有關(guān)中值命題中輔助函數(shù)構(gòu)造的一般方法研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　有關(guān)中值命題中輔助函數(shù)構(gòu)造的一般方法研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)

2、與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：《數(shù)學(xué)分析》的微積分證明中，證明某個(gè)問題的結(jié)

3、論時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到通過已有的條件無法直接推導(dǎo)證明出結(jié)論，而這時(shí)可以嘗試運(yùn)用輔助函數(shù)構(gòu)造法，根據(jù)命題中的條件，將結(jié)論變換，從而構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù)，再運(yùn)用有關(guān)的定理結(jié)論推導(dǎo)出命題的結(jié)論，這往往對(duì)命題的證明能起到事半功倍的結(jié)果。輔助函數(shù)構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，其構(gòu)造方法思路也是多種多樣的，本文通過輔助函數(shù)構(gòu)造法在一些經(jīng)典例題的運(yùn)用，嘗試找出如何構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法，并通過這些方法在一些具體實(shí)例中的運(yùn)用歸納出針對(duì)有關(guān)中值定理中輔助函數(shù)構(gòu)造的

4、一些思路。</p><p>　　關(guān)鍵詞：中值定理；輔助函數(shù)</p><p>　　For the Auxiliary Functions Mean Value Theorem of the General Method</p><p>　　Abstract: In the process of proving some conclusions about calcul

5、us in "Mathematical Analysis", we usually encountered the problems that the conclusions we want to prove can not get from the existing conditions directly. At this time, we can try to convert the conclusions ac

6、cording to the conditions in the proposition, and then construct an auxiliary function together with some related theorems to derive it. This is usually helpful to prove a proposition. The method of auxiliary function co

7、nstru</p><p>　　Key words: mean value theorem the auxiliary function</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引 言1</b></p><p>　　1.1 預(yù)備知識(shí)2</p&g

8、t;<p>　　1.2 輔助函數(shù)—橋梁2</p><p>　　1.3 構(gòu)造輔助函數(shù)的思維過程2</p><p>　　2 輔助函數(shù)在微積分學(xué)中的應(yīng)用分析3</p><p>　　2.1 輔助函數(shù)在羅爾(Rolle)定理中的應(yīng)用3</p><p>　　2.2 輔助函數(shù)在拉格朗日(Lagrange)中值定理中的應(yīng)用3&l

9、t;/p><p>　　2.3 輔助函數(shù)在柯西 (Cauchy)中值定理中的應(yīng)用4</p><p>　　3 構(gòu)造輔助函數(shù)法結(jié)合微分中值命題證明分析5</p><p>　　3.1 原函數(shù)法5</p><p>　　3.2 常數(shù)值法6</p><p>　　3.3 積分構(gòu)造法7</p><p&

10、gt;　　3.4 待定系數(shù)法9</p><p>　　3.5 觀察聯(lián)想法10</p><p>　　3.6 幾何直觀法12</p><p>　　3.7 行列式法14</p><p>　　3.8 一般構(gòu)造法15</p><p>　　4 輔助函數(shù)在微積分學(xué)里的應(yīng)用舉例16</p><

11、p><b>　　5 結(jié) 語20</b></p><p><b>　　致 謝21</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1 引 言</b></p><p>　　微積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析中的核心內(nèi)容，其

12、命題十分的抽象復(fù)雜。因此，在微積分中常見命題的解決時(shí)，通常會(huì)遇到這樣的問題：對(duì)于與命題相關(guān)的定理與知識(shí)所熟悉，但不知如何通過題設(shè)，運(yùn)用定理來解題。這時(shí)，單憑對(duì)定理的一般運(yùn)用是無法解決問題的，而是需要構(gòu)造出一個(gè)既能運(yùn)用題設(shè)條件又能應(yīng)用相關(guān)定理得輔助函數(shù)，將抽象的關(guān)系通過具體的函數(shù)表達(dá)出來，轉(zhuǎn)化為比較直觀的，易于解決的問題。</p><p>　　輔助函數(shù)構(gòu)造法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中廣泛地被采用著，它們所起的作用是橋梁式的作用，

