計算機輔助設計變異性bezier曲線的幾何特性比較【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　計算機輔助設計變異性Bezier曲線的幾何特性比較</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、機械設計制造及其自動化 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b>

3、</p><p>　　【摘要】：隨著計算機輔助設計的廣泛普及，Bezier曲線由于直觀形象，數(shù)學方法簡便得到了廣泛的應用，其中最常用的是三次Bezier曲線。本論文首先介紹Bezier曲線的定義，拼接和特性，然后再此基礎(chǔ)上，提出修改三次Bezier曲線生成參數(shù)的方法獲得九個變異的Bezier曲線，然后通過編寫Autolisp程序，繪制其曲線，最后比較了各個曲線的特性</p><p>　　【

4、關(guān)鍵詞】：Bezier曲線；變異曲線；幾何特性。</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　【ABSTRACT】：With the widespread availability of computer-aided design, Bezier curve has been widely applied due to the reaso

5、ns that it is intuitive and its math thematic representation is simple. The most common is the cubic Bezier curve. This thesis firstly introduces the definition of Bezier curves, stitching and features, from this basis,

6、we change cubic Bezier curve parameters to obtain nine varied Bezier curves, and draw the curves by writing Autolisp program. Finally we compare the characte</p><p>　　【KEYWORDS】: Bezier curve；modified Bezier

7、 curve；geometric properties.</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論4</b></p><p>　　1.1課題背景4</p><p>　　1.2論文的研究內(nèi)容5</p><p>　　2 Bezie

8、r曲線7</p><p>　　2.1 Bezier曲線的定義：7</p><p>　　2.2 Bezier曲線的性質(zhì)：7</p><p>　　2.2 Bezier曲線的拼接：8</p><p>　　2.3 Bezier曲線的Casteljau算法：8</p><p>　　2.4三次Bezier曲線的矩陣形式及

9、參數(shù)式：9</p><p>　　2.5三次Bezier曲線的繪圖程序設計10</p><p>　　2.6三次Bezier曲線的性質(zhì)：12</p><p>　　3 變異性Bezier曲線構(gòu)造與分析13</p><p>　　3.1 變異性Bezier曲線的參數(shù)計算13</p><p>　　3.2 變異性Bezie

10、r曲線特性分析13</p><p>　　3.2.1 k=113</p><p>　　3.2.2 k=215</p><p>　　3.2.3 k=316</p><p>　　3.2.4 k=416</p><p>　　3.2.5 k=518</p><p>　　3.2.6 k=619

11、</p><p>　　3.2.7 k=721</p><p>　　3.2.8 k=822</p><p>　　3.2.9 k=924</p><p>　　3.2.10 k=1025</p><p><b>　　3.3 小結(jié)27</b></p><p>　　4 結(jié)論

12、與展望28</p><p><b>　　參考文獻29</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p><b>　　1.1課題背景</b>

13、;</p><p>　　在計算機模擬的圖形場景中為了細致地描繪出景物、物體的真實感，需要采用能精確地建立物體特征的表示，從而采用了多邊形、二次曲面、分形結(jié)構(gòu)、樣條曲面和構(gòu)造技術(shù)等實體表示方法。其中為了構(gòu)造齒輪、機冀、汽車等有曲面的結(jié)構(gòu)而采用了樣條曲面并且使用了可以逼近很多插值節(jié)點的Bezier曲線。</p><p>　　Bezier曲線具有良好的幾何性質(zhì)，能簡潔，完美地描述和表達自由曲線和

14、曲面。在CADPCAM技術(shù)中得到廣泛的應用。1962年，法同雷諾汽車公司的工程師P．E．Bezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的沒計方法。以這種方法為主完成了一個稱為UNISURFI的曲線和曲面設計系統(tǒng)。并1972年在公司投入使用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結(jié)合起來，使得設計師在工程設計中能比較直觀的意識到所給條件與設計出的曲線之間的關(guān)系，能方便的通過輸入?yún)?shù)來改變曲線的形狀。</p><p&g

15、t;　　Bezier是依據(jù)四個位置任意的點坐標繪制出的一條光滑曲線。在歷史上，研究貝塞爾曲線的人最初是按照已知曲線參數(shù)方程來確定四個點的思路設計出這種矢量曲線繪制法。貝塞爾曲線的有趣之處更在于它的“皮筋效應”，也就是說，隨著點有規(guī)律地移動，曲線將產(chǎn)生皮筋伸引一樣的變換，帶來視覺上的沖擊。Pierre Bezier研究了這種矢量繪制曲線的方法，并給出了詳細的計算公式，因此按照這樣的公式繪制出來的曲線就用他的姓氏來命名為Bezier曲線。由

