神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)【畢業(yè)設(shè)計(jì)】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)</b></p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 應(yīng)用物理 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b&

3、gt;</p><p>　　【摘要】本文首先用非線性微分方程基本理論研究了典型的神經(jīng)元模型：Hodgkin-Huxley模型和Hindmarsh-Rose模型。得到了這兩個(gè)系統(tǒng)的定態(tài)點(diǎn)，并詳細(xì)地用李雅普諾夫定理研究了這些定態(tài)的穩(wěn)定性。找到了這兩個(gè)模型的共同點(diǎn)：都有三個(gè)平衡點(diǎn)，其中一個(gè)是穩(wěn)定的，即靜息位置，另外兩個(gè)是不穩(wěn)定的。接著在個(gè)人計(jì)算機(jī)上用最新的微分方程算法驗(yàn)證了以上結(jié)論，并研究了這兩個(gè)系統(tǒng)在外界電流刺激下的

4、響應(yīng)特性，考慮的外界因素主要有直流電的幅度。然后嘗試用回歸電路模型中的思想尋找李雅普諾夫直接法中普適的李雅普諾夫函數(shù)。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】神經(jīng)元模型；Hodgkin-Huxley方程；Hindmarsh-Rose方程；李雅普諾夫直接法的普適函數(shù)；</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　

5、要I</b></p><p>　　Abstract錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　目　錄II</b></p><p>　　1 神經(jīng)細(xì)胞的基本知識(shí)1</p><p>　　1.1 神經(jīng)元的基本生理結(jié)構(gòu)1</p><p>　　1.2 神經(jīng)元的電生理特性1</

6、p><p>　　1.3 神經(jīng)元的主要經(jīng)典模型2</p><p>　　1.3.1 MP（McCulloch&Pitts）模型2</p><p>　　1.3.2 Caianiello模型2</p><p>　　1.3.3 Hopfield神經(jīng)元模型3</p><p>　　1.3.4 Hodgkin-Huxley

7、神經(jīng)元模型4</p><p>　　1.3.5 FitzHugh-Nagumo神經(jīng)元模型6</p><p>　　1.3.6 Morris-Lecar神經(jīng)元模型7</p><p>　　1.3.7 Chay神經(jīng)元模型7</p><p>　　1.3.8 Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型8</p><p>　　2

8、 非線性微分方程基本知識(shí)10</p><p>　　2.1 非線性微分方程實(shí)例10</p><p>　　2.1.1 彈性系統(tǒng)10</p><p>　　2.1.2 德玻爾（Van der Pol）方程11</p><p>　　2.1.3 捕食模型——簡(jiǎn)單的生態(tài)系統(tǒng)模型11</p><p>　　2.2 非線性方程的

9、解及其穩(wěn)定性11</p><p>　　2.2.1 穩(wěn)定定態(tài)解11</p><p>　　2.2.2 發(fā)散解11</p><p>　　2.2.3 振蕩解12</p><p>　　2.3 解的穩(wěn)定性16</p><p>　　2.3.1 李雅普諾夫定理17</p><p>　　2.4 極限環(huán)

10、18</p><p>　　2.4.1 極限環(huán)型振蕩和軌道穩(wěn)定性18</p><p>　　2.5 分岔現(xiàn)象簡(jiǎn)介19</p><p>　　2.5.1 分岔和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性19</p><p>　　3 單個(gè)神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)特性20</p><p>　　3.1 HH神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)特性20</p><

11、;p>　　3.1.1 HH方程的定態(tài)及其穩(wěn)定性21</p><p>　　3.1.2 HH方程的計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果24</p><p>　　3.1.3 HH模型中膜電位關(guān)于參數(shù)——電流I的分岔圖26</p><p>　　3.2 HR模型的動(dòng)力學(xué)特性28</p><p>　　3.2.1 HR方程的定態(tài)及其穩(wěn)定性28</p>

12、<p>　　3.2.2 HR系統(tǒng)關(guān)于外界電流的分岔圖的討論29</p><p>　　3.3 HH方程和HR方程的特性的比較34</p><p>　　3.4 尋找李雅普諾夫判斷穩(wěn)定性直接法中的普適李雅普諾夫函數(shù)的一個(gè)初步嘗試34</p><p>　　4 FHN模型的driver-receiver耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為35</p>&l

13、t;p>　　4.1 考察噪聲對(duì)此耦合系統(tǒng)的影響35</p><p>　　4.1.1 計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果35</p><p>　　4.1.2 結(jié)論43</p><p>　　4.2 考察此系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的頻率響應(yīng)情況44</p><p>　　4.2.1 計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果44</p><p>　

14、　4.2.2 結(jié)論與討論47</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)47</b></p><p>　　附錄錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　神經(jīng)細(xì)胞的基本知識(shí)</b></p><p>　　神經(jīng)元的基本生理結(jié)構(gòu)</p><p>　　1873年，意大利組織學(xué)家C

15、amillo Golgi(高爾基）發(fā)明了一種新的細(xì)胞染色法，叫做銀染色法，可以把神經(jīng)組織中少數(shù)神經(jīng)細(xì)胞著色，并呈現(xiàn)神經(jīng)細(xì)胞的細(xì)節(jié)。而西班牙的組織學(xué)家Roman y Cajal(拉蒙·卡哈爾）運(yùn)用高爾基發(fā)明的銀染色法，并加以改進(jìn)，對(duì)神經(jīng)系統(tǒng)做了大量研究，逐漸認(rèn)識(shí)到神經(jīng)系統(tǒng)是由一個(gè)個(gè)細(xì)胞組成的，其基本結(jié)構(gòu)和功能單元是神經(jīng)細(xì)胞，稱作神經(jīng)元。</p><p>　　圖（1）神經(jīng)元的基本結(jié)構(gòu)</p>

16、<p>　　各種動(dòng)物體內(nèi)的神經(jīng)細(xì)胞的大小和形態(tài)各異，神經(jīng)細(xì)胞在神經(jīng)系統(tǒng)各部位發(fā)揮的作用也不一樣，但是它們有許多共性之處。神經(jīng)細(xì)胞一般由三部分組成：細(xì)胞體、樹突和軸突,如圖（1）所示。</p><p><b>　　神經(jīng)元的電生理特性</b></p><p>　　神經(jīng)元產(chǎn)生的電信號(hào)分成兩大類。第一大類是局部分級(jí)電位，由外來刺激所引起，諸如照射在光感受器上的光、使

