應用物理學畢業(yè)論文變分迭代法求解恒定電場中一維線性諧振子

1、<p><b>　　江蘇科技大學</b></p><p>　　本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計（論文）</p><p>　　變分迭代法求解恒定電場中一維線性諧振子</p><p>　　Variational iteration method for solving one-dimensional linear harmonic oscillat

2、or in a constant electric field</p><p>　　學 院 數(shù)理學院 </p><p>　　專 業(yè) 應用物理專業(yè) </p><p>　　學生姓名

3、 </p><p>　　班級學號 </p><p>　　指導教師 </p><p>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）任務書</p><p>　　學院名稱： 數(shù)理學院 專 業(yè)： 應用物理學

4、 </p><p>　　學生姓名： 學 號： </p><p>　　指導教師： 職 稱： 教 授 </p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在現(xiàn)今的量子力學中，一維線性諧振子可謂是一個相當?shù)湫颓抑匾南到y(tǒng)。其最早是

5、由德國的物理學家普朗克提出，他用簡諧振子成功地解釋了熱能的輻射與吸收。很多人認為簡諧振子是一種很簡單的運動模型，但是許多復雜運動模型都是以諧振子的運動為基礎(chǔ)的，它在很多領(lǐng)域都有廣泛的應用。因此，研究線性諧振子具有重要意義。本文通過變分迭代法[1]求解恒定電場中一維線性諧振子Schrodinger方程，確定本征能量及本征函數(shù)的近似解，并對結(jié)果進行分析，為解高次冪薛定諤方程的解析解提供新方法。</p><p>　　關(guān)

6、鍵詞：變分迭代法；一維線性諧振子；薛定諤方程 </p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　In today's quantum mechanics, one-dimensional linear harmonic oscillator can be described as a fairly typical and imp

7、ortant systems. It was first proposed by the German physicist Max Planck, he used simple harmonic oscillator to explain the success of radiation and absorption of heat. Many people think that harmonic oscillator is a ver

8、y simple model, but many complex models are based on a harmonic oscillator. It is widely used in many fields, therefore, the study of the linear harmonic oscillato</p><p>　　Keywords: variational iteration me

9、thod; one-dimensional linear harmonic oscillator; Schrödinger equation</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　第一章 緒論1</p><p><b>　　1.1引言1</b></p><

10、p><b>　　1.2課題背景2</b></p><p>　　1.2.1國外發(fā)展2</p><p>　　1.2.2國內(nèi)發(fā)展3</p><p>　　1.3論文研究的目的與意義4</p><p>　　1.4論文主要內(nèi)容4</p><p>　　第二章 理論基礎(chǔ)5</p>

11、<p>　　2.1 泛函和變分5</p><p><b>　　2.1.1引言5</b></p><p>　　2.1.2 泛函7</p><p>　　2.1.3 自變函數(shù)的變分8</p><p>　　2.1.4 泛函的變分9</p><p>　　2.1.5 泛函變分的性質(zhì)1

12、1</p><p>　　2.1.6 各種泛函的變分12</p><p>　　2.2 迭代法14</p><p>　　2.2.1 迭代法與不動點定理14</p><p>　　2.2.2 迭代格式的構(gòu)造16</p><p>　　2.2.3 迭代法的收斂性與收斂階17</p><p>　　第

13、三章 恒定電場中一維線性諧振子20</p><p><b>　　結(jié) 論26</b></p><p><b>　　致 謝27</b></p><p><b>　　參考文獻28</b></p><p><b>　　附 錄30</b>&

14、lt;/p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p><b>　　1.1引言</b></p><p>　　在自然界中有很多現(xiàn)象與簡諧振動有關(guān)，任何系統(tǒng)在某個平衡位置附近的小振動，例如晶格振動、分子振動、輻射場的振動以及原子核表面振動等一般都是能分解成若干個相互獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還可以作為一些

15、復雜運動的初步近似，所以對簡諧振動的研究，無論在單純的理論上還是在某些應用上都是很重要的。 舉一個很簡單的例子，在雙原子分子中，兩個原子之間的勢V是關(guān)于二者相對距離x的函數(shù)。如圖(1-1)，當x = a時，V 取到一極小值V0 。我們可以把x = a 附近的勢展開成泰勒級數(shù)：</p><p>　　圖1-1 勢V與距離x的函數(shù)圖像</p><p>　　然后把坐標原點換成(a, V0)，我們就