16、于用計算機畫圖大部分時間是操作鼠標來掌握線條的路徑，與手繪的感覺和效果有很大的差別。即使是一位精明的畫師能輕松繪出各種圖形，拿到鼠標想隨心所欲的畫圖也不是一件容易的事。這一點是計算機萬萬不能代替手工的工作，所以到目前為止人們只能頗感無奈。使用Bezier工具畫圖很大程度上彌補了這一缺憾。</p><p>　　Bezier曲線的應用研究主要有兩類問題：一類是造型及特征多邊形設計，通過人機交互不斷修改特征多邊形，最后

17、形成滿意的曲線外形和圖案。另一類問題是Bezier曲線的插值（也稱為反算），要求構(gòu)造Bezier曲線或Bezier樣條曲線使其通過給定的所有型值點，這一問題的實質(zhì)是要求特征多邊形的頂點[1]。本文主要研究通過改變參數(shù)獲得變異型Bezier曲線。</p><p>　　Bezier曲線在現(xiàn)實中應用非常的廣泛,如飛機、汽車、船舶外形的設計;CATIA－波音、寶馬、奔馳、克萊斯勒；水泵葉輪和齒輪等機械零件的設計;橋梁和日

18、常用品的設計等,如圖所示:</p><p>　　圖1 汽車外形設計 圖2 零件設計</p><p>　　圖3 橋梁的設計 圖4鞋子的設計</p><p>　　Bezier曲線雖然有多的優(yōu)點，但是也有一些不容忽視的缺點，如修改一個頂點會影響整段曲線的形狀，局部修改能力差；B

19、ezier曲線與特征多邊形相距較遠，逼近性不是很好等，但主要的問題是對給定的控制頂點，Bezier曲線的位置是固定的。為了得到更加靈活多樣的曲線，因此，本文將介紹更一般的情況，在給定控制頂點的前提下，靈活選擇相應的參數(shù)，來實現(xiàn)對曲線形狀的調(diào)整。</p><p>　　1.2論文的研究內(nèi)容</p><p><b>　　基本內(nèi)容：</b></p><p

20、>　　1．了解并進一步研究Bezier曲線的生成方法； 2．根據(jù)不同控制參數(shù)編寫程序生成Bezier曲線并研究其幾何特性差別；</p><p>　　3．Bezier曲線各類不同算法研究；</p><p>　　4. 學習軟件編程，得出不同的變異性Bezier曲線圖形。</p><p>　　5. 比較分析不同變異性Bezier曲線的特點</p>&

21、lt;p>　　本論文的研究方案如圖5所示。</p><p><b>　　圖5 研究方案</b></p><p>　　2 Bezier曲線</p><p>　　2.1 Bezier曲線的定義</p><p>　　給定n+1個控制頂點Pi(i=0~n)，則Bezier曲線定義為：</p><p&g

22、t;　　這n次參數(shù)曲線段為Bezier曲線，其中是古典伯恩施坦多項式，稱為基底函數(shù)，也是一個權(quán)函數(shù)，它決定了在不同t值下對個位置失徑對矢量影響的大小，其表達式為：</p><p>　　依次用線段連接（i=0,1，…,n）中相鄰兩個矢徑的端點，這樣組成的n邊折現(xiàn)多邊形稱為Bezier特征多邊形，位置矢徑端點稱為特征多邊形的端點。</p><p>　　從Bezier曲線的定義可知，Bezier

23、曲線是一段曲線，曲線次數(shù)為n，需要n+1個位置矢徑來定義，在實際應用當中，最常見的所示三次Bezier曲線，其次是二次Bezier曲線，其他的高次的曲線一般不用，本文主要研究三次Bezier曲線和變異性Bezier的比較[2]。</p><p>　　2.2 Bezier曲線的性質(zhì)</p><p><b>　?。?）端點性質(zhì)。</b></p><p&

24、gt;　　1）端點矢量：p（0）=，p（1）=，可見，Bezier曲線的首末點與其特征多邊形的首末點重合。</p><p>　　2）切矢量：p（0）=n（），p（1）=n（），說明Bezier曲線在首末點處的切線方向與特征多邊形第一條邊和最后一條邊得方向是一致的。</p><p>　　3）k階導函數(shù)：假設控制頂點無重點（下同），則其k階導矢曲線是以為控制頂點的n-k次Bezier曲線： &