17、毛細(xì)胞發(fā)生形變的聲波或壓迫感覺神經(jīng)末梢的觸刺激。還有在突觸部位產(chǎn)生的信號(hào)，其電特性十分相似，只是具有不同的起源。</p><p>　　第二大類是動(dòng)作電位，它由局部的分級(jí)電位產(chǎn)生。與局部電位不同，動(dòng)作電位迅速地做長(zhǎng)距離傳播，例如，從眼沿視神經(jīng)中的神經(jīng)節(jié)細(xì)胞軸突傳至高級(jí)中樞，或從脊髓中的運(yùn)動(dòng)神經(jīng)元傳至腿部肌肉。與局部分級(jí)電位的另一點(diǎn)不同是，發(fā)生在神經(jīng)元中的動(dòng)作電位，其振幅和時(shí)程是固定不變的，就像莫爾斯電碼中的點(diǎn)一樣。

18、重要的是，要認(rèn)識(shí)到這些沿著視神經(jīng)纖維傳送的動(dòng)作電位，并非作為伴生物而存在。它們是為腦提供視覺世界信息的唯一信號(hào)。</p><p>　　電信號(hào)的一個(gè)重要特征是，它們?cè)隗w內(nèi)所有神經(jīng)細(xì)胞中實(shí)際上是相同的，不管它們是傳遞運(yùn)動(dòng)的指令，傳送關(guān)于顏色、形狀或疼痛刺激的信息，還是在腦的不同區(qū)域間進(jìn)行相互聯(lián)系。電信號(hào)的另一個(gè)重要特征是，它們?cè)诓煌N動(dòng)物間是如此相似，以至于人們不能肯定回答，攝影記錄的某一動(dòng)作電位是來自鯨、小鼠、猴、

19、毒蜘蛛，還是教授的神經(jīng)纖維。從這層意義上講，可以認(rèn)為動(dòng)作電位是一種定型的單元，它們?cè)谒幸蜒芯窟^的神經(jīng)系統(tǒng)中是信息交換的共同錢幣。</p><p>　　神經(jīng)元的主要經(jīng)典模型</p><p>　　從神經(jīng)元的輸入/輸出特性來看，可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示神經(jīng)元，輸入是自變量，輸出是因變量。</p><p>　　MP（McCulloch&Pitts）模型</p&

20、gt;<p>　　神經(jīng)元的MP模型是神經(jīng)科學(xué)史上最早的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，提出于1943年。他用數(shù)理邏輯的工具刻畫神經(jīng)元和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為特性。</p><p>　　MP模型中的基本假設(shè)：</p><p>　　假設(shè)神經(jīng)元由三類不同的形式神經(jīng)元構(gòu)成：向心神經(jīng)元，它面向環(huán)境，接受外界刺激，輸出到其它神經(jīng)元；中間神經(jīng)元，它與環(huán)境沒有直接聯(lián)系；效應(yīng)神經(jīng)元，它是系統(tǒng)的輸出單元，可作用于環(huán)境。&

21、lt;/p><p>　　形式神經(jīng)元可能處于兩種不同的狀態(tài)之一，或興奮（用1表示），或處于抑制狀態(tài)（用0表示）。</p><p>　　形式神經(jīng)元之間有兩類不同的突觸聯(lián)系，一類興奮性突出聯(lián)系，兩一類抑制性聯(lián)系。</p><p>　　抑制性突觸對(duì)下一級(jí)形式神經(jīng)元起“否決權(quán)”作用。</p><p>　　興奮性突觸數(shù)超過一定值（閾值）是，形式神經(jīng)元才興奮。

22、</p><p>　　興奮性通過突觸時(shí)，有一個(gè)單位時(shí)間的延擱，這個(gè)延擱時(shí)間是整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中信息傳遞唯一的耗時(shí)過程。它是形式神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的節(jié)拍單元。</p><p>　　圖（2）MP神經(jīng)元模型</p><p>　　Kleen于1956年把MP模型加以系統(tǒng)整理和提高，從數(shù)學(xué)上發(fā)展出一種有限自動(dòng)機(jī)理論，從理論上證明，形式神經(jīng)元系統(tǒng)與數(shù)字計(jì)算機(jī)有相同的表達(dá)能力。<

23、/p><p>　　由于MP模型是基于邏輯的，而且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)在運(yùn)行過程中不會(huì)改變，因此不可能模擬神經(jīng)系統(tǒng)的最主要優(yōu)點(diǎn)：適應(yīng)功能、學(xué)習(xí)和記憶功能。</p><p>　　Caianiello模型</p><p>　　Caianiello是意大利理論物理學(xué)家，他于1961年提出神經(jīng)方程，來描述神經(jīng)系統(tǒng)的功能行為。Caianiello模型中的時(shí)間變量是離散的。設(shè)n個(gè)神經(jīng)元Ui

24、（i-1,2，。。。，n）排成一列，它們之間有相互連接，因此可互相影響形成網(wǎng)絡(luò)，這種相互影響不僅發(fā)生在當(dāng)時(shí)（t時(shí)刻）而且還有一個(gè)時(shí)間效應(yīng)，包括過去t-k時(shí)刻內(nèi)狀態(tài)都有相互作用（圖（））。設(shè)t-r（r=1,2，…，k）時(shí)刻第j個(gè)神經(jīng)元Uj（t-r）的狀態(tài)影響到t時(shí)刻第i個(gè)神經(jīng)元Ui（t），它的作用系數(shù)用aij（r）表示。再假設(shè)Ui（t）取兩種狀態(tài)（0或1）之一，它取興奮狀態(tài)（1狀態(tài)）的條件是t時(shí)刻它接收來自其他單元對(duì)它的作用（包括過去時(shí)刻

25、）之總和，以及它受到的外界刺激Pi（t）大于它的閾值。否則處于抑制狀態(tài)（0狀態(tài)）。把這個(gè)關(guān)系寫成函數(shù)表達(dá)式，即：</p><p><b>　　其中單位函數(shù)為：</b></p><p>　　總和項(xiàng)表示神經(jīng)元對(duì)于來自其它神經(jīng)元的輸出進(jìn)行空間加權(quán)總和，而表示時(shí)間總和。所以神經(jīng)元對(duì)來自其它神經(jīng)元的輸出進(jìn)行時(shí)間和空間加權(quán)總和，加權(quán)系數(shù)是一矩陣：</p><p