16、可以得到標準諧振子勢：</p><p>　　由此可見，在某些相當復雜的勢場下，粒子的運動通常被近似的描述為線性諧振動。</p><p>　　經(jīng)典力學中，一維諧振子的哈密頓[2]為</p><p>　　上式用相應算符代入，得</p><p>　　它是一維諧振子的哈密頓算符，是能量算符。</p><p>　　而本文討論的恒

17、定電場中，其體系的哈密頓算符為</p><p>　　可以設(shè),帶入本征值方程,可得體系的薛定諤方程[3]</p><p>　　本論文的主要內(nèi)容就是通過變分迭代法[4]解上式的薛定諤方程。</p><p><b>　　1.2課題背景</b></p><p><b>　　1.2.1國外發(fā)展</b><

18、/p><p>　　變分迭代法在國外有很多研究及應用。通過查閱資料得知的研究如下：1982年，J.S.Pang、 D.Chan（工業(yè)管理研究生院，卡內(nèi)基梅隆大學）研究了求解變分不等式和非線性互補問題的各種迭代法，這種方法具有局部收斂性和全局收斂性[5]。其中包括的方法有牛頓和幾個連續(xù)超松弛算法。其中重點研究的是線性近似方法系列。1985年，Jong-Shi Pang（管理學院，德克薩斯大學）研究了非對稱變分不等式問題在

19、產(chǎn)品組合：應用及迭代方法[6]。其中描述了幾個平衡問題可以統(tǒng)一建模的一個有限維的非對稱變分不等式定義，并探討求解變分不等式問題的各種迭代方法的局部收斂性和全局收斂性。由于特殊的笛卡兒乘積結(jié)構(gòu)，這些迭代方法將原變分不等式問題轉(zhuǎn)化為在較低維度的一系列簡單的變分不等式問題。2001年，M.A. Noor發(fā)表了關(guān)于廣義變分不等式的迭代方法的論文[7]。2008年，Muhammad Aslam Noor, Khalida Inayat Noor

20、（巴基斯坦信息技術(shù)學院）研究了關(guān)于在 L p 空間包含三步迭代方法的一般變分[8]。其中，廣義變分包含了不動點的問題?？梢允褂眠@種等價性討論在L p空間變分包</p><p><b>　　1.2.2國內(nèi)發(fā)展</b></p><p>　　國內(nèi)對變分迭代法的研究也有很多。例如：2004年，謝長珍（汕頭大學）將變分迭代法運用到求解微擾問題[12]。之前都是用微擾法解微擾問題

21、，這種方法本身有很大的局限性。本文把變分法和迭代法相結(jié)合,成功解決了微擾法所不能解決的問題。2005年，莫嘉琪和林萬濤（安徽師范大學）在物理學報上發(fā)表了關(guān)于《厄爾尼諾大氣物理機理的變分迭代解法》的論文。他們利用變分迭代法解得到了近似展開式。并通過與特殊情形下所得精確解的比較 ,證明了一次近似解在精確度上是完全符合的。2011年，徐宇鋒（中南大學）將變分迭代法運用到求解分數(shù)階自治常微分方程中[13]。 他將變分迭代法應用到解該方程組的初值

22、問題,并求出極限形式的解。2013年，魏博關(guān)（哈爾濱工業(yè)大學）發(fā)表了解變分不等式問題的一種迭代方法得論文。他提出了廣義的鄰近算子的一些性質(zhì)，提出了一個迭代法近似解一類廣義變分不等式和顯示一致凸、光滑巴拿赫空間中的收斂性。</p><p>　　1.3論文研究的目的與意義</p><p>　　從變分迭代法解非線性偏微分方程中，尋求解恒定電場中一維線性諧振子的新方法，及尋求解高次冪薛定諤方程的解

23、析解的新方法。</p><p>　　一維線性諧振子在很多領(lǐng)域都有廣泛的應用。變分迭代法能為這些領(lǐng)域的研究提供新的理論支撐，并推動其發(fā)展。</p><p><b>　　1.4論文主要內(nèi)容</b></p><p>　　本論文主要研究內(nèi)容：</p><p>　　利用變分迭代法求解恒定電場中一維線性諧振子，確定本征能量及本征函數(shù)

