某些度量切叢上的單位球面【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學與影數(shù)學</b></p><p>　　某些度量切叢上的單位球面</p><p>　　Finsler幾何就是沒有二次型限制的黎曼幾何，黎曼在1854年的著名就職演講中提出了后來被稱Finsler幾何的概念。他發(fā)現(xiàn)了度量的二次型情況與一般情

2、況的區(qū)別，并選擇二次型為代表進行研究。1918年，F(xiàn)insler研究了一般度量情況下的曲線與曲面的幾何。此后，人們習慣地把一般度量情況的幾何稱為Finsler幾何。Finsler幾何研究的是具有Finsler度量的空間幾何性質。實際上Fimler空間的切空間是Minkoki空間，它是最簡單的Finsler流形，就恰似Euelid空間是最簡單的Riemann流形一樣。</p><p>　　令M為n維微分流行F光滑，

3、非負實數(shù)和1-齊次函數(shù)作用在切叢M上，使得的海賽是非負的。F稱為Finsler流行(M,F)的一個特征函數(shù)。</p><p>　　對于一固定點，切向量空間可以看成是F產生的一個黎曼度量空間。</p><p>　　而且，是帶有規(guī)范的Minkowski空間。向量集</p><p>　　被稱為單位切球，且被認為是雙重的，即超曲面和單位球。</p><p

4、>　　作為黎曼超曲面，單位切球是凸的和定向的，它作為纖維含有封閉的切叢。根據(jù)超曲面的定理，可以得出單位切球是全臍的連同單位平均曲率。</p><p>　　在單位切球反映在某些局域架上。共變微分的表示是給定的可積性條件。充分必要條件，對任意與單切球面相似的超曲面，包含單位平均曲率的形狀特征。一個單切球的平均曲率可表示為微量的第二特征張量，算術均數(shù)和主曲率。</p><p>　　在Fin

5、sler幾何的幾十年發(fā)展中，尋找具有特殊性質的特殊Finsler度量一直是數(shù)學家關注的重要的問題。更多生動具體的度量對研究Finsler幾何的一些基本問題有著重要地作用。-度量這個概念是日本數(shù)學家M。Matsumoto于1972年在已被物理學家關注的Randers度量（其中表示黎曼度量，表示1階微分形式）的基礎上而提出的。九十年代以前，日本數(shù)學家主要采用張量分析的方法研究-度量，但幾何的本質往往被張量計算所掩蓋，所以這方面的進展緩慢。九

6、十年代以后，Z。Shen引入新的運算模式并大量應用Maple程序運算，為-度量的研究注入了新的活力。到目前為止，Randers度量得到了基本上徹底的研究。</p><p>　　1933年，法國著名數(shù)學家Elie Cartan(1869-1951)發(fā)表了他的第一篇關于Finsler幾何的論文，主題是關于Finsler度量的共性變換的若干注記，同時預告了他的確定一個Finsler空間聯(lián)絡的公理系統(tǒng)。1934年，Car

7、tan發(fā)表了他關于Finsler幾何的著名論文，詳細介紹了他的確定Finsler空間聯(lián)絡（我們稱之為Cartan聯(lián)絡）的公理系統(tǒng)。Cartan引入了線性元空間（即射影化切叢PTM)概念，將他的歐氏聯(lián)絡理論推廣到了Finsler空間。</p><p>　　吳教授在Finsler幾何學領域的研究已達到國際領先水平，他在國際上首次提出關于一般Finsler體積形式的子流形幾何學，對已有的Finsler流形的剛性定理做出

8、了統(tǒng)一處理，以體積形式為主線，對Finsler幾何中的各種比較定理做出了系統(tǒng)研究，得到了它的一些具體應用實例，為進一步用比較幾何方法研究Finsler幾何奠定了重要基礎。他的系列研究成果很多發(fā)表在國際著名刊物，其中一篇發(fā)表在國際一流刊物《Math。Ann。》上，這在國內Finsler幾何學研究者中是僅有的一例。吳炳燁教授的上述研究工作對Finsler幾何學的研究產生了積極而深遠的影響。</p><p>　　Fin

9、sler子流形幾何對豐富Finsler幾何理論富有重要價值。這一領域的研究內容是令人向往的。如關于黎曼流形的切叢與單位切球的幾何及黎曼流形上的極小或調和單位向量場已被廣泛研究和討論，并且仍是前沿研究的一個熱點之一。但在Finsler幾何情形，相應的內容還沒有得到足夠的重視，相關結果還很少。因此，F(xiàn)insler幾何學家將在未來的研究工作中深入研究Finsler流形的切叢與單切球的幾何，并深入研究Finsler流形上的極小或調和單位向量場，

10、探討極小子流形與調和映照的聯(lián)系以及它們的幾何變分特征，在一定的曲率條件下討論調和映照的穩(wěn)定性。這些內容都是十分重要和有趣的課題。</p><p>　　切叢是微分流行M上的一種特殊的向量叢，微分幾何中研究切叢上的問題將對我們研究度量本身有很大的幫助，比如Gauss-Bonnet-Chern公式等。Finsler度量的切叢上那些長度為1的向量構成的單位球面是否具有特殊的曲率性質是很吸引人的問題。本課題將主要研究2維的

11、Finsler度量切叢上的單位球面。 </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　沈忠民，詹華稅． 幾何中若干問題之研究(1)[J] 集美大學學報(自然科學版)，1999，4(3)：76-83．</p><p>　　伍鴻熙，陳維桓．黎曼幾何選講[M] 北京：北京大學出版杜，1993</p><

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