26、>　　Caianiello運(yùn)用表示不應(yīng)期，如果取相當(dāng)大的負(fù)值，則使得函數(shù)的取值處于負(fù)數(shù)，因此，為零。Caianiello建議分三段取值：</p><p>　　其中是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)，是的單調(diào)函數(shù)，的變化是連續(xù)的，把稱為絕對(duì)不應(yīng)期，為相對(duì)不應(yīng)期。</p><p>　　Hopfield神經(jīng)元模型</p><p>　　美國(guó)理論物理學(xué)家Hopfield從神經(jīng)元的膜電位變

27、化的角度，提出一個(gè)神經(jīng)元模型，以這種模型為基本單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以作為聯(lián)想記憶的理論模型，也可解決數(shù)學(xué)上的一些困難問題（例如：旅行推銷員問題，TSP問題），從而揭開20世紀(jì)80年代中期開始的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)的序幕。</p><p>　　此模型的原始形式：設(shè)神經(jīng)元的膜電位用表示，是它的輸入電容，是漏電阻，是外電流輸入，是第個(gè)突觸的聯(lián)系強(qiáng)度，是的非線性函數(shù)，一般取形曲線或階躍函數(shù)。因此，神經(jīng)元膜電位的變化由下式?jīng)Q定：&

28、lt;/p><p>　　上式中非線性函數(shù)或取階躍函數(shù)：</p><p><b>　　或取形曲線：</b></p><p>　　Hopfield方程可改寫為一般表達(dá)式：</p><p>　　上式中，為神經(jīng)元的膜電位，為衰減時(shí)間常數(shù)，是第個(gè)突觸輸入的聯(lián)系系數(shù)，是外界輸入，為閾值，是輸出值，為非線性函數(shù)。</p>&

29、lt;p>　　Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型</p><p>　　圖（3）Hodgkin-Huxley神經(jīng)元模型的等效電路</p><p>　　Hodgkin-Huxley做了“鈉離子對(duì)槍烏賊大纖維中產(chǎn)生的動(dòng)作電位的作用”的實(shí)驗(yàn)，根據(jù)一系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析，他們確認(rèn)經(jīng)軸突膜上具有兩種主要的讓離子通過的通道，即K離子通道和Na離子通道，此外還有讓次要離子通過的通道。基于這些結(jié)果，

30、軸突膜可用如圖的等效電路來描述，圖中個(gè)通道中等效電路的電動(dòng)勢(shì)是細(xì)胞膜內(nèi)外各離子濃度差引起的濃差電位。</p><p>　　基于等效電路和槍烏賊巨軸突的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Hodgkin和Huxley于1952年建立了著名的HH神經(jīng)元模型，此模型是由四個(gè)變量耦合作用組成的常微分方程組：</p><p>　　方程中的和函數(shù)滿足：</p><p>　　其中方程組里面的變量和參數(shù)解釋

31、如下：</p><p>　　I：通過細(xì)胞膜的各電流之和；</p><p><b>　　V：神經(jīng)元膜電位；</b></p><p><b>　　C：膜電容；</b></p><p>　?。篘a離子通道中每個(gè)門打開概率，這樣的門有三個(gè)；</p><p>　　：K離子通道中每個(gè)門打

32、開概率，這樣的門有四個(gè)；</p><p>　?。篘a離子通道中另一種門打開概率，這樣的門只有一個(gè)；</p><p>　?。篘a離子的最大電導(dǎo)率；</p><p>　?。篕離子的最大電導(dǎo)率；</p><p>　?。郝┝鞯淖畲箅妼?dǎo)率；</p><p>　?。耗?nèi)外Na離子的濃度差引起的濃度差電位；</p>&

33、lt;p>　?。耗?nèi)外Na離子的濃度差引起的濃度差電位；</p><p>　?。浩渌ǖ栏鞣N離子的濃度差引起的有效可逆電位。</p><p>　　FitzHugh-Nagumo神經(jīng)元模型</p><p>　　FitzHugh，Nagumo等把HH神經(jīng)元模型中的方程簡(jiǎn)化后提出一個(gè)神經(jīng)元膜電位的FHN模型：</p><p>　　其中是膜電位

34、，是興奮電流，代表快速去極化電流，和是經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。這個(gè)模型也能描述動(dòng)作電位的基本特性，而且運(yùn)算量降低許多。</p><p>　　Morris-Lecar神經(jīng)元模型</p><p>　　ML模型是HH神經(jīng)元模型的簡(jiǎn)化，它是基于針對(duì)一種北極鵝的肌肉纖維的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果而建立起來的神經(jīng)元模型。其對(duì)應(yīng)的微分方程為：</p><p>　　其中，V表示膜電位，W是一個(gè)恢復(fù)變量，表示

35、K離子通道開放概率的演化過程，C是膜電容，φ是表示神經(jīng)元快慢尺度之間的變化，gCa，gK，gL分別是Ca，K和漏電流通道的最大電導(dǎo)，VCa，VK，VL分別是相應(yīng)于上述通道的反轉(zhuǎn)電壓，IDC是來自環(huán)境的總的突觸輸入電流（包括前突觸神經(jīng)元傳入的電流和外部的刺激電流等），m∞（Ｖ），Ｗ∞（V)分別是Ca離子通道和K離子通道打開概率的穩(wěn)態(tài)值，它們滿足如下方程：</p><p>　　其中，，是系統(tǒng)參數(shù)，其取值依賴于和的取值

36、，和分別表示依賴于電壓的和的斜率的倒數(shù)。</p><p><b>　　Chay神經(jīng)元模型</b></p><p>　　Chay模型是20世紀(jì)末，基于Ca離子有關(guān)的K離子通道起重要作用的許多不同類型的可興奮性細(xì)胞，如神經(jīng)元、心肌細(xì)胞、感覺末梢、神經(jīng)起搏點(diǎn)以及冷覺感受器等，而建立的具有統(tǒng)一性的新理論模型。Chay模型考慮了細(xì)胞膜上具有的三種主要通道：可讓Na離子和Ca離子

37、進(jìn)入細(xì)胞的依賴電位的混合通道，可讓K離子流出的依賴電位的K離子通道和不依賴電位但依賴膜內(nèi)Ca離子濃度的K離子通道，而且Chay模型的簡(jiǎn)歷考慮了實(shí)際可興奮性細(xì)胞的差異而提出了混合通道，其中混合電導(dǎo)gl和混合可逆電位Vl表示作用無關(guān)的Na離子通道和Ca離子通道。這樣，Chay模型是僅包含三個(gè)動(dòng)力學(xué)變量的較簡(jiǎn)單、且無需外界電流激勵(lì)的模型，方程如下：</p><p>　　其中方程（1）表示細(xì)胞膜電位V的變化所遵循的微分方