24、的近似解。</p><p>　　第二章 理論基礎(chǔ)</p><p><b>　　2.1 泛函和變分</b></p><p><b>　　2.1.1引言</b></p><p>　　在微積分中的函數(shù)極值問題: 一個光滑的連續(xù)函數(shù)，在區(qū)域內(nèi)所有點都能Taylor展開</p><p&

25、gt;<b>　　(2-1)</b></p><p>　　函數(shù)在某一點有極值的必要條件是</p><p>　　例2.1 一個簡單的變分問題: 最短線問題</p><p><b>　　圖2-1最短線問題</b></p><p>　　假設(shè)經(jīng)過兩點距離最短的曲線方程為</p><p&g

26、t;<b>　　(2-2)</b></p><p>　　另有一任意的連續(xù)可導函數(shù)，滿足兩端固定的邊界條件</p><p><b>　　(2-3)</b></p><p>　　顯然依舊是過固定兩點的連續(xù)曲線，其對應的長度為</p><p><b>　　(2-4)</b></

27、p><p>　　當,時取到極小值，也就是說</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　把(2-4)代入(2-5), 展開后有</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p>　　由于(2-6) 對于任意的都成立，根據(jù)變分引理, 我們可以得

28、到</p><p><b>　　(2-7)</b></p><p><b>　　意味著</b></p><p><b>　　(2-8)</b></p><p>　　因此, 在平面上過固定兩點距離最近的光滑曲線是直線。</p><p>　　下面我們來看幾類

29、比較典型的變分問題。</p><p>　　例2.2 最速降線問題</p><p>　　圖2-2最速降線問題</p><p>　　我們在該鉛直平面上取一直角坐標系，以A為坐標原點，水平為軸，向下為軸。曲線的方程為， A點坐標, B點坐標。曲線上任意一點P時的速度為</p><p><b>　　(2-9)</b></p

30、><p><b>　　(2-10)</b></p><p>　　因此，重物沿該曲線從A點滑到B點所需要的總時間為</p><p><b>　　(2-11)</b></p><p>　　我們也稱之為泛函。該曲線參數(shù)形式為</p><p><b>　　(2-12) <

31、;/b></p><p><b>　　2.1.2 泛函</b></p><p>　　定義1.1 記是給定的函數(shù)集合，如果對于該集合中的任何一個函數(shù)，都有一個實數(shù)與之相對應，我們記為或者。那么就是定義在函數(shù)集合上的一個泛函。</p><p>　　簡單地講，泛函就是以函數(shù)集合為定義域的實值映射。</p><p>　　它

32、的定義域就是泛函中的函數(shù)集合。如例1.2中的泛函(2-11)</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其定義域為</b></p><p>　　這還可以推廣到多元函數(shù)的泛函。舉兩個例子：</p><p>　　如果是連續(xù)函數(shù)的集合，那么可定義一個泛函</p>&

33、lt;p>　　如果是區(qū)間上的一階連續(xù)可微函數(shù)對的集合，那么可定義一個泛函</p><p><b>　　線性泛函</b></p><p>　　對于泛函， 如果在定義域中任意兩個函數(shù)和以及任意兩個實數(shù)和，始終滿足</p><p>　　那么在該定義域中，泛函就是線性泛函。</p><p>　　2.1.3 自變函數(shù)的變分&

34、lt;/p><p>　　定義1.2 在同一泛函定義域上的兩個函數(shù)、，若彼此任意接近，那么與之差稱為函數(shù)的變分。</p><p>　　圖2-3 變分和函數(shù)的增量</p><p>　　函數(shù)變分的重要性質(zhì)：</p><p>　　求變分和求導數(shù)可以交換次序</p><p><b>　　(2-13)</b>&

35、lt;/p><p>　　如果自變函數(shù)是個多元函數(shù)，那么求偏導數(shù)和求變分也可以交換次序</p><p><b>　　(2-14)</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　(2-15)</b></p><p><b>