25、lt;/p><p>　　（2）對稱性。若將控制頂點方向排列成新的控制點（i=n，n-1,….,0）,由此構(gòu)成的曲線形狀不變，只是走相反的方向。</p><p>　?。?）凸包性。Bezier曲線的p（t）是點（i=n，n-1,….,0）的凸線性組合，并且曲線很位于其控制頂點構(gòu)成的凸包內(nèi)。</p><p>　?。?）幾何不變性和仿射不變性。</p><

26、p>　　（5）變差縮減性。任何一個平面與Bezier曲線的交點數(shù)不超過它的控制多邊形的交點數(shù)，但包含整個控制多變形的平面除外。</p><p>　?。?）移動n次Bezier曲線的第i個控制頂點，對曲線上的點p（i/n）影響最大，這是因為相應的基函數(shù)在t=i/n處達到最大值[2]。</p><p>　　2.2 Bezier曲線的拼接</p><p>　　Bez

27、ier曲線只是一個曲線段。僅用一個曲線段（不管是低次還是高次Bezier曲線）來描述幾何外形或進行圖案設計是極其困難的，只有把若干個Bezier曲線段拼接成Bezier樣條曲線方可用于幾何設計。下面介紹三次Bezier曲線的拼接。</p><p>　　兩段Bezier曲線在拼接處必須滿足幾何連續(xù)性的要求，即要達到連續(xù)。,連續(xù)的拼接條件比較復雜，這里不做討論。在一些幾何設計要就不太嚴格的情況下（如藝術(shù)繪畫）僅考慮連

28、續(xù)。</p><p>　　兩段三次Bezier曲線的拼接如圖1所示。由四個頂點構(gòu)造一段Bezier曲線，四個頂點構(gòu)造另一段曲線，兩段曲線在處拼接。在拼接處要達到連續(xù)，首先要達到連續(xù)，即第一段特征多邊形的終點必須和第二段特征多邊形的起點重合（因Bezier曲線起點、終點分別與特征多邊形的起點，終點重合）。由端點性質(zhì)可知，第一段曲線在處的切線方向為方向，第二段曲線在處的切線方向為 方向。連續(xù)要求在拼接處此二切線的方向

29、一致。要做到這一點，3個頂點必須共線，而且兩個頂點分布在拼接點的異側(cè)[3]。</p><p>　　圖6 Bezier曲線的拼接</p><p>　　2.3 Bezier曲線的Casteljau算法</p><p>　　設P0、P02、P2是一條拋物線上順序三個不同的點。過P0和P2點的兩切線交于P1點，在P02點的切線交P0P1和P2P1于P01和P11，則如下比例

30、成立：</p><p>　　這是所謂拋物線的三切線定理</p><p>　　圖7二次Bezier曲線</p><p>　　當P0，P2固定，引入?yún)?shù)t，令上述比值為t:(1-t)，即有：</p><p>　　t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得：</p>

31、<p>　　當t從0變到1時，它表示了由三頂點P0、P1、P2三點定義的一條二次Bezier曲線。并且表明：這二次Bezier曲線P02可以定義為分別由前兩個頂點(P0,P1)和后兩個頂點(P1,P2)決定的一次Bezier曲線的線性組合。依次類推，由四個控制點定義的三次Bezier曲線P03可被定義為分別由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個控制點Pi(i=0

32、,1,...,n)定義的n次Bezier曲線P0n可被定義為分別由前、后n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P0n-1與P1n-1的線性組合：</p><p>　　由此得到Bezier曲線的遞推計算公式：</p><p>　　2.4三次Bezier曲線的矩陣形式及參數(shù)式</p><p>　　由p=p(u)=(1-3+2)+(3-2)+(u-2+)+(-+

33、)</p><p><b>　　當時，</b></p><p>　　根據(jù)=3(-)和=3（）</p><p>　　則p=p(u)= （1-3u+3-）+(3u-6+3)+(3-3)+()</p><p><b>　　于是得到矩陣形式為</b></p><p>　　若將分解為二

34、維平面上的分量，則：</p><p>　　將其展開，按u的升冪書寫得三階Bezier 曲線的參數(shù)式為：</p><p><b>　　式中： </b></p><p>　　2.5三次Bezier曲線的繪圖程序設計</p><p>　　根據(jù)公式可以編寫Autolisp程序得到三次Bezier曲線的圖：</p>

