得類比于(7)的方程:</p&g
19、t;<p><b> (16)</b></p><p><b> 定義兼容矩陣:</b></p><p><b> (17)</b></p><p><b> 和矩陣:</b></p><p><b> (18)</
20、b></p><p><b> 方程(16)變?yōu)椋?lt;/b></p><p><b> (19)</b></p><p> 一般而言,這種類比并不意味著聲波方程和電磁波方程能解決相同的數(shù)學(xué)問題。事實上,是一個六維的矢量,是一個三維矢量。此外,聲波方程涉及到的是的矩陣(介質(zhì)特性),而電磁波方程涉及的是矩陣。然而,在
21、二維情況下,通過使用Maxwell模型能建立兩者之間的完全等價,這將在下一節(jié)中討論。</p><p> 聲波—電磁波的類比模型</p><p> 一般而言,現(xiàn)實存在的介質(zhì)的特性可由對稱的各向異性的介電常數(shù)張量和電導(dǎo)率張量描述。例如,假設(shè):</p><p><b> (20)</b></p><p><b>
22、; (21)</b></p><p> 張量(20)和(21)對應(yīng)于一種單斜晶體,它的對稱面垂直于y軸。通過坐標(biāo)變換,這些對稱矩陣總可以對角化。這種變換被稱為介質(zhì)的主系,并給出了這兩個張量矩陣的三個主元素。在各向同性的立方體介質(zhì)中,三個主元素相等。在四方和六方物質(zhì)中,這三個參數(shù)中的兩個是相等的。在斜方晶系、單斜晶系和三斜晶系介質(zhì)中,這三個參數(shù)均不相等。對大多數(shù)物質(zhì)來說,磁導(dǎo)率張量是各向同性的。在這
23、種情況下,我們設(shè)磁導(dǎo)率張量,其中,是磁導(dǎo)率,是的單位矩陣。</p><p> 現(xiàn)在,假設(shè)電磁波在(x,z)面?zhèn)鞑?,在y軸方向上物質(zhì)的特性保持不變。那么,分量、、和分量、、是不相關(guān)的。不考慮電源電流,前面的三個場分量遵循TEM波(橫向的電場和磁場)微分方程:</p><p><b> (22)</b></p><p><b> (
24、23)</b></p><p><b> (24)</b></p><p> 這些各向異性方程可推廣到Greenfield和Wu[1]使用的各向同性模型。一方面,在聲波傳播過程中,如果介質(zhì)在y軸方向的特性相同,則SH波有它自身的(不相關(guān)的)微分方程,在文獻(xiàn)中被稱為SH波動方程(參考文獻(xiàn)[11])。在單斜晶系介質(zhì)的鏡面對稱面中,這是完全正確的。在這種平面
25、上的傳播是純粹的反平面應(yīng)變運動,而且這是在所有傳播角度上有純SH波存在的最普遍的狀態(tài)。另一方面,純SH波在六方介質(zhì)中的傳播是一個衰減的過程。一組嵌入在橫向上各向同性的結(jié)構(gòu)中的平行斷裂可由單斜晶系介質(zhì)代替。當(dāng)這種介質(zhì)的鏡面對稱面是垂直的,純粹的反平面應(yīng)變波是SH波。此外,單斜晶系介質(zhì)還包括很多其他的對稱性更高的介質(zhì)。弱四方介質(zhì)、強三方介質(zhì)和斜方晶系介質(zhì)都包含于單斜晶系集。</p><p> 在一種單斜晶系介質(zhì)中,
26、彈性和黏性矩陣及它們的逆矩陣有以下形式[8]:</p><p><b> (25)</b></p><p> 衰減所具有的任何對稱性都遵循物質(zhì)的晶體形態(tài)對稱性。被稱為諾依曼原理的經(jīng)驗法則可證明這種論斷[12]。</p><p> 描述SH波運動的相關(guān)元素為:</p><p><b> (26)</
27、b></p><p> 然后,可由方程組(8)的第二行和(19)的第四、六行得出微分方程:</p><p><b> (27)</b></p><p><b> (28)</b></p><p><b> (29)</b></p><p>
28、<b> 其中,</b></p><p> ,,, (30)</p><p> ,,, (31)</p><p> 硬度和黏度(I,J=4,6)分別是矩陣和的(I,J)元素。</p><p> 通過下面的替換,可將方程(22)-(24)轉(zhuǎn)化為方程(27)-(29),反之亦然。</p>
29、<p><b> (32)</b></p><p><b> (35)</b></p><p><b> (34)</b></p><p><b> (35)</b></p><p><b> (36)</b>&l
30、t;/p><p> 其中,為簡單起見,和被重新定義為的矩陣。</p><p> 引入的硬度和黏性矩陣:</p><p> , (37)</p><p> 我們可得到二維等式和,這兩個等式分別與三維方程(17)和(18)相類似。因此,基于Maxwell流變學(xué)的各向異性SH波動方程在數(shù)學(xué)上等價于強迫項是磁流的各向異性
