【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)】論文——生產(chǎn)與存儲(chǔ)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型

1、<p>　　生產(chǎn)與存儲(chǔ)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型</p><p>　　[摘要]：本文討論了關(guān)于生產(chǎn)與存儲(chǔ)的問(wèn)題，這是一個(gè)多階段決策的生產(chǎn)問(wèn)題，就此可建立一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型．利用運(yùn)籌學(xué)和計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)軟件等相關(guān)知識(shí)，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決了這一問(wèn)題，達(dá)到生產(chǎn)、需求與庫(kù)存之間的平衡，以及在資源限制條件下的最優(yōu)化的生產(chǎn)方案．并建立混合整數(shù)規(guī)劃模型用LINDON數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行檢驗(yàn).</p><p>　

2、　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；動(dòng)態(tài)規(guī)劃；狀態(tài)變量；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)</p><p><b>　　1 問(wèn)題的提出</b></p><p>　　設(shè)某工廠調(diào)查研究了解市場(chǎng)情況，估計(jì)在今后四個(gè)時(shí)期市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品的需求量，如表所示：</p><p>　　假定不論在任何時(shí)期，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本費(fèi)為3（千元），若不生產(chǎn)，則為0，每單位生產(chǎn)成本費(fèi)為1（千元）.同時(shí)任何一個(gè)

3、時(shí)期生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量不超過(guò)6個(gè)單位.又設(shè)每時(shí)期的每個(gè)單位產(chǎn)品庫(kù)存費(fèi)為0.5（千元），同時(shí)規(guī)定在第一期期初及第四期期末均無(wú)產(chǎn)品庫(kù)存.試問(wèn)：該工廠如何安排各個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)與庫(kù)存，使所花的總成本費(fèi)用最低？</p><p>　　2 符號(hào)說(shuō)明與問(wèn)題重述</p><p>　　生產(chǎn)過(guò)程劃分為四個(gè)階段，階段變量 即：</p><p>　　狀態(tài)變量 表示第k階段末的庫(kù)存

4、量，由已知得 </p><p>　　決策變量 表示第k階段的生產(chǎn)量， 表示第 k 階段的需求量.</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： ， </p><p>　　階段指標(biāo)函數(shù) 表示第 k階段的總成本，它由兩部分構(gòu)成，一部分是第 k階段的生產(chǎn)成本 ，另一部分是第 k 階段的存貯費(fèi) .最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)</p><p>　　已知時(shí)段k某產(chǎn)品的需

5、求量為 (k=1,2,……K)，任一時(shí)段若生產(chǎn)該產(chǎn)品，需付出生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) ，且生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為 n，若滿足本時(shí)段需求后有剩余，每時(shí)段每單位產(chǎn)品需付出存貯費(fèi).設(shè)每時(shí)段最大生產(chǎn)能力為 ，最大存貯量為，且第1時(shí)段初有庫(kù)存量 ，試制訂產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即每時(shí)段的產(chǎn)量，使 K個(gè)時(shí)段的總費(fèi)用最小.</p><p>　　為了通過(guò)具體的計(jì)算說(shuō)明解決這問(wèn)題的方法，現(xiàn)設(shè)，千元，n=1千元/單位，千元/單位.時(shí)期.，單位，

6、沒(méi)有給出，視為存貯量不受限制.</p><p><b>　　3 模型的建立</b></p><p>　　3.1 建立模型Ⅰ</p><p>　　在提出生產(chǎn)與存貯問(wèn)題時(shí)，忽略生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用，首先考慮到生產(chǎn)、需求與庫(kù)存之間存在著的平衡關(guān)系，這是一個(gè)一般的線性規(guī)劃問(wèn)題，可假設(shè)生產(chǎn)量為，，，，由于存貯費(fèi)用取決于庫(kù)存量，則記第一、二、三時(shí)期末的庫(kù)存量為