13、甚至有些是起著無法替代的作用。通過查閱現(xiàn)有的大量資料發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在國內(nèi)外對(duì)微積分學(xué)中輔助函數(shù)構(gòu)造法的研究比較多，其中有一部分研究的是輔助函數(shù)構(gòu)造法的思路，但大部分研究的是輔助函數(shù)的構(gòu)造在微積分學(xué)解題中的應(yīng)用。在本文，將在微分中值命題的證明這個(gè)領(lǐng)域中分別討論構(gòu)造函數(shù)法的運(yùn)用，將會(huì)解決構(gòu)造函數(shù)法在這個(gè)領(lǐng)域中運(yùn)用的一些思路和如何構(gòu)造輔助函數(shù)的方法。</p><p>　　通過構(gòu)造輔助函數(shù)，可以解決數(shù)學(xué)分析中眾多難題，尤其是在

14、微積分學(xué)證明題中應(yīng)用頗廣，且可達(dá)到事半功倍的效果。</p><p><b>　　1.1 預(yù)備知識(shí)</b></p><p>　　定理1（羅爾定理）若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；</p><p><b>　　(3)

15、，</b></p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。</p><p>　　定理2（拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。</p><p>　　

16、定理3（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)和滿足：</p><p><b>　　(1)在上都連續(xù)；</b></p><p><b>　　(2)在上都可導(dǎo)；</b></p><p>　　(3)和不同時(shí)為零；</p><p><b>　　(4)，</b></p><p>

17、<b>　　則存在，使得。</b></p><p>　　定理4（積分第一中值定理）設(shè)在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　1.2輔助函數(shù)—橋梁</p><p>　　數(shù)學(xué)問題的解決過程是實(shí)現(xiàn)結(jié)論向條件、未知向已知的轉(zhuǎn)化過程。在這個(gè)轉(zhuǎn)化過程中，不可避

18、免地經(jīng)常會(huì)遇到這樣或那樣的障礙。數(shù)學(xué)教育家G.波利亞指出：“人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個(gè)不能直接克服的障礙時(shí)，他就會(huì)繞過去，當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時(shí)，就想出一個(gè)合適的輔助問題”。</p><p>　　例如，證明格林公式時(shí)，我們先是討論特殊的區(qū)域（既是—型又是—型的區(qū)域）；然后，對(duì)于任意單連通區(qū)域分成幾個(gè)特殊區(qū)域，用這種辦法解決了問題。在這里，輔助曲線是使問題轉(zhuǎn)化的橋梁，在這座“橋梁”上曲線積分往返了一次，

19、正好抵消了。進(jìn)而又可利用輔助曲線將復(fù)連通區(qū)域變成單連通區(qū)域，將格林公式進(jìn)一步推廣到復(fù)連通區(qū)域。又如，證明一個(gè)較難的定理時(shí)，往往要引入幾個(gè)引理。其實(shí)，引理的希臘原意是“假設(shè)的什么”。在假設(shè)引理成立（它的證明可推遲）的條件下去證明引理，引理就是為證明定理而采用的輔助定理。</p><p>　　構(gòu)造輔助問題并非是為了本身，而是要通過輔助問題幫助我們解決問題。那個(gè)原來的問題才是我們要達(dá)到的目的，而輔助問題只是我們?cè)噲D達(dá)到

20、目的的手段，是解決問題的橋梁。</p><p>　　1.3 構(gòu)造輔助函數(shù)的思維過程</p><p>　　輔助函數(shù)是數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造的輔助手段的一種。它是依據(jù)數(shù)學(xué)問題所提供的信息而構(gòu)成的函數(shù)，再利用這個(gè)函數(shù)的特性進(jìn)行求解。構(gòu)造輔助函數(shù)，無非是將原來的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為容易解決的輔助函數(shù)問題，其解題過程是:數(shù)學(xué)問題輔助函數(shù)解決解決。</p><p>　　全面把握數(shù)學(xué)問題所提供