36、;　　, </b></p><p><b>　　(2-16)</b></p><p>　　2.1.4 泛函的變分</p><p>　　如果我們在某個光滑函數(shù)中的某一點處附近作泰勒展開，</p><p>　　那么其增量的線性部分</p><p>　　稱為函數(shù)的一階微分，而</p&g

37、t;<p>　　稱為函數(shù)的兩階微分。（是的線性函數(shù)，是的兩次函數(shù))。</p><p>　　對于任意一個泛函, 函數(shù)變分所引起的泛函增加量為</p><p><b>　　如果可以展開為</b></p><p><b>　　(2-17)</b></p><p>　　其中是關(guān)于的線性泛函，也

38、就是說</p><p><b>　　(2-18)</b></p><p>　　而為的兩次泛函。那么，可以定義</p><p>　　定義1.3 泛函的一階變分為</p><p><b>　　(2-19)</b></p><p><b>　　而泛函的兩階變分為</

39、b></p><p><b>　　(2-20)</b></p><p>　　我們看下面一個比較簡單的泛函</p><p>　　將函數(shù)變分得，構(gòu)造新函數(shù)， 那么對應的新泛函為</p><p>　　顯然，泛函的變化量為</p><p>　　假如充分光滑， 其Tayler展開公式可以表示成<

40、/p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　(2-21)</b></p><p>　　為泛函的一階變分，為泛函的兩階變分。我們通常把一階變分稱為泛函的變分。</p><p>　　泛函變分還有一種求法</p><p>　　任意給定的一個齊次函數(shù)，其邊界上的值

41、為零，對于一個任意小的實數(shù)，令，很明顯它也在定義域內(nèi)。那么</p><p>　　還可以令為函數(shù)的變分，那么上式的第一部分就是泛函的一階變分，而第一部分就是泛函的兩階變分。 也就是說</p><p><b>　?。?-22）</b></p><p>　　2.1.5 泛函變分的性質(zhì)</p><p><b>　　(1

42、) </b></p><p><b>　　(2) </b></p><p><b>　　(3) </b></p><p><b>　　(4) </b></p><p><b>　　(5) </b></p><p><

43、;b>　　(6) </b></p><p>　　這表明，可以用求復合函數(shù)求微分的方法來求泛函變分。</p><p>　　下面我們來看兩個例子：</p><p><b>　　例1.6 已知泛函</b></p><p><b>　　求。</b></p><p>

44、<b>　　解∶</b></p><p>　　這里還需要再簡化，因為被積函數(shù)里面有自變函數(shù)變分的偏導數(shù)。</p><p><b>　　例1.7 已知泛函</b></p><p><b>　　求</b></p><p><b>　　解：</b></p&

45、gt;<p>　　該式中自變函數(shù)變分的導數(shù)已通過分部積分消去了。</p><p>　　2.1.6 各種泛函的變分</p><p>　　(1) 最簡單的泛函</p><p>　　(2) 含高階導數(shù)的泛函</p><p><b>　　如果</b></p><p><b>　　,

46、 </b></p><p>　　而且滿足固定的邊界條件</p><p><b>　　那么</b></p><p>　　(3) 含多元自變函數(shù)的泛函</p><p>　　這里的最后一步還要用格林公式消去自變函數(shù)變分的導數(shù), 其實這和一元函數(shù)的分部積分公式差不多。</p><p><

47、b>　　一般來說，對于</b></p><p>　　上式如要求將被求導的函數(shù)看成是僅有的函數(shù)，則需要用替換，以防止混淆，譬如</p><p>　　(4) 含多個自變函數(shù)的泛函</p><p><b>　　2.2 迭代法</b></p><p>　　2.2.1 迭代法與不動點定理</p>&

48、lt;p><b>　　設(shè)，考慮方程</b></p><p><b>　　(2-23)</b></p><p>　　若存在，使，則稱為方程(2-23) 的解。</p><p>　　用迭代法求解(2-23) ，先將(2-23)化為等價的方程</p><p><b>　　(2-24)<

49、;/b></p><p><b>　　這里映象。</b></p><p>　　這里我們把方程(2-24)的解(即)叫做映象g的不動點。因此通過迭代法求方程(2-23)的解，其實就是在求(2-24)中映象g的不動點。這樣我們關(guān)心的問題就是g中是否存在不動點。</p><p>　　定理2-1 若是有邊界且封閉的集合上嚴格的非膨脹映象，，則g在