38、程，等號(hào)右邊四項(xiàng)分別為混合Na離子-Ca離子通道中的電流、電導(dǎo)依賴電位的K離子通道電流、電導(dǎo)不依賴電位而依賴細(xì)胞膜內(nèi)Ca離子濃度的K離子通道電流后漏電流；VK、Vl和VL分別是K離子通道、混合Na離子-Ca離子通道和漏電離子通道的可逆電位；，，和分別代表各通道的最大電導(dǎo)。方程（2）表示依賴于電位的K離子通道打開的概率的變化規(guī)律，其中是弛豫時(shí)間。方程（3）表示細(xì)胞膜內(nèi)Ca離子濃度的變化規(guī)律，右邊兩項(xiàng)分別表示進(jìn)出膜的Ca離子；是細(xì)胞內(nèi)Ca離

39、子流出的比率常數(shù)，是Ca離子通道的可逆電位。</p><p>　　方程（1）-（3）中的和分別是混合Na離子-Ca離子通道激活和失活的概率的穩(wěn)態(tài)值，是K離子通道打開概率n的穩(wěn)態(tài)值，它們的具體表達(dá)式為</p><p><b>　　其中</b></p><p>　　Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型</p><p>　　

40、Hindmarsh和Rose根據(jù)由電壓鉗實(shí)驗(yàn)獲得的關(guān)于蝸牛神經(jīng)細(xì)胞的數(shù)據(jù)，于1982年提出了HR神經(jīng)元模型。實(shí)際上，HR模型是FHN模型的推廣，模型中假設(shè)膜電位的變化率線性依賴于通過電極的電流（z）和內(nèi)電流（y），并且非線性依賴于膜電位x，其方程如下：</p><p>　　同時(shí)，模型中假設(shè)內(nèi)電流的變化率由以下方程給出：</p><p>　　為了確定函數(shù) 和 的形式，他們對(duì)池塘蝸牛的內(nèi)臟神經(jīng)

41、節(jié)做了大量的實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最后給出， ，其中，，，和都是常數(shù)。</p><p>　　之后，Hindmarsh和Rose于184年將此模型做了進(jìn)一步的修改。他們?cè)趯?shí)驗(yàn)中觀察到，池塘蝸牛的腦神經(jīng)起初處于靜息態(tài)而不放電，當(dāng)輸入短的去極化電流脈沖式，會(huì)產(chǎn)生一簇比輸入電流持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng)的動(dòng)作電位。為了解釋這種有去極化電流引發(fā)的簇放電現(xiàn)象，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)原來的模型稍作變形就會(huì)產(chǎn)生另外兩個(gè)平衡點(diǎn)，于是變形后具有三個(gè)平衡點(diǎn)的模型有

42、一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)和一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。因此，輸入短的電流脈沖引發(fā)了由靜息態(tài)（穩(wěn)定平衡點(diǎn)）到反復(fù)放電狀態(tài)（穩(wěn)定極限環(huán)）的轉(zhuǎn)變。然后，他們又引入另外一個(gè)具有慢時(shí)間尺度的微分方程，用來調(diào)節(jié)一簇反復(fù)放電狀態(tài)和靜息態(tài)之間的轉(zhuǎn)變。最后經(jīng)修改后的HR神經(jīng)元模型如下：</p><p>　　其中代表神經(jīng)細(xì)胞的膜電位，是與內(nèi)電流相關(guān)的回復(fù)變量，表示與Ca有關(guān)的K離子電流相關(guān)的慢變調(diào)節(jié)電流。，，，，，以及都是系統(tǒng)參數(shù)，表示外界直流激勵(lì)。

43、</p><p>　　非線性微分方程基本知識(shí)</p><p><b>　　非線性微分方程實(shí)例</b></p><p>　　在介紹非線性微分方程的理論之前先從大家熟悉的知識(shí)中引入幾個(gè)非線性微分方程的實(shí)例，主要有彈性系統(tǒng)、范德玻爾方程和捕食模型。</p><p><b>　　彈性系統(tǒng)</b></p

44、><p>　　人們熟知的彈性系統(tǒng)中的胡克定律如下：</p><p>　　式中表示離開平衡點(diǎn)的位移，為常數(shù)。那么系統(tǒng)的恢復(fù)力與位移成正比：</p><p>　　由牛頓第二定律易得此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：</p><p>　　此為一線性二階常微分方程。</p><p>　　但實(shí)際上許多彈性系統(tǒng)（鋼筋、木板等）并不嚴(yán)格服從這樣的規(guī)律

45、，而是下面更精確的形式：</p><p>　　式中，，同樣為常數(shù)，則此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：</p><p>　　例如，耳膜振動(dòng)的的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：</p><p>　　若有外界的驅(qū)動(dòng)，設(shè)為，則耳膜的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋?lt;/p><p>　　若考慮到阻尼的作用，則為：</p><p>　　捕食模型——簡(jiǎn)單的獵物系統(tǒng)模型<

46、/p><p>　　德玻爾（Van der Pol）方程</p><p>　　另一種常見的非線性是由于系統(tǒng)受到的阻尼作用是非線性的。范德玻爾在研究電子管振蕩器時(shí)提出了這一方程：</p><p>　　捕食模型——簡(jiǎn)單的生態(tài)系統(tǒng)模型</p><p>　　在一定區(qū)域內(nèi)的某些動(dòng)物的數(shù)量有起伏或周期性變化，如亞得里亞海中有兩種魚類，其中一種以另一種為食，它們

47、的數(shù)量常常是交替地增加和減少。美國(guó)生態(tài)學(xué)家洛特卡和意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉為解釋這種現(xiàn)象提出了一個(gè)模型如下：</p><p>　　設(shè)x和y分別表示某地區(qū)獵物和捕食者兩種群得數(shù)量，它們隨時(shí)間的變化包括兩部分：生育和死亡。獵物x的增長(zhǎng)率與其現(xiàn)有數(shù)量成正比，其消亡是由于捕食者y的捕食，因此其消亡速率既與x成正比又應(yīng)與y成正比。捕食者y的繁殖速率也應(yīng)與其自身數(shù)量和獵物數(shù)量成正比，其消亡速率則與其數(shù)量y成正比。則此生態(tài)系統(tǒng)的演

48、化規(guī)律為：</p><p>　　式中，，，都是常數(shù)。</p><p>　　非線性方程的解及其穩(wěn)定性</p><p>　　常微分方程都可以化為自治的一階常微分方程組。</p><p>　　除少數(shù)情形外，大多數(shù)非線性方程都不存在解析解，但是超級(jí)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以得到非常復(fù)雜系統(tǒng)的數(shù)值解。</p><p>　　一般來