31、的Maxwell方程。</p><p> 為了對場方程有一個直觀的概念,并引入品質(zhì)因子的概念,我們進(jìn)行了下面的研究(可由圖1和圖2表示)。眾所周知,Maxwell流變模型的機械表示是一個彈簧和一個阻尼器的串聯(lián)。例如,圖1表示的模型可構(gòu)建出的方程(29),其中和分別是阻尼器和彈簧的應(yīng)變。事實上,和及表明方程(29)成立;確實,如果,那么、。</p><p> 圖1. 對應(yīng)于應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)
32、關(guān)系中xy分量的Maxwell粘彈性模型,</p><p> 其中,阻尼器和彈簧產(chǎn)生的應(yīng)變分別是和。</p><p> 圖2. 等價于圖1所示的粘彈性模型的電路圖,其中R和C分別是電阻和電容,</p><p> V是電壓,和是電流。其類比關(guān)系是電阻損耗的能量等價于阻尼器失去的</p><p> 能量,貯存在電容器中的能量等價于貯存在彈
33、簧中的勢能。另一方面,磁能等</p><p><b> 價于彈性動能。</b></p><p> 用圖表示電磁場方程并不容易。然而,如果我們用相應(yīng)的集總參數(shù)系統(tǒng)來代替分布參數(shù)系統(tǒng),那么這樣的解釋將會變得更直觀。確實,若我們考慮一下方程(23),并為簡單起見,假定,那么方程的等號右邊變?yōu)椋?lt;/p><p><b> 參考電路方程:
34、</b></p><p> 正如圖2所表示的,它對應(yīng)于一個電容器和一個電阻器的并聯(lián),其中和分別是電阻值和電容值,是電壓(也就是電場的積分),和是電流值(V/R對應(yīng)于)。圖1所示的串聯(lián)線路可能類比于圖2所示的并聯(lián)電路。這咋一看讓人很驚訝,但這是體現(xiàn)在場方程和對應(yīng)關(guān)系(32)-(36)的數(shù)學(xué)原理的結(jié)果。圖2所示的電路圖的一個重要參數(shù)是電容的損耗因數(shù)。該電路可被認(rèn)作電阻消耗了電容貯存的能量。在角頻率為的諧
35、波電壓的作用下,總電流并不和電壓正交,而是兩者的相角相差()。結(jié)果,損耗因數(shù)為:</p><p><b> (38)</b></p><p> 使上述式子的分子和分母分別都乘以電壓,可得出電阻的耗散功率和電容的無功功率之間的關(guān)系:</p><p><b> (39)</b></p><p>
36、 電路的品質(zhì)因子是損耗因數(shù)的倒數(shù)。用介電常數(shù)和電導(dǎo)率分別替換電容和電阻,可得到電磁場的品質(zhì)因子為:</p><p><b> (40)</b></p><p> 在下節(jié)結(jié)束,上述的品質(zhì)因子公式將會從聲波和電磁波的類比模型中得到。</p><p> 運動和能量問題的研究</p><p> 描述波運動的運動量有慢度、
37、相速度和衰減矢量。本節(jié)首先對聲波進(jìn)行了分析,然后通過等價關(guān)系(32)-(36)將分析結(jié)果應(yīng)用于電磁波。對于角頻率為的簡諧平面波,在不考慮體力的情況下,柯西方程(8)變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (41)</b></p><p> 另一方面,廣義的Maxwell應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系(15)有下面的形式:</p><p><b> (
38、42)</b></p><p> 其中,是復(fù)硬度矩陣,表示如下:</p><p><b> (43)</b></p><p> 上述方程的所有矩陣都是六維的。然而,由于只存在SH模式,通過(21)形式的矩陣,可以得到一個相似的方程。在這種情況下,應(yīng)力和應(yīng)變分別簡化為:</p><p> ,
39、 (44)</p><p><b> 其中是位移場。</b></p><p> 在均勻的粘彈性SH平面波中,位移有下面的形式:</p><p><b> ,</b></p><p> , (45)</p><p><b>
40、其中,是位置矢量,</b></p><p><b> (46)</b></p><p><b> 是復(fù)波矢量,</b></p><p><b> (47)</b></p><p> 通過方向余弦和定義了波的傳播方向。將應(yīng)力—應(yīng)變方程(42)代入到柯西方程(4