50、中存在唯一一個不動點。</p><p>　　證明唯一性 設(shè)g在內(nèi)至少有兩個不動點，，則</p><p>　　因為，所以由上式推得。即g在中只有唯一一個不動點。</p><p>　　記，由g和泛數(shù)的連續(xù)性可知是連續(xù)的。因為是有邊界且封閉的集合，故在上有最小值。設(shè)為最小點，即</p><p>　　則可得出是g的不動點。因為如果不是這樣的話，就有，

51、再次通過g的嚴格非膨脹，可得到</p><p>　　結(jié)果與為的最小點沖突，由此為g的不動點。</p><p>　　注 定理中有三個條件缺一不可：的有界閉性、g的壓縮性和g映入自身。我們可以舉個反例：在上是嚴格非膨脹的，可是它在中是沒有不動點的。</p><p>　　下面我們介紹在應用上非常廣泛的不動點定理。</p><p>　　定理2-2 (

52、Brouwer不動點定理) 設(shè)在有邊界且封閉的凸集上是連續(xù)的，且，則g在至少存在一個不動點。</p><p>　　該定理在一維情形下表述為： ，則f在中至少存在一個不動點。幾何解釋見圖2-4。</p><p>　　2.2.2 迭代格式的構(gòu)造</p><p>　　通過上一節(jié)我們了解到，運用迭代法解方程(2-23)，就是先將這個方程寫成與之相等價的方程(2-24)，然后

53、通過等價方程求映象g的不動點，通常(也是最簡單的情形)可以寫出如下的迭代序列：</p><p>　　,(2-25)</p><p>　　這里我們需要上面的迭代序列是收斂到不動點，也就是方程的解。假設(shè)g是可壓縮的，迭代序列就有可能是收斂的。圖2-5就是一種一維迭代收斂時的形式。</p><p>　　對于(2-25)的迭代方式，g能有很多種表示形式。這里

54、需要說明一下，g或許只依賴于f和。假如g不依賴于迭代次數(shù)k，g僅僅依賴于，我們就稱迭代(2-25)是單步定常迭代。假如g還是依賴于迭代次數(shù)k時，那么迭代形式可以表示為</p><p>　　,(2-26)</p><p>　　那就是單步非定常迭代。有的時候新的近似不僅僅依賴，還依賴于前幾次迭代得到的信息。這時，迭代就被稱為多步迭代。例如，要得出必須依賴于</p>

55、<p><b>　　那么迭代可寫為</b></p><p><b>　　(2-27)</b></p><p>　　我們把這種迭代叫做m步迭代。與之相類似地還有m步非定常迭代。</p><p>　　一般g被稱之為迭代函數(shù)。通過不同的方法構(gòu)造的迭代函數(shù)最后得到的結(jié)果也是不同的。設(shè)，如果通過迭代法可以得到一個序列，那

56、么就稱該序列是適定的。對于一個迭代法，起碼要求就是其適定性。</p><p>　　若是方程(2-23)的解，且序列滿足</p><p><b>　　(2-28)</b></p><p>　　則稱迭代序列收斂于。</p><p>　　定義2-1 設(shè)，是方程的其中一個解。如果有的一個鄰域，并且對所有初始值(在m步迭代法中，初

57、值為 )，一般都是適定的，而且它還收斂于，那么我們就把稱之為迭代序列的吸引點。</p><p>　　2.2.3 迭代法的收斂性與收斂階</p><p>　　定理2-4 假設(shè)是方程中的解，。若存在一個開球S = 和常數(shù)，使得對一切，有</p><p><b>　　(2-29)</b></p><p>　　那么對于任意，都是

58、迭代序列(2-25)的一個吸引點。</p><p>　　定理2-5 (Ostrowski) 設(shè)映象有一不動點，且在處F-可導，的譜半徑(即特征值的最大模)</p><p><b>　　(2-30)</b></p><p>　　則存在開球，對所有初始值，是迭代序列的一個吸引點。</p><p>　　我們可以看出定理2-4與