49、說，非線性方程的解大體有以下四種形式。</p><p><b>　　穩(wěn)定定態(tài)解</b></p><p>　　在上個(gè)方程中，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量不隨時(shí)間變化。我們程滿足上式的狀態(tài)為定態(tài)。定態(tài)有穩(wěn)定與不穩(wěn)之分。所謂穩(wěn)定定態(tài)，是指方程的解經(jīng)過初始階段的暫態(tài)過程后，各變量都將趨于穩(wěn)定不變的數(shù)值。相空間中的軌線在這一不同點(diǎn)處的斜率不定，這種斜率不定的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。</p&g

50、t;<p><b>　　發(fā)散解</b></p><p>　　當(dāng)定態(tài)是不穩(wěn)時(shí)，方程的解可能是發(fā)散的，即賦予以有限的初值，，將隨時(shí)間無限制地偏離有限值。對(duì)于大多數(shù)問題，這類發(fā)散解不具有實(shí)際意義。</p><p><b>　　振蕩解</b></p><p>　　對(duì)于許多實(shí)際問題，方程既沒有穩(wěn)定的定態(tài)，解又不發(fā)散，而

51、是隨時(shí)間振蕩，即解總是在一定的數(shù)值范圍內(nèi)不停地變化。這大體上又分兩種情形：</p><p><b>　　周期振蕩 </b></p><p>　　這時(shí)狀態(tài)變化總是周而復(fù)始地進(jìn)行，即振蕩具有確定的周期，方程的解在相空間的軌跡為閉曲線。除少數(shù)情形外，多數(shù)非線性方程的周期解都與初始條件無關(guān)，而只由方程本身及其中的參數(shù)值決定。如圖（4）-圖（8）所示是用計(jì)算機(jī)求得的范德玻爾方程

52、的解。</p><p>　　圖（4）范德玻爾方程的解（μ=0.1）</p><p>　　圖（5）范德玻爾方程的解（μ=1）</p><p>　　圖（6）范德玻爾方程的解（μ=10）</p><p>　　圖（7）范德玻爾方程的解（μ=1000）</p><p>　　圖（8）范德玻爾方程的解（μ=10000）</p&

53、gt;<p>　　圖（9）周期解在相平面上形成的極限環(huán)（初始值在極限環(huán)上）</p><p>　　圖（10）周期解在相平面上形成的極限環(huán)（初始值不在極限環(huán)上）</p><p>　　可以看出，此時(shí)振蕩在相平面上是用孤立的閉曲線表示，不同初始條件的解得軌跡經(jīng)過一段暫態(tài)過程最后都落在此閉曲線上。相平面上這種孤立的閉曲線稱為極限環(huán)。</p><p><b&

54、gt;　　混沌 </b></p><p>　　這種振蕩沒有確定的波形，從而沒有一定的周期?？疾煜旅嬗凶枘嵊序?qū)動(dòng)彈性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程的解，見圖（11）。</p><p><b>　　即</b></p><p>　　取= -1，=15 ，=-0.1 ，。</p><p><b>　　圖（11）</b

55、></p><p>　　這種非周期的隨機(jī)性解就是所謂的混沌。</p><p>　　還有一種情形也會(huì)出現(xiàn)：一個(gè)非線性方程組不止一個(gè)定態(tài)，這些定態(tài)的穩(wěn)定性也不一樣，這是解將取什么形式呢？當(dāng)方程的解有不止一個(gè)定態(tài)時(shí)，整個(gè)相空間可能被劃分為不同流域或吸引區(qū)，不同流域中的軌線將趨于不同的穩(wěn)定定態(tài)或振蕩狀態(tài)，當(dāng)然有點(diǎn)也可能趨于無窮遠(yuǎn)。如果對(duì)這種系統(tǒng)加上含時(shí)作用，系統(tǒng)相空間的維數(shù)被擴(kuò)大了，定態(tài)性質(zhì)

56、也可能發(fā)生變化。這時(shí)，系統(tǒng)可能在原來那些定態(tài)之間做周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)。</p><p>　　當(dāng)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定態(tài)時(shí)，自然也會(huì)趨于上述各狀態(tài)。</p><p><b>　　解的穩(wěn)定性</b></p><p>　　由上面的討論可以看出，非線性方程的形式或性質(zhì)與其定態(tài)解是否穩(wěn)定有重要關(guān)系。從實(shí)際情況也可以看出，解特別是定態(tài)解的穩(wěn)定性有著十分重要的意義。

57、因?yàn)橐粋€(gè)系統(tǒng)，無論是力學(xué)的、化學(xué)的，還是生物的或是社會(huì)現(xiàn)象的，在任何時(shí)候總是不可避免地要受到各種擾動(dòng)作用。這些擾動(dòng)可以是周圍環(huán)境不可避免的微小變化，如氣流、溫度或電磁場(chǎng)等的起伏，也可以是系統(tǒng)內(nèi)在的起伏。所謂描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方程的解是穩(wěn)定的，是指系統(tǒng)即使在這些不可避免的擾動(dòng)下偏離此解所表征的狀態(tài)，它仍將自動(dòng)返回此狀態(tài)，即系統(tǒng)可以長(zhǎng)期穩(wěn)定地處于此狀態(tài)，或至少不會(huì)偏離此狀態(tài)太遠(yuǎn)。反之，我們說方程的解是不穩(wěn)的，是指在不可避免的擾動(dòng)下系統(tǒng)一旦稍許偏

58、離此狀態(tài)，它將不能返回此狀態(tài)，而是更加偏離此狀態(tài)。這表示系統(tǒng)即使某一時(shí)刻處于此狀態(tài)，它也會(huì)立刻自動(dòng)地偏離此狀態(tài)而達(dá)到其它狀態(tài)，此狀態(tài)自然是不穩(wěn)定的。顯然，這種不穩(wěn)定的解不能代表實(shí)際存在的狀態(tài)。</p><p>　　如前所述，周期解或混沌解存在與否跟定態(tài)解的穩(wěn)定性有關(guān)，因此判斷定態(tài)解的穩(wěn)定性更有著重要意義。</p><p>　　為了精確地表述穩(wěn)定性概念，特引入以下定義：</p>