21、的信息，即問題本身的特點(diǎn)、背景、需要以及和其它問題之間的關(guān)系。運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)過認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出輔助函數(shù)是解題的關(guān)鍵。這個(gè)構(gòu)造過程是一個(gè)從特殊到一般的過程。運(yùn)用輔助函數(shù)返回去解決原數(shù)學(xué)問題又是一個(gè)從一般到特殊的過程。利用輔助函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題也表明，不少數(shù)學(xué)問題從一般化入手更容易得到解決?！耙话恪北取疤厥狻备鼮樯羁痰胤从持挛锏谋举|(zhì)，啟發(fā)我們從普遍的聯(lián)系中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解決問題的途徑。在解決條件極值時(shí)，我們用到Lagra

22、nge乘數(shù)法，其中的Lagrange函數(shù)也是輔助函數(shù)。這種函數(shù)的結(jié)構(gòu)模式固定：=目標(biāo)函數(shù)+（約束條件），而其它的問題中所構(gòu)造的輔助函數(shù)千變?nèi)f化，是一種創(chuàng)造性思維過程。</p><p>　　2 輔助函數(shù)在微積分學(xué)中的應(yīng)用分析</p><p>　　羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，積分中值定理是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，這些定理貫穿了微積分學(xué)的始終，利用它們證明有關(guān)命題，往往需要構(gòu)造輔助

23、函數(shù)，便可以把微積分學(xué)中較難的問題轉(zhuǎn)化為易解決的問題，下面將舉例說明輔助函數(shù)在解決微積分學(xué)問題中的應(yīng)用。</p><p>　　2.1 輔助函數(shù)在羅爾(Rolle)定理中的應(yīng)用</p><p>　　微分中值定理中的羅爾定理是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，因此它的應(yīng)用非常廣泛，而構(gòu)造輔助函數(shù)是解決羅爾定理問題的最主要的方法。若輔助函數(shù)構(gòu)造的合理巧妙，滿足定理的三個(gè)條件，則問題很快就能迎刃而解。&l

24、t;/p><p>　　注：羅爾定理一般是作為拉格朗日中值定理和柯西中值定理證明的預(yù)備定理，故若對(duì)其加強(qiáng)仔細(xì)分析、證明，也可以加以對(duì)拉格朗日中值定理的理解和應(yīng)用。</p><p>　　羅爾定理：若函數(shù)滿足如下條件： </p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；</p><p>&l

25、t;b>　　(3)， </b></p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。</p><p>　　推廣的羅爾定理：設(shè)函數(shù)滿足條件：</p><p>　　(1)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可微；</p><p><b>　　(2)，</b></p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。<

26、/p><p>　　證明：不妨設(shè)，作輔助函數(shù),</p><p>　　，，所以由的構(gòu)造可知，在上連續(xù)，從而滿足羅爾定理的條件，即：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；</p><p><b>　　(3)，</b></p><p>

27、　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，證畢。</p><p>　　2.2 輔助函數(shù)在拉格朗日(Lagrange)中值定理中的應(yīng)用</p><p>　　拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。&

28、lt;/p><p>　　證明：利用常數(shù)值法構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則,</p><p>　　作輔助函數(shù)，則顯然有。</p><p>　　又因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　所以顯然有滿足羅爾定理的條件：</p><p>　　(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；</p><p>　　(2)在開區(qū)間

29、內(nèi)可導(dǎo)；</p><p><b>　　(3)；</b></p><p>　　所以在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即。</p><p><b>　　從而，定理得證。</b></p><p>　　注：對(duì)于拉格朗日中值定理與羅爾定理僅相差在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等（即）這一條件。因此，證明拉格朗日中值定理的關(guān)鍵是，構(gòu)