41、1),得到下列所示的色散關(guān)系:</p><p><b> (48)</b></p><p> 這個關(guān)系明確了復(fù)速度表示如下:</p><p><b> (49)</b></p><p> 結(jié)合復(fù)速度,實的慢度和衰減矢量表示如下:</p><p><b>
42、(50)</b></p><p><b> (51)</b></p><p> 然而,相速度是慢度的倒數(shù),下面給出了它的矢量形式:</p><p><b> (52)</b></p><p> 運算符和分別表示取實部和取虛部。能速(波前)被定義為平均能量密度除以平均能流密度。能流
43、是坡印廷矢量的實部,而平均能量是動能和勢能密度峰值之和的二分之一(參考[13])。附錄B對這些量進(jìn)行了計算。因此,能速表示為:</p><p><b> (53)</b></p><p> 其中,和分別是沿著x軸和z軸方向的單位矢量。附錄B給出了品質(zhì)因子如下:</p><p><b> (54)</b></p&
44、gt;<p> 根據(jù)聲波—電磁波的對應(yīng)關(guān)系(32)-(36),從方程(43)可以知道復(fù)硬度矩陣對應(yīng)于復(fù)介電常數(shù)矩陣的逆,即:</p><p><b> (55)</b></p><p> 然后,將此等價關(guān)系及密度與磁導(dǎo)率的對應(yīng)關(guān)系(36)應(yīng)用到方程(49),即可通過方程(50)、(51)、(52)、(53)、(54)計算出電磁波的慢度、衰減量、相速
45、、能速和品質(zhì)因子。</p><p> 在斜方晶系介質(zhì),格式為的所有元素都不存在。所以復(fù)硬度矩陣是對角化的,其元素為</p><p><b> (56)</b></p><p> 其中,在聲波的情況下,,且上式變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (57)</b></p><p
46、> 在電磁波的情況下,。在各向同性的介質(zhì)中,,則在聲波的情況下,復(fù)速度變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (58)</b></p><p> 在電磁波的情況下,復(fù)速度為:</p><p><b> (59)</b></p><p> 其中,是剛性模量,是黏度,是介電常數(shù),是電導(dǎo)率。&l
47、t;/p><p> 很明顯,動能和應(yīng)變能密度與磁能和電能密度有聯(lián)系。用電路元器件來做類比,動能、應(yīng)變能分別類比于貯存在電感、電容中的能量,耗散能量類比于電阻損失的能量。Maxwell使用過相似的類比,在質(zhì)點機械運動和電路之間也可以確立這種類比關(guān)系。</p><p> 在各向同性介質(zhì)中,聲波和電磁波的品質(zhì)因子分別為:</p><p><b> (60)&l
48、t;/b></p><p><b> (61)</b></p><p> 且這種情況很普遍,但是且卻對應(yīng)彈性極限的情況。需要注意的是,和都是波傳播過程的弛豫時間。</p><p><b> 波動方程和模擬</b></p><p> 方程(28)和(29)可寫作如下的緊湊形式:</
49、p><p><b> (62)</b></p><p> 上式也可使用二維表示法從方程(19)推出,其中。用乘以方程(62),可得:</p><p><b> (63)</b></p><p> 柯西方程(27)變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (64)<
50、;/b></p><p> 方程(63)和(64)可以推出速度—應(yīng)力公式,從而求解出由(32)定義的未知矢量。波動方程有如下形式:</p><p><b> (65)</b></p><p> 其中,是一個空間微分算子矩陣。為了在時域內(nèi)求解,用到最多的是一種顯式或隱式的有限差法。這種技術(shù)基于進(jìn)化算子的一種泰勒展開。在這里,可用參考文
51、獻(xiàn)[15]介紹的一種譜時間集成技術(shù)來解方程(65),其形式解為:</p><p><b> (66)</b></p><p> 其中,初始條件假設(shè)為0,被稱作系統(tǒng)的演化算符。相應(yīng)的數(shù)值運算是基于在算子的特征值的復(fù)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)在一組最優(yōu)插值點上的的一種多項式內(nèi)插法。這些最優(yōu)插值點應(yīng)該都位于由復(fù)頻率平面的虛軸和負(fù)實半軸形成的T型域上。這樣,內(nèi)插多項式近乎是最優(yōu)的。在