7、，，，由此可以用生產(chǎn)成本與存貯費(fèi)之和（記作Z）作為問(wèn)題為目標(biāo)函數(shù)，在已知的第一期期初及第四期期末均無(wú)產(chǎn)品庫(kù)存，得到一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)模型：</p><p>　　此模型可用單純形法求解，或用數(shù)學(xué)軟件Maple求解,也可將上模型輸入LINDON求解，就可得到最優(yōu)解（略）.注意：這是在忽略生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用時(shí)的最優(yōu)解.</p><p>　　3.2 建立模型Ⅱ</p><p>　

8、　以上用混合整數(shù)規(guī)劃求解過(guò)多階段生產(chǎn)計(jì)劃，實(shí)際上，這是一類典型的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，與用變分法建立連續(xù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型不同的是，多階段生產(chǎn)計(jì)劃屬于離散動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型是解決這類問(wèn)題的有效方法.本文先討論確定需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃，并將它轉(zhuǎn)化為典型的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型——最短路問(wèn)題，然后研究隨機(jī)需求下如何求解最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃.由上述數(shù)據(jù)、假設(shè)，可建立一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型.</p><p><b>　　由題可知：&

9、lt;/b></p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　基本方程為： </b></p><p><b>　　4 模型Ⅱ的求解</b></p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃的尋優(yōu)方向一般有用逆序算法（反向遞歸）或順序算法（正向遞歸）進(jìn)行求解.當(dāng)問(wèn)題的

10、第一階段初和第三階段末的狀態(tài)方程均已知時(shí)，即，可采用兩種方法求解.下面用順序算法求解：</p><p>　　為了簡(jiǎn)化這個(gè)多階段生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題，可以將它從前向后地分解為一個(gè)個(gè)單時(shí)段問(wèn)題.</p><p>　　（1）首先看第一個(gè)時(shí)期，為使4個(gè)時(shí)期的總費(fèi)用最小，對(duì)于第一時(shí)期期初的存貯量，則可由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：，考慮到，在最大生產(chǎn)能力為 與第一時(shí)期的需求量出發(fā)，則可能存在的的5種情況：</p&g

11、t;<p><b>　　當(dāng)時(shí)，有</b></p><p><b>　　這時(shí)狀態(tài)集合為：</b></p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計(jì)算：</p><p><b>　　， 所以 </b></p><p><b>　　， 所以</b>&

12、lt;/p><p><b>　　， 所以，</b></p><p>　　同理可得： ，所以，</p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，由 </b></p><p><b>　　其中由：，</b

13、></p><p>　　而狀態(tài)集合是： </p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計(jì)算：</p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　所以，同理可得：</b></p><p><b>　　，所以</b></

14、p><p><b>　　，所以</b></p><p>　　注意：在計(jì)算和時(shí)，需要用到和，由于每個(gè)時(shí)期的最大生產(chǎn)批量為6單位，故和沒(méi)有意義的，就取，其余類推.</p><p><b>　　（3）當(dāng)時(shí)，由：</b></p><p><b>　　,</b></p><

15、;p>　　其中，而狀態(tài)集合為：</p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計(jì)算：</p><p><b>　　，所以；</b></p><p><b>　　，所以或3；</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>

16、;　　，所以</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p>　?。?）當(dāng)時(shí)，因?yàn)橐蟮?時(shí)期期末的庫(kù)存量為0，即為，故有：</p><p><b>　　所以有.</b></p><p>　　再回代求最優(yōu)策略：由，得：</p><p><

17、b>　　，所以有，</b></p><p><b>　　，所以有，</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>　　故最優(yōu)生產(chǎn)策略為：</b></p><p><b>　　，，，</b></p>

18、<p>　　而相應(yīng)的全個(gè)生產(chǎn)過(guò)程中的4個(gè)時(shí)期的最小總成本是：20.5千元.</p><p><b>　　5 模型的檢驗(yàn)</b></p><p>　　這時(shí)我們可以建立一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃模型來(lái)檢驗(yàn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的結(jié)果正確性：</p><p>　　建立模型Ⅲ：與模型Ⅰ比較，除了考慮隨產(chǎn)品數(shù)量變化的費(fèi)用（生產(chǎn)成本和存貯費(fèi)用）外，還要考慮與生