30、造一個(gè)合適羅爾定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)，對(duì)應(yīng)用羅爾定理，即可得到拉格朗日中值定理的結(jié)論。</p><p>　　2.3輔助函數(shù)在柯西 (Cauchy)中值定理中的應(yīng)用</p><p>　　柯西中值定理：設(shè)函數(shù)和滿足：</p><p><b>　　(1)在上都連續(xù)；</b></p><p><b>　　(2)在上都可導(dǎo)；

31、</b></p><p>　　(3)和不同時(shí)為零；</p><p><b>　　(4)，</b></p><p><b>　　則存在，使得</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　證明：作輔助函數(shù)

32、</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　易見在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　因?yàn)椋ǚ駝t由上式也為零），所以有。</p><p>　　注：若令,，這個(gè)形式可理解為參數(shù)方程

33、，而則是連接參數(shù)曲線的端點(diǎn)斜率，表示曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，在定理的條件下，可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦，這一點(diǎn)Lagrange也具有，但是Cauchy中值定理除了適用表示的曲線，還適用于參數(shù)方程表示的曲線。 　　</p><p>　　當(dāng)柯西中值定理中的時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。</p><p>　　3 構(gòu)造輔助函數(shù)法結(jié)合微分中值

34、命題證明分析</p><p>　　在眾多等式命題的證明中，結(jié)合微分中值定理的命題證明占據(jù)著一個(gè)非常重要的地位，其證明的方法也是多種多樣的，我們通過輔助函數(shù)構(gòu)造法在一些經(jīng)典例題的運(yùn)用，嘗試找出如何構(gòu)造輔助函數(shù)的幾種方法，并通過這些方法在一些具體實(shí)例中的運(yùn)用歸納出構(gòu)造函數(shù)法的一些思路。</p><p><b>　　3.1 原函數(shù)法</b></p><

35、p>　　原函數(shù)法是一種逆向思維的方法。在結(jié)合微分中值定理求解介值定理（或者零點(diǎn)）問題時(shí)，要證明的結(jié)論往往是一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。這時(shí)，可通過不定積分求出原函數(shù)，從而構(gòu)造出輔助函數(shù)。用此方法證明有關(guān)命題的一般步驟如下：</p><p>　　1.將結(jié)論通過恒等變換，化為容易積分的函數(shù)形式。在結(jié)論積分不是很復(fù)雜的情況下，一般常用的變換方法是移項(xiàng)，將等式一端變?yōu)槌?shù)；</p><p>　　

36、2.用替換變換后等式中的變量；</p><p>　　3.求出原函數(shù)，則原函數(shù)即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)；</p><p>　　4.結(jié)合微分中值定理，推導(dǎo)出最后的結(jié)論。</p><p>　　例1[3]:設(shè)，在上二階可導(dǎo)，且，，求證：存在一個(gè)，使得</p><p><b>　　。</b></p><p>

37、　　分析:題中結(jié)論相當(dāng)于證明:</p><p><b>　　用替換得:</b></p><p><b>　　積分后得:</b></p><p><b>　　得輔助函數(shù):</b></p><p><b>　　．</b></p><p>

38、;<b>　　證明：作輔助函數(shù)</b></p><p>　　顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，</p><p><b>　　又注意到：</b></p><p>　　可知滿足羅爾定理的條件，于是存在，使，</p><p><b>　　即：</b></p><p>&

39、lt;b>　　故：</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　3.2 常數(shù)值法</b></p><p>　　所謂常數(shù)值法就是將含有區(qū)間端點(diǎn)值及端點(diǎn)函數(shù)值的式子記為從而構(gòu)造輔助函數(shù)。用此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟分為以下四點(diǎn)：</p><p>　　將結(jié)