35、<p>　　下面是繪制三次Bezier曲線的Autolisp程序。</p><p>　　(defun C:bezier3()</p><p>　　(if (setq b0 (getpoint "\nEnter first point: ")</p><p>　　b1 (getpoint b0 "\nSencond point:

36、 ")</p><p>　　b2 (getpoint b1 "\nThird point: ")</p><p>　　b3 (getpoint b2 "\nForth point: ")</p><p><b>　　)</b></p><p><b>　　(pr

37、ogn</b></p><p>　　(setq x0 (car b0)</p><p>　　y0 (cadr b0)</p><p>　　x1 (car b1)</p><p>　　y1 (cadr b1)</p><p>　　x2 (car b2)</p><p>　　y2 (ca

38、dr b2)</p><p>　　x3 (car b3)</p><p>　　y3 (cadr b3)</p><p>　　a1 (* 3 (- x1 x0))</p><p>　　a2 (+ (- (* 3 x0) (* 6 x1)) (* 3 x2))</p><p>　　a3 (- (+ (* 3 x1) x3)

39、 (+ (* 3 x2) x0))</p><p>　　a4 (* 3 (- y1 y0))</p><p>　　a5 (+ (- (* 3 y0) (* 6 y1)) (* 3 y2))</p><p>　　a6 (- (+ (* 3 y1) y3) (+ (* 3 y2) y0))</p><p><b>　　)</b&g

40、t;</p><p>　　(command "layer" "s" "4" "c" "4" "" "")</p><p>　　(command "pline" b0 b1 b2 b3 "") 繪制特征多邊形

41、</p><p>　　(command "layer" "s" "1" "c" "1" "" "")</p><p>　　(setq t1 0)</p><p>　　(command "pline")<

42、/p><p>　　(repeat 11</p><p>　　(setq x (+ x0 (* a1 t1) (* a2 t1 t1) (* a3 t1 t1 t1))</p><p>　　y (+ y0 (* a4 t1) (* a5 t1 t1) (* a6 t1 t1 t1))</p><p>　　t1 (+ t1 0.1)</p&

43、gt;<p><b>　　)</b></p><p>　　(command (list x y))</p><p><b>　　)</b></p><p>　　(command "")</p><p>　　(command "pedit" &qu

44、ot;L" "f" "")</p><p>　　(command "redraw")</p><p><b>　　)</b></p><p><b>　　)</b></p><p><b>　　(princ)</b

45、></p><p><b>　　)</b></p><p>　　上述程序中的a1，a2，a3，a4，a5，a6為中間變量，分別代表坐標分量表示式中參數(shù)u前面的系數(shù)。</p><p>　　如圖8為一個三次Bezier曲線的例子，</p><p>　　圖8三次Bezier曲線</p><p>　

46、　其中（10，10），（,20, 20），（30, 20），（40, 10）</p><p>　　2.6三次Bezier曲線的性質(zhì)</p><p>　?。?）端點性質(zhì) Bezier曲線通過特征多邊形的起點和終點，且曲線在起點與特征多邊形始終相切，在終點與多邊形終邊始終相切。</p><p>　?。?）對稱性 若是把頂點的位置顛倒過來，得到的曲線和原來的是曲線是重合的

47、，只不過是方向相反了。</p><p>　　（3）其他性質(zhì)。包括直觀性，幾何不變性，凸包性等[1]。</p><p>　　3 變異性Bezier曲線構(gòu)造與分析</p><p>　　3.1 變異性Bezier曲線的參數(shù)計算</p><p>　　從三次Bezier曲線的計算中可以得到：=3(-)和=3（）</p><p>

48、　　若=k(-)和=k（），即改變原來的參數(shù)，將3改變成其他的值，本文研究k的變化范圍在1-10之間。則得到的矩陣是不一樣的。</p><p>　　由p=p(u)=(1-3+2)+(3-2)+(u-2+)+(-+)</p><p>　　=k(-)和=k（）可以得到：</p><p>　　將其展開則得到下面的方程：</p><p>　　將它改寫

49、為參數(shù)形式：</p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　3.2 變異性Bezier曲線特性分析</p><p><b>　　3.2.1 k=1</b></p><p><b>　　有 </b></p><p><b>　　

50、將它展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=1時的圖。如下：</p><p>　　圖9 三次Bezier曲線和k=1的曲線</p><p>　　將它和原來的是三次Bezier曲線比較，可以得到如下特點：</p>&