59、<p>　　設(shè)時(shí)方程的解為，另一受擾動(dòng)偏離它的解為。如果對(duì)于任意小的數(shù)，總有一小數(shù)存在，使得當(dāng)</p><p><b>　　必有</b></p><p>　　則稱解是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡(jiǎn)稱李雅普諾夫穩(wěn)定的或穩(wěn)定的。</p><p><b>　　如果解是穩(wěn)定的，且</b></p><p

60、>　　則稱此解是漸進(jìn)穩(wěn)定的。</p><p>　　不滿足李雅普諾夫穩(wěn)定的解稱為不穩(wěn)定解。</p><p>　　李雅普諾夫穩(wěn)定性表示在擾動(dòng)或初始條件發(fā)生小的變化時(shí)，解不致發(fā)生太大的偏離。在漸進(jìn)穩(wěn)定條件下，即使受到擾動(dòng)，系統(tǒng)最終仍將回到無擾動(dòng)時(shí)的解。在不穩(wěn)定情形下，初始條件的適當(dāng)改變，就足以使解得偏離超出任意給定的范圍。</p><p>　　可以看出，前面講的穩(wěn)定

61、定態(tài)就是漸進(jìn)穩(wěn)定的；振蕩解不是漸進(jìn)穩(wěn)定的，但是李雅普諾夫穩(wěn)定的，因?yàn)榻馐冀K是限定在一定的氛圍內(nèi)，發(fā)散解自然是不穩(wěn)定的。</p><p><b>　　李雅普諾夫定理</b></p><p>　　李雅普諾夫?qū)Ψ匠探獾姆€(wěn)定性研究的貢獻(xiàn)突出表現(xiàn)在他提出了判斷穩(wěn)定性的兩種方法。李雅普諾夫第一法（又稱李雅普諾夫間接法）是把非線性方程在奇點(diǎn)（定態(tài)）附近線性化，然后利用線性方程來判斷

62、定態(tài)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二法又稱李雅普諾夫直接法，它是仿照力學(xué)中用能量判斷平衡態(tài)的穩(wěn)定性那樣，不用求解方程，而是用類似力學(xué)中能量的函數(shù)直接作出判斷。我們先介紹直接法，再介紹間接法。</p><p>　　為了用李雅普諾夫直接法判斷定態(tài)解的穩(wěn)定性，在相空間（或經(jīng)過坐標(biāo)變換）取定態(tài)為原點(diǎn)并引入定義：</p><p>　　定義1：設(shè)為相空間坐標(biāo)原點(diǎn)的鄰域D（）中的連續(xù)函數(shù)，而且是正定的，即除原點(diǎn)

63、外，對(duì)所有D中別的店 。我們稱這樣的為李雅普諾夫函數(shù)。</p><p>　　定義2：沿方程的解的全導(dǎo)數(shù)為</p><p>　　李雅普諾夫直接法判斷定態(tài)解的穩(wěn)定性三定理：</p><p>　　定理1：如果對(duì)于微分方程組存在一李雅普諾夫函數(shù) ，其全導(dǎo)數(shù) 是負(fù)半定的，則方程的定態(tài)解是穩(wěn)定的。</p><p>　　定理2：如果對(duì)于方程組存在一李雅普諾

64、夫函數(shù) ，其全導(dǎo)數(shù) 是負(fù)定的，也就是說，如果除原點(diǎn)外， ，則方程的定態(tài)解是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　定理3：如果對(duì)于方程組存在一李雅普諾夫函數(shù) ，其全導(dǎo)數(shù) 也是正定的，則方程的定態(tài)解是不穩(wěn)定的。</p><p><b>　　極限環(huán)</b></p><p>　　非線性系統(tǒng)的周期過程除了極少數(shù)可能是上節(jié)所述的與初始條件有關(guān)的守恒振蕩外，大多

65、數(shù)都應(yīng)該是極限環(huán)型的。即極限環(huán)可以認(rèn)為是最典型的非線性周期過程。本節(jié)討論有關(guān)極限環(huán)的一些基本規(guī)律。</p><p>　　極限環(huán)型振蕩和軌道穩(wěn)定性</p><p>　　我們?nèi)砸苑兜虏柗匠虨榈湫屠娱_始對(duì)極限環(huán)的討論。</p><p>　　在節(jié)中，我們已經(jīng)講到，范德玻爾方程在時(shí)的周期解是極限環(huán)。極限環(huán)的特點(diǎn)是它附近的軌線都趨向此環(huán)，正因?yàn)檫@樣，極限環(huán)才可能是孤立的，即

66、它不像線性方程的中心附近可以用連續(xù)無窮多的閉曲線。</p><p>　　從節(jié)的分析可知，時(shí)范德玻爾的奇點(diǎn)（0,0）是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)或穩(wěn)定焦點(diǎn)，此時(shí)范德玻爾解的軌線都要趨于此奇點(diǎn)，從而不可能形成閉曲線。只有當(dāng)時(shí)，奇點(diǎn)不穩(wěn)定，于是才有可能出現(xiàn)振蕩解，我們現(xiàn)在就從物理概念來分析為什么范德玻爾方程中阻尼系數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)型振蕩。</p><p><b>　　分岔現(xiàn)象簡(jiǎn)介</b>&l

67、t;/p><p>　　現(xiàn)在來研究非線性方程求解中常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象——分岔。</p><p><b>　　分岔和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性</b></p><p>　　從上節(jié)關(guān)于范德玻爾方程的分析可以看出，非線性方程中參數(shù)μ取值不同，解的形式可以不同，特別是當(dāng)μ從負(fù)值經(jīng)過零變?yōu)檎龝r(shí)，解的形式或性質(zhì)發(fā)生了突變：相平面中的軌線由一些趨向原點(diǎn)的螺線變?yōu)槔@原點(diǎn)的一些閉曲線，

68、最后形成極限環(huán)。解的形式或性質(zhì)依賴于方程中參數(shù)哦取值這一事實(shí)在線性方程中也曾遇到過。如大家熟知的線性阻尼振子的阻尼系數(shù)在某一臨界值附近由小變大時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)可以由減幅振動(dòng)變?yōu)橹笖?shù)衰減。這對(duì)應(yīng)于相平面中原點(diǎn)由穩(wěn)定焦點(diǎn)變?yōu)榉€(wěn)定結(jié)點(diǎn)。在范德玻爾方程中，這就是發(fā)生在μ=-2ω處的變化。但范德玻爾方程發(fā)生在μ=0處的變化卻是更突然更劇烈：定態(tài)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，并使軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突變。這往往只是非線性方程所特有的。</p><