40、論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為；</p><p>　　恒等變形使等式一端為及構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式；</p><p>　　(3)觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對(duì)稱式。若是，則把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為，相應(yīng)的函數(shù)值改為；</p><p>　　(4)端點(diǎn)換變量的表達(dá)式即為輔助函數(shù)。</p><p>　　例2：設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證

41、：存在一個(gè)，使得。</p><p>　　分析：令常數(shù)部分為，</p><p><b>　　即: ，可得。</b></p><p>　　作恒等變形 …………………………………………()</p><p>　　顯然式()為對(duì)稱式，從而得到輔助函數(shù)。</p><p><b>　　證明：作輔助函

42、數(shù)，</b></p><p>　　由題設(shè)條件可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又</p><p>　　可見在上滿足羅爾定理的條件，于是存在，使得，即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.3 積分構(gòu)造法</p><p>　　在應(yīng)用微分中值定理時(shí)，結(jié)論常會(huì)出現(xiàn)與或者等有

43、關(guān)的等式。我們將所要證明問題的結(jié)論中的換成后，移項(xiàng)使等式右端為，經(jīng)過適當(dāng)恒等變形，通常等式左端即為所要構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。在很多情況下我們對(duì)等式左端進(jìn)行表達(dá)式積分就可以將函數(shù)還原出來。然后利用就能構(gòu)造出適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。我們?cè)衮?yàn)證輔助函數(shù)是否滿足微分中值定理的條件，若滿足就可以運(yùn)用微分中值定理證明，這就是積分法。</p><p>　　例3[4]：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，</p><p>&l

44、t;b>　　求證：，使得。</b></p><p>　　分析：結(jié)論，不易湊出，我們將換成</p><p>　　結(jié)論變形為，兩邊積分可得：，從而可設(shè)輔助函</p><p><b>　　數(shù)：。</b></p><p>　　證明：令，可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且：</p><p><

45、;b>　　。</b></p><p>　　由羅爾定理知，，使得,</p><p><b>　　即,。</b></p><p><b>　　又，且，從而有,。</b></p><p>　　3.4 待定系數(shù)法</p><p>　　在一些問題中，有時(shí)難以用積分法

46、直接構(gòu)造出符合題設(shè)要求且滿足中值定理?xiàng)l件的輔助函數(shù)。這時(shí)我們可以構(gòu)造出含有待定系數(shù)的輔助函數(shù)，然后根據(jù)其他已知條件求出待定系數(shù)。這樣就得到了符合要求的輔助函數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法。</p><p>　　例4[5]：設(shè)在上二階可導(dǎo)且，求證至少存在一點(diǎn)，使</p><p><b>　　。</b></p><p>　　分析：這是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題，

47、要用到羅爾定理。通過積分，注意到，很自然地令。</p><p>　　但是得不到,無助于問題解決。緊接著我們考慮尋找的兩個(gè)等值點(diǎn)或者重新構(gòu)造一個(gè)，使成為一個(gè)待定系數(shù)。依題意，令，則：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　得，所以。取，有。</b></p><p>　　

48、證明過程：由在上可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，</p><p><b>　　使得。</b></p><p>　　令，可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，</p><p>　　且：，由羅爾定理知， 使：。</p><p><b>　　又，從而：，即，。</b></p><p>　　3.5 觀察

49、聯(lián)想法</p><p>　　下面我們給出一些常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：</p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b></p><p><b>　??；</b></p><p><b>　　；</b><

50、/p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　當(dāng)我們通過積分法和待定系數(shù)法不容易構(gòu)造出輔助函數(shù)時(shí)，我們可以觀察所要證等式的結(jié)論形式，看它是否與我們常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式相似或相同。當(dāng)兩者相似或相同時(shí)，我們立即聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)公式左端括號(hào)內(nèi)的函數(shù)就是我們所要構(gòu)造的輔助函數(shù)，這就是觀察聯(lián)想法。</p><p>　　例5[6]：設(shè)，函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可