51、lt;p>　　當k=1的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　三次Bezier曲線具有對稱性，即要是把頂點次序顛倒過來，得到的新的曲線和原來的曲線是重合的，只不過是走向相反，但k=1的變異型曲線已經(jīng)不具有對稱性，如圖10</p><p>　　變異型

52、曲線的變化幅度已經(jīng)明顯變小，但仍然具有凸包性。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖10變異曲線的對稱性</p><p>　　其

53、中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.2 k=2</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p

54、>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=2時的圖。如下：</p><p>　　圖11三次Bezier曲線和k=2的曲線</p><p>　　把它與原始曲線進行比較（如圖11）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p&

55、gt;<p>　　當k=2的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和k=1的變異型曲線一樣，新得到的k=2的變異型曲線也不具有對稱性。如圖12</p><p>　　得到新的k=2的變異型曲線和三次Bezier曲線幅度要小，但和k=1變異型曲

56、線相比，幅度有了明顯的增加。如圖11</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖12 k=2曲線的對稱性 </p><p>　　其中曲

57、線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.3 k=3</b></p><p>　　這是三次Bezier曲線。</p><p><b>　　3.2.4 k=4</b></p><p><

58、;b>　　有</b></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=4時的圖。如下：</p><p>　　圖13三次Bezier曲線和k=4的曲線</p>&l

59、t;p>　　把它與原始曲線進行比較（如圖13）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=4的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線一樣，新得

60、到的的k=4變異型曲線也不具有對稱性。如圖14</p><p>　　新得到的k=4變異型曲線和上述曲線不同，幅度明顯變大，而且曲線的凸包性消失。如圖13。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿

61、射變換后的曲線。</p><p>　　圖14 k=4曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.5 k=5</b></p><p><b>　　有</b&g

62、t;</p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=5時的圖。如下：</p><p>　　圖15三次Bezier曲線和k=5的曲線</p><p>　　把它與原始曲線進

63、行比較（如圖15）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=5的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線一樣，新

64、得到的的k=5變異型曲線也不具有對稱性，如圖16</p><p>　　新得到的k=5變異型曲線和上述曲線不同，幅度明顯變大，而且曲線的凸包性消失。如圖15。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同

65、仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖16 k=5曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線B的控制點為 </p><p><b>　　曲線A的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.6 k=6</b></p><p><b>　　有</b&

66、gt;</p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=6時的圖。如下：</p><p>　　圖17三次Bezier曲線和k=6的曲線</p><p>　　把它與原始曲線

67、進行比較（如圖17）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=6的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線一樣，

68、新得到的的k=6變異型曲線也不具有對稱性，如圖18</p><p>　　新得到的k=6變異型曲線和上述曲線不同，幅度明顯變大，而且曲線的凸包性消失。如圖17。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相

69、同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖18 k=6曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.7 k=7</b></p><p><b>　　有</b

70、></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=7時的圖。如下：</p><p>　　圖19三次Bezier曲線和k=7的曲線</p><p>　　把它與原始曲

71、線進行比較（如圖19）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=7的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線一樣

72、，新得到的的k=7變異型曲線也不具有對稱性，如圖20</p><p>　　新得到的k=7變異型曲線和上述曲線不同，幅度明顯變大，而且曲線的凸包性消失。如圖19。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是

73、相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖20 k=7曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.8 k=8</b></p><p><b>　　有</

74、b></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=8時的圖。如下：</p><p>　　圖21三次Bezier曲線和k=8的曲線</p><p>　　把它與原始

75、曲線進行比較（如圖21）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=8的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線一

76、樣，新得到的的k=8變異型曲線也不具有對稱性，如圖22</p><p>　　新得到的k=8變異型曲線和上述曲線不同，幅度明顯變更大，而且曲線的凸包性消失。如圖21。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線

77、就是相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖22 k=8曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.2.9 k=9</b></p><p><b>　　有<

78、;/b></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=9時的圖。如下：</p><p>　　圖23三次Bezier曲線和k=9的曲線</p><p>　　把它與

79、原始曲線進行比較（如圖23）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=9的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲

80、線一樣，新得到的的k=9變異型曲線也不具有對稱性，如圖24</p><p>　　新得到的k=9變異型曲線和開始曲線不同，幅度明顯變更大，但和k=5后的曲線相近，而且曲線的凸包性消失。如圖23。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或剪

81、切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖24 k=9曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p>　　3.2.10 k=10</p><p><b>　　有</b