19、產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān)的費(fèi)用，即生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用，只要某個(gè)時(shí)期開(kāi)工生產(chǎn)時(shí)就需要有的這項(xiàng)費(fèi)用，引入了變量，當(dāng)時(shí)表示不生產(chǎn)，當(dāng)生產(chǎn).</p><p><b>　　（）</b></p><p>　　這一模型也可將數(shù)據(jù)輸入LINDON求解（代碼附后），就可得到：</p><p>　　最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為：20.5</p><p><b>　

20、　各變量值為：</b></p><p>　　w1=1 w2=0 w3=1 w4=0 x1=5 x2=0 x3=6 x4=0</p><p>　　s1=3 s2=0 s3=4</p><p>　　由此可驗(yàn)證動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的正確性.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b><

21、;/p><p>　　[1]葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽輔導(dǎo)教材.長(zhǎng)沙：湖北教育出版社.1993</p><p>　　[2]劉來(lái)福、曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.北京：北京師范大學(xué)出版社.1997</p><p>　　[3]姜啟源等編.數(shù)學(xué)模型（第三版）.北京：高等教育出版社.2003</p><p>　　[4]胡知能.徐玖平編著.運(yùn)籌學(xué)線性系統(tǒng)優(yōu)化.

22、北京：科學(xué)出版社.2003</p><p>　　[5]盧開(kāi)澄.編著.單目標(biāo)、多目標(biāo)與整數(shù)規(guī)劃.北京：清華大學(xué)出版社.1999</p><p>　　[6]黃桐城、鮑祥霖編.數(shù)學(xué)規(guī)劃與對(duì)策論.上海：上海交通大學(xué)出版社.2002</p><p>　　[7]劉滿鳳、傅波、聶高輝編.運(yùn)籌學(xué)模型與方法教程例題分析與題解.北京：清華大學(xué)出版社.2000</p>&l

23、t;p>　　[8]魏權(quán)齡、王日爽、徐兵等編.數(shù)學(xué)規(guī)劃與優(yōu)化設(shè)計(jì).北京：國(guó)防工業(yè)出版社.1984</p><p>　　[9]張有為編.動(dòng)態(tài)規(guī)劃.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社.1991</p><p>　　[10]羅伯特.E.拉森、約翰.L.卡斯梯編（陳偉基等譯）.動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理.北京：清華大學(xué)出版社.1984</p><p>　　Produce with saving

24、 of development programming model</p><p>　　00Grade,Department of Mathematics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong ,China</p><p>　　Abstract： This text discussed concerning produce with t

25、he saving problem, this is mathematics model that a many production problems that the stage make policy, can establish now a development programming. make use of the strategy learn with the related knowledge in etc. in s

26、oftware in mathematics of the calculator, applying the development programming method resolved this problem, attaining the production, need and equilibrium of the stock, and limit the superior the production project that

27、 turn</p><p>　　Key words：Mathematics model; The development programs； the appearance changes the deal；superior index sign function</p><p>　　用LINDON計(jì)算混合整數(shù)規(guī)劃模型Ⅲ，代碼：</p><p>　　min 3w1+3

28、w2+3w3+3w4+x1+x2+x3+x4+0.5s1+0.5s2+0.5s3</p><p><b>　　s.t. </b></p><p><b>　　x1-s1=2</b></p><p>　　x2+s1-s2=3</p><p>　　x3+s2-s3=2</p><

29、p><b>　　x4+s3=4</b></p><p><b>　　x1-6w1<=0</b></p><p><b>　　x2-6w2<=0</b></p><p><b>　　x3-6w3<=0</b></p><p><

30、b>　　x4-6w4<=0</b></p><p><b>　　x1>=0</b></p><p><b>　　x2>=0</b></p><p><b>　　x3>=0</b></p><p><b>　　x4>=0&