51、微，且，試證：存在一點(diǎn)，使。</p><p>　　分析：將結(jié)論中的換成后，結(jié)論再經(jīng)過恒等變形成。觀察后我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論與上舉的公式（2）右端的分子相似，因此我們構(gòu)造輔助函數(shù)來試一試。 </p><p><b>　　證明：令,</b></p><p>　　因?yàn)?，故在不含原點(diǎn)，從而在上連續(xù)，在</p><p><b>

52、　　內(nèi)可導(dǎo)，且：。</b></p><p>　　由羅爾定理知存在，使，即：。</p><p><b>　　又因，故得。 </b></p><p>　　3.6 幾何直觀法</p><p>　　幾何直觀法是指通過幾何圖形考查兩函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，利用拉格朗日中值定理找出適當(dāng)?shù)妮o助區(qū)間，利用羅爾中值定理

53、建立適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)。華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。利用數(shù)形結(jié)合常能更直觀地構(gòu)造所需的輔助函數(shù)。</p><p>　　例6[1]：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，連結(jié)端點(diǎn)，</p><p>　　的弦與曲線相交于點(diǎn)。</p><p><b>　　證明:存在使。</b></p><p>　　分析：所給命題的結(jié)論是二階導(dǎo)

54、函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題，顯然不能直接運(yùn)用微分中值定理來推證。但是可以理解為，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題。這啟發(fā)我們能否將問題轉(zhuǎn)換為在某個(gè)輔助區(qū)間上滿足羅爾中值定理的條件。于是問題歸結(jié)為尋求兩點(diǎn)，使。只要做出問題的草圖，不難發(fā)現(xiàn)在上和上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理即可得到這樣的。換句話說，區(qū)間便是我們要構(gòu)造的輔助函數(shù)所在的區(qū)間，即我們可設(shè)輔助函數(shù)為。</p><p><b>　　畫出問題的草圖：</b

55、></p><p>　　證明：因?yàn)樵谏蠞M足Lagrange中值定理的條件，故存在</p><p><b>　　，使得。</b></p><p>　　同理可證，存在，使得。</p><p>　　由草圖我們可知，在弦上，故有</p><p><b>　　。</b></

56、p><p>　　從而，知在上滿足Rolle中值定理的條件，</p><p><b>　　所以存在，使得。</b></p><p>　　注：根據(jù)幾何意義構(gòu)造輔助函數(shù)，求證定理和命題，是一種非常直觀，易于接受的方法。</p><p><b>　　3.7 行列式法</b></p><p&

57、gt;　　在一些微積分等式命題的證明中，可以利用行列式的性質(zhì)及行列式函數(shù)的求導(dǎo)公式的特點(diǎn)來構(gòu)造輔助函數(shù)。首先將結(jié)論等式變換，使得等式一端不含有等導(dǎo)數(shù)形式，再利用行列式構(gòu)造出輔助函數(shù)例如的形式，然后對(duì)求導(dǎo)，在結(jié)合有關(guān)微積分中值定理，繼而得出結(jié)論。</p><p>　　因?yàn)樵谶\(yùn)用行列式構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)利用到行列式的求導(dǎo)公式，所以先了解下行列式函數(shù)的求導(dǎo)公式。</p><p>　　行列式函

58、數(shù)求導(dǎo)公式[11]：設(shè)有行列式表示的函數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中的導(dǎo)函數(shù)都存在，則</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例7：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在，使。</p><p>　　分析:可將原結(jié)論化為：。

59、即，</p><p>　　，將上述行列式中換成，并求出原函數(shù)。這樣，易得：</p><p>　　即為要找的輔助函數(shù)。</p><p>　　證明：令，易證，又在</p><p>　　上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且， </p><p>　　由由羅爾定理知存在，使，</p><p><b>　　即，。