59、2-5都表明通過迭代法解得的結(jié)果在相對小的鄰域中收斂，這種收斂被稱之為局部收斂。換句話講只有知道方程(2-23)是有解的時候才討論的。假如我們并在不知道方程(2-23)是否有解，那么必須通過迭代初始近似符合的條件才能得到迭代序列收斂到方程的解，那么該迭代法就具有半局部收斂性。不管是局部收斂性還是半局部收斂性，他們的初始近似值都必須與解充分接近，這在實際計算中是很不方便的。假設(shè)有某個迭代法，它將域D中任一點看成近似，而且迭代序列都是可以收

60、斂到所求方程的解，我們就把這種收斂稱之為大范圍收斂。</p><p><b>　　定理2-6設(shè)</b></p><p>　　這里，，()為常數(shù)，映象存在一階連續(xù)偏導數(shù)，。如果存在常數(shù)滿足</p><p><b>　　(2-31)</b></p><p>　　上面是的第i個分量函數(shù)，(2-25)對于所

61、有初始近似都是收斂于g的不動點，且有</p><p>　　定義2-2 可以假設(shè)迭代序列收斂到，如有及常數(shù),使當時，有</p><p><b>　　(2-32)</b></p><p>　　那么序列至少p階收斂。當且時，那么該序列至少線性收斂。特例,當且是，稱序列至少平方收斂。</p><p>　　第三章 恒定電場中一維

62、線性諧振子</p><p>　　在恒定電場中，體系的哈密頓算符為</p><p>　　可以設(shè),帶入本征值方程,可得體系的薛定諤方程</p><p>　　為了計算的簡便，我們可以設(shè)，，化簡如下</p><p>　　也可以寫成一個等價微分方程</p><p><b>　　(3-1)</b></p

63、><p>　　通過變分法構(gòu)造其校正泛函</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　其中是拉格朗日乘數(shù)，代表限制變分，也就是。然后有</p><p><b>　　得到駐值條件：</b></p><p>　　解此方程可求得拉式乘子</p>&l

64、t;p>　　將其代入公式（3-2），可以得到以下迭代公式</p><p>　　根據(jù)方程（3-1），我們可以選取初始近似解，其中A和B是被確定的常數(shù)。施加邊界條件就可以得到K階迭代。例如，一階</p><p><b>　　（3-3）</b></p><p>　　這里我們施加一個邊界條件，即函數(shù)y1在和時滿足，得到</p>&l

65、t;p>　　將和代入上式（3-3），由于式子比較復雜，我們可以如下表述</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　因為A和B不能同時為0，即式（3-4）有非零解。這里可以構(gòu)造一個矩陣</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　當矩陣（3-5）

66、的值為零時，方程（3-4）有非零解，則</p><p><b>　　解該矩陣</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　由于該方程相對復雜，我們要借助MATLAB做運算。在MATLAB中，固定一個的值，該方程并不能求出關(guān)于的解析解。所以只能固定的值，任取，求出的數(shù)值解。通過附錄（1）中的程

67、序，得到的結(jié)果如下</p><p><b>　　表3-1 的數(shù)值解</b></p><p>　　由方程（3-4），我們可以得到</p><p>　　如果確定的值，我們可以通過MATLAB算出的值。通過附件（2）中的程序得到的結(jié)果如下</p><p>　　表3-2 B與A的比值</p><p>　

68、　得到A與B的比值后，可以令A=1(因為剛開始的時候A與B的值就是任取的），那么方程（3-3）就可以同時消去A和B。將表2中的各個值代入方程（3-3），便可以得到一階本征函數(shù)的數(shù)值解，其解是近似解。</p><p>　　可以通過繼續(xù)迭代得到較高精度的近似解。</p><p>　　對于本征能量的計算，將該體系的哈密頓算符帶入本征值方程得</p><p><b&g

69、t;　　可改寫成</b></p><p><b>　　令，整理得</b></p><p>　　把上式與理想中一維線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程比較，可得</p><p>　　所有該體系的本征能量為</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　接

70、下來我們驗算一下結(jié)果。由可知，與E成正比關(guān)系。再將與式（3-7）相結(jié)合，可以得到與E的大概關(guān)系</p><p>　　其中C與D均可看作常數(shù)，那么與的大概關(guān)系也可以得到</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　c與d也看作常數(shù)。通過表1中的計算結(jié)果，我們?nèi)。缓髮⑴c的值用MATLAB擬合做圖，如下圖（3-1）</