69、;p>　　對(duì)于非線性方程組（式中μ是參數(shù)）</p><p>　　如果參數(shù)μ在其某一值附近微小變化將引起運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)（或相空間解的軌線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）發(fā)生突變，則此現(xiàn)象稱為分岔（bifurcation），此時(shí)的參數(shù)值稱為臨界值或分岔值。在以參數(shù)μ為坐標(biāo)的軸上，μ=的點(diǎn)稱為分岔點(diǎn)，而不會(huì)引起解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化的點(diǎn)則稱為常點(diǎn)。如前述的范德玻爾方程，它在μ=0處出現(xiàn)分岔，μ=0就是分岔值或分岔點(diǎn)，所有和 的點(diǎn)都是常點(diǎn)，

70、分岔現(xiàn)象表示范德玻爾振子在正阻尼和負(fù)阻尼之間運(yùn)動(dòng)有著本質(zhì)差別。</p><p>　　非線性方程的解在常點(diǎn)不會(huì)發(fā)生本質(zhì)變化，我們稱這時(shí)的解具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。即結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性表示在參數(shù)微小變化時(shí)，解的軌線仍維持在原軌線的某一鄰域內(nèi)。反之，在分岔點(diǎn)附近，參數(shù)值的微小變化足以引起解的本質(zhì)變化，即解的軌線不可能維持在原軌線的某一鄰域內(nèi)，我們稱這時(shí)的解是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的。因此分岔現(xiàn)象與結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定是互相關(guān)聯(lián)的。</p>&

71、lt;p>　　分岔現(xiàn)象普遍存在于許多非線性問題中，我們?cè)倥e一形象的個(gè)例子。一水平橡膠右端固定，從左端加以水平方向力F，考察棒的形狀將如何變化。很顯然，當(dāng)力F是向左時(shí)，棒仍處于水平位置，形狀（除稍有伸長(zhǎng)外）無變化?，F(xiàn)在把力F改為向右。當(dāng)F較小時(shí)，棒雖受壓，但也不會(huì)偏離其水平位置。繼續(xù)加大力F，當(dāng)F達(dá)到某一值Fc時(shí)，棒將突然發(fā)生彎曲。</p><p>　　單個(gè)神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)特性 </p><

72、p>　　HH神經(jīng)元模型的動(dòng)力學(xué)特性</p><p>　　因?yàn)樯窠?jīng)元可以組成具有復(fù)雜功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，目前在對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)沒有太多的認(rèn)識(shí)的情況下，就很有必要繼續(xù)對(duì)單個(gè)神經(jīng)元的特性進(jìn)行全面而深入的探索。這里主要考慮具有里程碑意義的HH方程和HR方程。使用的方法主要是非線性微分方程的基本理論和計(jì)算機(jī)模擬。</p><p>　　因?yàn)镠H模型相當(dāng)真實(shí)地再現(xiàn)了軸突細(xì)胞膜的生理特性，只是參變量太多，相反

73、，HR模型比較簡(jiǎn)單，卻也被眾多學(xué)者引用，這里也順便比較一下兩者的性質(zhì)。</p><p>　　式中的和作為電勢(shì)差的函數(shù)，它們?nèi)缦玛P(guān)系滿足：</p><p>　　上述模型其實(shí)是一個(gè)非線性一階微分方程組，在沒有外界作用時(shí)構(gòu)成一個(gè)自洽的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。</p><p>　　HH方程的定態(tài)及其穩(wěn)定性</p><p>　　其在定態(tài)時(shí)，，在的范圍內(nèi)，精確到小數(shù)

74、點(diǎn)后四位求解可得到，這個(gè)系統(tǒng)有下面三個(gè)定態(tài)：</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　用計(jì)算機(jī)模擬，得到在1000ms時(shí)間內(nèi)的定態(tài)的電位圖：</p><p>　　圖（12）第一個(gè)定態(tài)</p><p>　　圖（13）第二個(gè)定態(tài)</p><p>　　圖（14）第三個(gè)定態(tài)<

75、/p><p>　　接下來用李雅普諾夫判斷穩(wěn)定性的線性化方法討論每個(gè)定態(tài)的穩(wěn)定性，將上面這三個(gè)定態(tài)分別作為參考態(tài)。</p><p>　　先求線性化微分方程的諸系數(shù)：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>

76、;　　，，</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　對(duì)于第一個(gè)定態(tài)，系數(shù)矩陣為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其本征值為： -4.9783，0.0069 + 0.3742i，0.0069 - 0.3742i，-0.0783。

77、 可見，第二個(gè)和第三個(gè)本征值的實(shí)部是正的，因此此定態(tài)不穩(wěn)定。</p><p>　　對(duì)于第二個(gè)定態(tài)，其系數(shù)矩陣為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此矩陣的特征值為：-7.3310，2.2666，0.0683，-0.1317?？梢?，它的第二個(gè)和第三個(gè)本征值也是正的，所以，此定態(tài)也不穩(wěn)定。</p><

78、;p>　　對(duì)于第二個(gè)定態(tài)，其系數(shù)矩陣為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此矩陣的特征值為：-9.5845，-1.8930 + 4.7655i，-1.8930 - 4.7655i，-0.2784。因?yàn)檫@四個(gè)本征值的實(shí)部都是負(fù)的，所以這個(gè)定態(tài)是漸近穩(wěn)定的。</p><p>　　HH方程的計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果</p

79、><p>　　通過計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)如下情況：</p><p>　　當(dāng)處于穩(wěn)定態(tài)時(shí)，在10ms的時(shí)間內(nèi)加上μA的直流電，都不能打破此靜息態(tài)。然而當(dāng)在100ms時(shí)間內(nèi)加上-1μA的直流電時(shí)，即刻出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，電流撤去后，保持穩(wěn)定的慢拍脈沖發(fā)放，如下圖（）。</p><p><b>　　圖（15）</b></p><p>　　若

80、將電流幅值逐漸增加，則在加電流的這段時(shí)間內(nèi)振蕩加快，電流結(jié)束后，仍出現(xiàn)慢拍振蕩，如圖（）——圖（）所示。</p><p><b>　　圖（16）</b></p><p><b>　　圖（17）</b></p><p><b>　　圖（18）</b></p><p><b&

81、gt;　　圖（19）</b></p><p><b>　　圖（20）</b></p><p>　　HH模型中膜電位關(guān)于參數(shù)——電流I的分岔圖</p><p>　　圖（）~圖（）是HH方程的膜電位的峰峰間隔（ISI）序列關(guān)于直流電流I的分岔圖，其電流間隔為0.1μA。</p><p>　　圖（21）HH方程關(guān)于