60、亦即，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.8 一般構(gòu)造法[7]</p><p>　　對(duì)于一般例如“、” 等形式，我們主要從以下的兩個(gè)命題建立了證明中值問題時(shí)構(gòu)造輔助函數(shù)的一般構(gòu)造法。</p><p>　　命題1：設(shè)，且滿足在上連續(xù)， 在內(nèi)可導(dǎo)，，則至少存在一點(diǎn)，&

61、lt;/p><p><b>　　使得。</b></p><p>　　證明：由于在上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)，使得，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　亦即：。</b></p><p>　　注： 中的

62、積分只取一個(gè)原函數(shù)；</p><p>　　命題中若取，即為Rolle定理；</p><p>　　命題中若取，即為L(zhǎng)agrange定理；</p><p>　　命題中若取，即為Cauchy定理。</p><p>　　命題2：設(shè)，且滿足在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，，則至少存在一點(diǎn)，使得,其中如下方式確定：從方程中求出通解，并解出，取。</p>

63、<p>　　注：命題2是命題1的推廣，因而命題2證明中值命題的范圍更加寬廣，進(jìn)一步說明，我們指出：命題1、命題2均可推廣到二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)形式。</p><p><b>　　運(yùn)用類型一：</b></p><p>　　若中值命題中欲證式為，</p><p><b>　　則輔助函數(shù)為。</b></p&g

64、t;<p>　　例8（1）：若中值命題中欲證式為，此時(shí)，，故。</p><p>　　例8（2）：若中值命題中欲證式為，此時(shí)，，故。</p><p><b>　　運(yùn)用類型二：</b></p><p>　　若中值命題中欲證式為，可從方程中求出通解，并解出，取，即輔助函數(shù)。</p><p>　　例8（3）：若中值

65、命題中欲證式為，可從方程取其通解為，即為,則設(shè)輔助函數(shù)為。</p><p>　　例8（4）：若中值命題中欲證式為，可從方程（一階線性微分方程的通解），解得，則設(shè)輔助函數(shù)為。</p><p><b>　　運(yùn)用類型三：</b></p><p>　　若中值命題中欲證式為，可從微分方程中求出通解，并解出，則取，即輔助函數(shù)，其中按使得來確定。</p

66、><p>　　例8（5）：設(shè)，且，證明至少存在一點(diǎn)，使得。</p><p>　　分析：欲證式對(duì)應(yīng)于，</p><p>　　兩次積分可得通解：，</p><p>　　于是輔助函數(shù)為:,確定使得,可得，故輔助函數(shù)可為：。</p><p>　　證明：作輔助函數(shù)：，則注意到：，這樣，我們知道：。由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使，

67、 </p><p>　　同樣有：至少存在一點(diǎn)，使。這樣又由羅爾定理可以得到：至少存在一點(diǎn)，使，即：至少存在一點(diǎn)，使得。</p><p>　　4 輔助函數(shù)在微積分學(xué)里的應(yīng)用舉例</p><p>　　例4.1[5]設(shè)在上連續(xù)，且，，求證：</p><p><b>　　。</b></p><p>　

68、　證明：作輔助函數(shù)，。</p><p><b>　　則，且</b></p><p>　　所以單調(diào)上升，所以對(duì)，有，即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例4.2[3]設(shè)在上連續(xù)，且，，使對(duì)，有</p><p><b>　　，則，。</

69、b></p><p>　　證明：利用輔助函數(shù)，，則</p><p><b>　　所以，即，</b></p><p><b>　　又，所以，。</b></p><p>　　例4.3[7]設(shè)在上連續(xù)，且對(duì)在上連續(xù)，且，都有，求證：，。</p><p><b>　

70、　證明：作輔助函數(shù)，</b></p><p>　　則在上連續(xù)，且，(只需證，即)，</p><p><b>　　由已知，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　所以，即。</b></p><p><

71、;b>　　從而，即為常數(shù)。</b></p><p>　　例4.4[4]設(shè)在上可微，且滿足，求證：在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。</p><p>　　證明：由所要證明的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，探尋恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，將變形為，這樣我們可以利用輔助函數(shù)，。</p><p>　　因?yàn)椋煞e分第一中值定理可知：至少存在一點(diǎn)，使得。又對(duì)于，有，。</p>&