71、p><p>　　圖（3-1） 與的關(guān)系曲線</p><p>　　由圖可以看出與的關(guān)系基本滿足式（3-8）。</p><p>　　以上計算結(jié)果可以看出變分迭代法的一些優(yōu)點。比如應用廣義泛函限制變分的概念，我們可以很容易地求出拉氏乘子的近似解。還有在初始近似解的選擇上有很大自由，可以含有任意常數(shù)。并且通過初始近似解很快就能得到本征函數(shù)的一階近似解，繼續(xù)迭代便能得到較高精度的

72、近似解。</p><p><b>　　結(jié) 論</b></p><p>　　本文主要是利用變分迭代法求解恒定電場中一維線性諧振子,確定本征能量及本征函數(shù)的近似解。通過本文的計算，我們可以發(fā)現(xiàn)變分迭代法的很多優(yōu)點。比如可以很容易地通過限制變分求出拉氏乘子的近似解、構(gòu)造初始近似解和得到本征函數(shù)的一階近似解。但是在繼續(xù)迭代求較高精度的本征函數(shù)近似解時，計算會比較復雜。<

73、;/p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　幾個月的研究與努力，畢業(yè)設(shè)計終于成功完成了。此時此刻，自己感覺這段時間是那么充實，感受到了滿滿的成就感。</p><p>　　在這里，首先我要向我的導師周老師表示衷心的感謝。畢業(yè)設(shè)計論文是在周老師的悉心指導下完成的，從確定課題題目開始到論文的撰寫完成，期間，我遇到過許許多多的困難與

74、難題，周老師一直給予我信心和幫助。每次和周青春老師的探討和交流，我都能得到啟發(fā)。他淵博的知識積累，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，樸實無華的生活作風，一絲不茍的工作精神，平易近人的待人之道深深的感染了我，這些都是值得我終生去學習和追求的。</p><p>　　然后，在這次畢業(yè)設(shè)計中，我還要感謝我的幾個同學，還有一位學長的關(guān)心和幫助。</p><p>　　最后深深感謝我的家人對我的支持和理解，你們的愛讓我永

75、遠充滿動力。我一定不會辜負你們對我的期望。</p><p>　　我相信帶著這次畢業(yè)設(shè)計所收獲的寶貴財富，在未來的學習和生活道路上，我定會迎難而上，向著目標進發(fā)。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]. Jihua He. A new approach to nonlinear partial differen

76、tial equation. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation, 1997, 2: 230-235</p><p>　　[2]. L. Ahmad Sotani, Ahmad Shirzadi. A new modification of the variational iteration method. Computer

77、s and Mathematics with Applications. , 2010, 59: 2528-2535.</p><p>　　[3]. Samira Berkani, Farida Manseur, Amed Maidi. Optical control based on the variational iteration method, Computers and Mathematics wit

78、h Applications, 2012, 64：604-610</p><p>　　[4]. 趙青鋒. 待定系數(shù)法求解一維線性諧振子在微擾體系下的解析解. 大學物理, 2011, 30（5）：55-56</p><p>　　[5].J.S.Pang,D.Chan.Iterative methods for variational and complementarity problems.

79、Graduate School of Industrial Administration, Carnegie-Mellon University,School of Management and Administration, The University of Texas at Dallas.Mathematical Programming, 1982, Vol.24 (1), pp.284-313</p><p&

80、gt;　　[6]Jong-Shi Pang.Asymmetric variational inequality problems over product sets: Applications and iterative methods.School of Management, The University of Texas at Dallas.Mathematical Programming, 1985, Vol.31 (2), p

81、p.206-219</p><p>　　[7]M.A. Noor.Iterative methods for generalized variational inequalities.1Department of Mathematics and Statistics Dalhousie University Halifax, Nova Scotia, Canada, B3H 3J5.Applied Mathema

82、tics Letters, 2001, Vol.15 (1), pp.77-82</p><p>　　[8]Muhammad Aslam Noor, Khalida Inayat Noor.Three-step iterative methods for general variational inclusions in L P spaces.Mathematics Department, COMSATS In