82、></p><p><b>　　將其展開即得：</b></p><p>　　用Autolisp編程時，在三次Bezier曲線編程中將a1，a2，a3，a4，a5，a6中的方程用上述方程代替，便可以得出k=9時的圖。如下：</p><p>　　圖25三次Bezier曲線和k=10的曲線</p><p>　　把它與原始

83、曲線進行比較（如圖25）：</p><p><b>　　進行分析之后可知：</b></p><p>　　當k=10的變異型曲線的端點性質(zhì)改變，所得到的變異型曲線與特征多邊形的起點和終點雖然重合，但曲線在起點與特征多邊形一邊已經(jīng)不相切，如點。而且比上訴其他的變異型曲線更加明顯，所以變異型曲線的端點性質(zhì)改變。</p><p>　　和上述的變異型曲線

84、一樣，新得到的的k=10變異型曲線也不具有對稱性，如圖26</p><p>　　新得到的k=10變異型曲線和開始曲線不同，幅度明顯變更大，但和k=5后的曲線相近，而且曲線的凸包性消失。如圖25。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟三次Bezier曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制多邊形進行縮放或

85、剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿射變換后的曲線。</p><p>　　圖26 k=10曲線的對稱性</p><p>　　其中曲線A的控制點為 </p><p><b>　　曲線B的控制點為</b></p><p><b>　　3.3 小結(jié)</b></p><p>　　

86、結(jié)合上述所有的圖，可以發(fā)現(xiàn)k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10各變異型曲線的一些相同點和一些不同點。</p><p>　　所有變異型曲線的端點性質(zhì)改變，即曲線一端點和特征多邊形已經(jīng)不想切。</p><p>　　隨著參數(shù)的變化，各變異型曲線也相應的發(fā)生改變，當k3時，曲線的凸包性仍然存在，可是當k3時，變異型曲線的凸包性消失，而且隨著參數(shù)的變大，曲線的變化幅度越來越大，和三次Bezi

87、er曲線的差異越來越大。當參數(shù)k=1時，變異型曲線是最平穩(wěn)的，當參數(shù)k=10時，曲線是最歪曲的。現(xiàn)將各圖放在一起比較，如圖27</p><p>　　在所有的曲線當中，只有三次Bezier曲線具有對稱性，其他的曲線都不具有。</p><p>　　變異后的曲線仍舊具有跟原始曲線一樣的幾何不變性，即曲線僅依賴于控制頂點而與坐標系的位置和方向無關(guān)，即曲線的形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變；同時，對控制

88、多邊形進行縮放或剪切等仿射變換后所對應的新曲線就是相同仿射變換后的曲線</p><p>　　所有的曲線的漸變過程是一個有規(guī)律的變化過程。如圖27</p><p>　　圖27 變異型曲線的漸變過程</p><p><b>　　4 結(jié)論與展望</b></p><p>　　由于Bezier曲線的變化情況是非常多的，鑒于個人的能

89、力和時間有限，所以本文的研究是有選擇性和針對性的。本文首先介紹了Bezier曲線的定義，拼接和生成方法，對變異型曲線有了初步的了解。在此基礎(chǔ)上，改變相應的參數(shù)，建立參數(shù)方程，然后用Autolisp程序編寫各個參數(shù)下的曲線圖。最后對得到的9個變異型曲線和原始曲線進行比較分析，得出各個曲線的特性。</p><p>　　本文研究的變異型曲線，只是單純的改變了一個參數(shù)k，所以在很大的程度上，得出的研究成果是有些片面的，有

90、很多不完善的地方，可能在現(xiàn)實中也很難做實際的用途，但也是做了一個新的嘗試，對Bezier曲線的研究做出了自己的努力，希望達到一個拋磚引玉的作用，以便以后研究者能更加的了解Bezier曲線。自己也會在這一方面繼續(xù)研究下去，獲得更大的成就。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]寧汝新等，CAD/CAM技術(shù)，機械工業(yè)出版社，1999<

91、;/p><p>　　[2]任敏，繪制Bezier曲線的算法研究[J]．現(xiàn)代機械，2007,(1).</p><p>　　[3]徐甜，劉凌霞．Bezier曲線的算法描述及其程序?qū)崿F(xiàn)[J].安陽師范學院學報，2006，(5)．</p><p>　　[4]韓旭里，劉圣軍．二次Bezier曲線的擴展[J]．中南工業(yè)大學學報(自然科學版)，2003，34(2)：214—217．&

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