72、lt;p><b>　　所以。</b></p><p>　　由羅爾定理知:至少存在一點(diǎn)，使，即。</p><p>　　例4.5[2]設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。求證：在與之間存在一點(diǎn)，使。</p><p>　　證明：利用輔助函數(shù)，，則顯然有在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。</p><p>　　由羅爾定理知：，使得，即，命題

73、得證。</p><p>　　例4.6[6]設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若不是線性函數(shù)，且，求證：使得。</p><p>　　證明：利用輔助函數(shù)，。</p><p>　　則，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因?yàn)椴皇蔷€性函數(shù)，所以，使。</p><p>　　若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，，使</p><p><b>　　，即。<

74、/b></p><p>　　若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使</p><p><b>　　，即。</b></p><p><b>　　綜上，使得。</b></p><p>　　例4.7[8]設(shè)函數(shù)在上可微，且當(dāng)時(shí)，， ，求證：。</p><p>　　證明：原問題等價(jià)于

75、證明不等式：………………………………………………(4.7)</p><p>　　我們利用輔助函數(shù)，，利用柯西中值定理，可得(4.7)式左端：</p><p><b>　　()</b></p><p><b>　　()。</b></p><p>　　這樣，即有，，證畢。</p><

76、p><b>　　5 結(jié) 語</b></p><p>　　從以上的歸納中，我們了解到，輔助函數(shù)構(gòu)造在解決實(shí)際的問題上起著很大的作用。根據(jù)對(duì)各種問題的探討，輔助函數(shù)構(gòu)造法的中心思路是根據(jù)命題的條件及結(jié)論，引入適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，并考慮在相應(yīng)的區(qū)間上構(gòu)造出的函數(shù)滿足條件，最后選用相應(yīng)的定理，推導(dǎo)出其結(jié)論來。當(dāng)然也有些命題存在著明顯的幾何意義，這時(shí)只要根據(jù)其幾何的表達(dá)，顯然我們也會(huì)方便快捷并且一

77、目了然的構(gòu)造出輔助函數(shù)來。</p><p>　　輔助函數(shù)構(gòu)造法在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，有著非常重要的地位，許多經(jīng)典的定理和公式都是運(yùn)用到了輔助函數(shù)構(gòu)造法再得以完美的解決，所以對(duì)輔助函數(shù)構(gòu)造法的研究也應(yīng)該運(yùn)用到更為廣泛的領(lǐng)域當(dāng)中，它可以將未知的問題化為現(xiàn)有的簡(jiǎn)單的問題。本文只是著重探討了微積分領(lǐng)域中的一些輔助函數(shù)構(gòu)造法的思路，現(xiàn)在已經(jīng)有很多學(xué)者在更為廣泛的數(shù)學(xué)問題中研究運(yùn)用輔助函數(shù)構(gòu)造法。相信輔助函數(shù)構(gòu)造法的思想會(huì)繼續(xù)

78、推動(dòng)著數(shù)學(xué)領(lǐng)域更好的發(fā)展。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 呂喜明,邵穎麗.淺談微分中值類問題中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合版).2004.6,2:82-83.</p><p>　　[2] 林小龍.微分中值問題中輔助函數(shù)的構(gòu)造法及其應(yīng)用[J].福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2004.10,

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81、學(xué)分析的基本理論與典型方法[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社，2005：63-71，87-139.</p><p>　　[9] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006：206-222.</p><p>　　[10] 徐利治，王興華.數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M].北京：高等教育出版社，1983.</p><p>　　[11] 華東師范

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83、<p>　　[14] Rober M.Mcleod.Mean Value Theorems For Vector Valued Functions[J].Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society.1965,14:197-209.</p><p>　　[15] Zhao Bao-lin.A Note on the Mean Value Theore