83、stitute of Information Technology. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2008, Vol.27 (1), pp.281-291</p><p>　　[9]Malik Mamode.Variational iterative method and initial-value problems.Department of Ph

84、ysics, Laboratoire de Physique du Bâtiment et des Systèmes, University of La Réunion, France.Applied Mathematics and Computation, 2009, Vol.215 (1), pp.276-282</p><p>　　[10]Muhammad Aslam Noor

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86、6</p><p>　　[11]I. B. Badriev, V. V. Banderov.Iterative methods for solving variational inequalities of the theory of soft shells.Kazan (Volga Region) Federal University.Lobachevskii Journal of Mathematics, 2

87、014, Vol.35 (4), pp.371-383</p><p>　　[12]謝長珍.變分迭代法求解量子力學中的微擾問題.汕頭大學數(shù)學系 廣東汕頭　515063.江西科學, 2004, 72 (5) :24-33</p><p>　　[13]徐宇鋒.變分迭代法求解分數(shù)階自治常微分方程.湖北民族學院學報（自然科學版），2011,86 (3):53-56</p><p

88、><b>　　附錄</b></p><p><b>　　附錄（1）</b></p><p>　　固定的值，任取，求出的數(shù)值解（考慮到輸入方便，這里用代替，下同）</p><p>　　close all;</p><p><b>　　clear;</b></p>

89、<p><b>　　clc;</b></p><p>　　[l,r,u]=solve('(-(l^3)/u-(r*l^2)/u+(6*l)/(u^2)+(sin(-l*sqrt(u)))/sqrt(u)+(6*sin(sqrt(u)*(-l)))/(u^(5/2))+(4*r*sin(((sqrt(u)/2)*(-l))^2))/(u^2))*((l^2)/u-r*l/

90、u-2*(sin(((sqrt(u))*l)/2)^2)-(4*sin((((sqrt(u))/2)*l)^2))/(u^2)+(r*sin((sqrt(u))*l))/(u^(3/2))+1)-((l^2)/u+r*l/u-2*(sin(((sqrt(u))*(-l))/2)^2)-(4*sin((((sqrt(u))/2)*(-l))^2))/(u^2)+(r*sin((sqrt(u))*(-l)))/(u^(3/2))+1)*((

91、l^3)/u-(r*l^2)/u-(6*l)/(u^2)+(sin(l*sqrt(u)))/sqrt(u)+(6*sin(sqrt(u)*l))/(u^(5/2))+(4*r*sin(((sqrt(u)/2)*l)^2))/(u^2))','l=</p><p><b>　　附錄（2）</b></p><p><b>　　輸入的值，算出的解&

92、lt;/b></p><p>　　close all;</p><p><b>　　clear;</b></p><p><b>　　clc;</b></p><p>　　l=4.5 %l的數(shù)值可以改變</p><p>　　r=1 %r的數(shù)值可以改變</p>

93、<p>　　u=42.630441929205805633131834102275; %u的數(shù)值可以改變</p><p>　　a11=(-(l^3)/u-(r*l^2)/u+(6*l)/(u^2)+(sin(-l*sqrt(u)))/sqrt(u)+(6*sin(sqrt(u)*(-l)))/(u^(5/2))+(4*r*sin(((sqrt(u)/2)*(-l))^2))/(u^2));</

94、p><p>　　a22=((l^2)/u-r*l/u-2*(sin(((sqrt(u))*l)/2)^2)-(4*sin((((sqrt(u))/2)*l)^2))/(u^2)+(r*sin((sqrt(u))*l))/(u^(3/2))+1);</p><p>　　a12=((l^2)/u+r*l/u-2*(sin(((sqrt(u))*(-l))/2)^2)-(4*sin((((sqrt(

95、u))/2)*(-l))^2))/(u^2)+(r*sin((sqrt(u))*(-l)))/(u^(3/2))+1);</p><p>　　a21=((l^3)/u-(r*l^2)/u-(6*l)/(u^2)+(sin(l*sqrt(u)))/sqrt(u)+(6*sin(sqrt(u)*l))/(u^(5/2))+(4*r*sin(((sqrt(u)/2)*l)^2))/(u^2));</p>