52、各向同性的情況下,算子的特征值(是復(fù)數(shù))滿足下列特征方程:</p><p><b> (67)</b></p><p> 其中,是真實的波數(shù)。(67)的解中有一個為靜態(tài)模式的解,為,另外兩個為傳播模式的解,位于虛軸附近。需要注意的是,是系統(tǒng)的弛豫時間,等于高頻相速度的平方。在各向異性情況下,算子的特征值同樣位于T型域上。</p><p>
53、 為了平衡時間積分和空間精度,使用了傅里葉偽譜法計算空間導(dǎo)數(shù),當(dāng)然也可以用有限差分或有限元來計算。</p><p> 表1 介質(zhì)的物質(zhì)屬性</p><p> 圖3 頻率為600kHz的電磁平面波的慢度(a),</p><p> 衰減量(b),能速(c)和品質(zhì)因子(d)的極坐標(biāo)圖</p><p> 表1給出了介質(zhì)的物質(zhì)屬性,其中,和分別
54、是自由空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。圖3分別展示了頻率為600kHz的均勻電磁平面波的慢度(a),衰減量(b),能速(c)和品質(zhì)因子(d)。曲線的方向和形狀依賴于介電張量和電導(dǎo)率張量。從圖中可以看出,衰減量的各向異性程度非常高,在與水平軸夾角為的方向上衰減量最大。類似地,慢度也有各向異性的特征,而能速表明了波前的形狀。</p><p> 矩形數(shù)值網(wǎng)格的每邊都有個網(wǎng)格點,在電磁波模擬中統(tǒng)一的網(wǎng)格間距為,而在聲波模擬中網(wǎng)
55、格間距為。場源初始化為一個線源,垂直于(x,z)平面。電磁波的源中心頻率為300kHz,聲波的源中心頻率為50Hz。截止頻率都為各自中心頻率的兩倍。</p><p> 圖4對位于接收機處的磁場的數(shù)值解和解析解進(jìn)行了比較,其中接收機相對于場源的位置(x,z)在圖上已標(biāo)出。場源與接收機之間的距離為600米。正如所料,盡管相速度在低頻的情況下無規(guī)律,但是兩種解幾乎完全一致。</p><p>
56、 圖4 電磁波的數(shù)值解和解析解之間的比較。源中心</p><p> 頻率為300kHz,場源和接收機之間的距離為600米</p><p> 圖5 彈性(a)聲波和粘彈性(b)聲波的速度在0.44s時的瞬態(tài)圖。</p><p> 彈性波前比粘彈性波前稍寬,這是因為在Maxwell物質(zhì)中,</p><p> 頻率為零時相速度消失,頻率無限
57、大時相速度接近彈性速度。</p><p> 圖6 在13.5時,電磁波場在純絕緣介質(zhì)(a)和導(dǎo)電介質(zhì)(b)中的</p><p> 瞬態(tài)圖。其各向異性耗散特征與圖3b所描述的衰減曲線一致。</p><p> 圖5展示了質(zhì)點速度在時間0.44s時的瞬態(tài)圖,其中(a)對應(yīng)彈性極限下的情況(),(b)對應(yīng)粘彈性的情況。最后,圖6展示了磁分量在時間1.35時的瞬態(tài)圖,其
58、中(a)對應(yīng)彈性極限下的情況(),(b)對應(yīng)在耗散下的情況。圖5和圖6展示的結(jié)果是用相同的計算機代碼和不同的輸入數(shù)據(jù)得到的??梢钥闯?,有損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖比無損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖呈現(xiàn)出各向異性程度更高的耗散特性。有損耗的電磁瞬態(tài)圖展示的特性分別與圖3b、圖3c展示的衰減量、能速相一致。</p><p> 這種數(shù)值模型也可以有效地用于模擬非均勻介質(zhì)中的電磁波[16]。</p><p><b
59、> 總結(jié)</b></p><p> 我們已經(jīng)列出了一種可逆的對應(yīng)關(guān)系,它通過轉(zhuǎn)換物理量,將SH(水平剪切)粘彈性方程變換為TEM(橫向電磁)方程。所做的基本假設(shè)是介質(zhì)單斜對稱,并為簡單起見,假設(shè)電源電流為零。類比模型構(gòu)造了一個數(shù)學(xué)等價關(guān)系,它允許使用相同的分析方法解決聲波和電磁波問題。所以,對粘彈性平面波的分析能應(yīng)用于電磁情況。類似地,在粘彈性問題中獲得的瞬時解對應(yīng)于電磁解。從根本上說,這些
60、等價就是硬度和介電常數(shù)之間的對等,它們都是復(fù)的、頻率相關(guān)的矩陣。這種類比模型最有效的應(yīng)用是用相同的計算機代碼解決在一般的非均勻介質(zhì)中聲波和電磁波的傳播問題。未來研究的一個具有挑戰(zhàn)性的問題是將這些結(jié)果從二維推廣到三維,并且/或者去掉物質(zhì)對稱性這樣的假設(shè)。附錄A 在無界均勻介質(zhì)中的解析解</p><p> 滯彈性問題的解析解可以通過對等原則得到(參考文獻(xiàn)[9])。這需要知道在頻域內(nèi)彈性解的明確表述。然后,彈性可由
61、對應(yīng)的復(fù)硬度替代,粘彈性解可通過傅里葉逆變換獲得。</p><p> 考慮(62)中的彈性情況,即,并使用(64)消去應(yīng)力張量,得到下面的式子:</p><p><b> (A.1)</b></p><p> 其中,變量上面的點表示時域內(nèi)的微分。因為在這里我們考慮的是均勻介質(zhì),所以方程(A.1)變?yōu)椋?lt;/p><p&g
62、t;<b> (A.2)</b></p><p> 下面我們要說明的是,通過坐標(biāo)變換,將(A.2)左邊的空間微分算子轉(zhuǎn)化為一個純拉普拉斯微分算子,這是有可能的。如果是那樣的話,方程(A.2)變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (A.3)</b></p><p> 考慮格林函數(shù)的解(也就是,方程(A.3)的等號左邊式子
63、在原點處是一個時間和空間上的局部狄拉克函數(shù)),并將波動方程轉(zhuǎn)化到頻率域,得到如下方程:</p><p><b> (A.4)</b></p><p> 其中,是格林函數(shù)的傅里葉變換式。為了方便,引入了常量。(A.4)的解(參考[17])如下:</p><p><b> (A.5)</b></p><
64、;p> 其中,是第二類漢克爾函數(shù),并且</p><p><b> (A.6)</b></p><p> 我們必須根據(jù)原始位置矢量來計算方程(A.5)的右邊式子。將矩陣對角化為,其中是特征矩陣,(A.1)中的拉普拉斯算子變?yōu)椋?lt;/p><p><b> (A.7)</b></p><p>
65、;<b> 其中,,且</b></p><p><b> (A.8)</b></p><p> 上面使用的是對角化的,且,我們可以得到:</p><p><b> (A.9)</b></p><p> 將(A.9)代入到方程(A.6),可得:</p>&
66、lt;p><b> (A.10)</b></p><p> 但是,因為,所以我們最后得到:</p><p><b> (A.11)</b></p><p> 其中,是方程(31)所給的矩陣的行列式。</p><p> 將對應(yīng)原理應(yīng)用到彈性格林函數(shù)</p><p&g
67、t;<b> (A.12)</b></p><p><b> 得到粘彈性格林函數(shù)</b></p><p><b> (A.13)</b></p><p> 其中,由等式(43)給出。需要注意的是,在電磁波問題中,通過對等關(guān)系(32)-(36)和方程(55),可得到其解為:</p>
68、<p><b> (A.14)</b></p><p> 當(dāng)用數(shù)值技術(shù)解決波的傳播問題時,需要用一個帶限小波的傅里葉變換式乘以格林函數(shù)。在這種情況下,方程(A.2)中源項的變換是。所以,粘彈性解是</p><p><b> (A.15)</b></p><p><b> 電磁解是:</b
69、></p><p><b> (A.16)</b></p><p> 為了確保得到一個時域上的實數(shù)解,對于,我們采用下面的式子:</p><p><b> (A.17)</b></p><p> 其中,橫杠表示復(fù)共軛。最后,通過基于快速傅里葉變換的一個逆變換可得到時域解。</p&
70、gt;<p> 附錄B 在單斜晶系粘彈性介質(zhì)中,SH波的坡印廷矢量、能量密度和品質(zhì)因子</p><p> 通過方程(45),可得到非零的應(yīng)變分量為</p><p><b> (B.1)</b></p><p> 因此,非零應(yīng)力分量為</p><p><b> (B.2)</b&g
71、t;</p><p><b> 和</b></p><p><b> (B.3)</b></p><p> 坡印廷矢量為[13]:</p><p><b> (B.4)</b></p><p><b> 其中,</b>&l
72、t;/p><p><b> (B.5)</b></p><p> 所以,在單斜晶系的情況下,</p><p><b> (B.6)</b></p><p> 峰值能量密度是[18]:</p><p><b> (B.7)</b></p>
73、<p><b> 峰值勢能密度是:</b></p><p><b> (B.8)</b></p><p> 平均耗散能量密度是:</p><p><b> (B.9)</b></p><p> 最后,使用最后兩個方程,我們可以得到品質(zhì)因子為:</p
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