82、I的分岔圖（電流范圍為0~20μA）</p><p>　　圖（22）HH方程關(guān)于I的分岔圖（電流范圍為-20~0μA）</p><p>　　圖（23）圖（22）中（-20~-15）范圍內(nèi)的放大圖</p><p>　　HR模型的動(dòng)力學(xué)特性</p><p>　　為方便起見，先將HR方程重寫如下：</p><p>　　其中代

83、表神經(jīng)細(xì)胞的膜電位，是與內(nèi)電流相關(guān)的回復(fù)變量，表示與Ca有關(guān)的K離子電流相關(guān)的慢變調(diào)節(jié)電流。，，，，，以及都是系統(tǒng)參數(shù)，表示外界直流激勵(lì)。</p><p>　　HR方程的定態(tài)及其穩(wěn)定性</p><p>　　令HR方程等式右邊的各項(xiàng)為零，得：</p><p>　　若a=0，且b=d，同時(shí)s=0，則定態(tài)在下式表示的曲線上：</p><p>　　若

84、只有a=0，且b=d，則有一個(gè)定態(tài)：</p><p>　　若只有a=0，則有兩個(gè)定態(tài)：</p><p>　　若a也不為零，則系統(tǒng)有三個(gè)定態(tài)。</p><p>　　對(duì)于常用的HR模型，通常將其參數(shù)選擇的合適一些，使其有三個(gè)定態(tài)：一個(gè)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，周圍是極限環(huán)，對(duì)應(yīng)于神經(jīng)元的周期性發(fā)放；一個(gè)是鞍點(diǎn)，它把相空間分為兩個(gè)區(qū)域，一邊是靜息區(qū)，另一邊是發(fā)放區(qū)；最后一個(gè)是穩(wěn)定結(jié)

85、點(diǎn)，它是神經(jīng)元的靜息位置。</p><p>　　現(xiàn)選取參數(shù)為：a=1,b=3,c=1,d=5,s=4,x0=-1.6,r=0.015。經(jīng)計(jì)算可得到它的三個(gè)定態(tài)：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　后兩個(gè)不存在于實(shí)空間。因此只有第一個(gè)定態(tài)可能是靜息位置。</p><p>　　HR系統(tǒng)關(guān)于外界電流

86、的分岔圖的討論</p><p><b>　　圖（24）</b></p><p>　　（a） （b）</p><p>　　圖（25）（a）和（b）分別是圖（24）對(duì)應(yīng)坐標(biāo)范圍內(nèi)的細(xì)節(jié)圖</p><p>　　當(dāng)電流的間隔為0.01μA時(shí)得到如下圖（）

87、所示的分岔圖?？梢钥闯?，這與去0.1μA為間隔除了點(diǎn)數(shù)更稠密外，所反映出的混沌性質(zhì)是一樣的。</p><p><b>　　圖（26）</b></p><p>　　下圖是電流在20~25μA之間的分岔圖，可以看出在大概21~24.5μA，開始出現(xiàn)五周期、三周期和四周期的峰峰間隔序列。</p><p><b>　　圖（27）</b&

88、gt;</p><p>　　為了更完整地認(rèn)識(shí)此系統(tǒng)對(duì)電流的相應(yīng)特性，下面一直計(jì)算到電流等于100μA的分岔圖，示于圖（28）圖（）中。</p><p><b>　　圖（28）</b></p><p><b>　　圖（29）</b></p><p><b>　　圖（30）</b>

89、</p><p><b>　　圖（31）</b></p><p>　　HH方程和HR方程的特性的比較</p><p>　　從方程的定態(tài)求解中可以看出，這兩個(gè)系統(tǒng)都有三個(gè)定態(tài)，其中一個(gè)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，它是神經(jīng)元的靜息位置，另外兩個(gè)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，正是這三個(gè)點(diǎn)一起才構(gòu)成了神經(jīng)元的豐富的放電模式以及自適應(yīng)功能。</p><p>

90、　　從它們關(guān)于外界電流刺激的分岔圖中可以看出，它們都可以在很大的電流范圍內(nèi)進(jìn)行混沌過程，</p><p>　　尋找李雅普諾夫判斷穩(wěn)定性直接法中的普適李雅普諾夫函數(shù)的一個(gè)初步嘗試</p><p>　　對(duì)于沒有外界作用的自洽非線性系統(tǒng)，總可以把其看作是一個(gè)具有反饋回路的電路系統(tǒng)，把方程中的各個(gè)變量看作是電路中相應(yīng)的電學(xué)量，方程組中的每一個(gè)方程看作是一個(gè)非線性元件，然后根據(jù)每個(gè)方程與其它方程的相

91、聯(lián)系的量看作是其它元件對(duì)它的反饋?zhàn)饔茫缓笥幸粋€(gè)或幾個(gè)輸出，作用到其它元件。</p><p>　　然后，寫出這個(gè)電路系統(tǒng)的總能量，將其作為李雅普諾夫函數(shù)，來判斷態(tài)的穩(wěn)定性。</p><p>　　FHN模型的driver-receiver耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為</p><p>　　考察噪聲對(duì)此耦合系統(tǒng)的影響</p><p>　　將兩個(gè)FHN神經(jīng)元

92、連接起來，其中一個(gè)接受外部的電流輸入，將這個(gè)神經(jīng)元稱為driver，另外一個(gè)只接受這個(gè)神經(jīng)元的輸入，將這個(gè)神經(jīng)元稱為receiver。</p><p>　　計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果</p><p>　　下面觀察在噪聲的作用下，這兩個(gè)神經(jīng)元的電壓和電流的變化情況。加的噪聲并不是高斯噪聲，而是均勻分布的噪聲，因?yàn)檫@對(duì)于聽覺來說，通常是正確的。耦合強(qiáng)度均為0.001。</p>&l

93、t;p>　　下圖（32）和圖（33）分別是兩個(gè)神經(jīng)元對(duì)均勻噪聲的電壓響應(yīng)圖和電流響應(yīng)圖，噪聲在（0,1）之間變化。</p><p>　　圖（32）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（33）電流響應(yīng)圖</p><p>　　接下來是噪聲均勻分布在（1,2）之間時(shí)的電壓和電流響應(yīng)圖。</p><p>　　圖（34）電壓響應(yīng)圖</p>

94、;<p>　　圖（35）電流響應(yīng)圖</p><p>　　接下來是噪聲均勻分布在（2,3）之間時(shí)的電壓和電流響應(yīng)圖。</p><p>　　圖（36）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（37）電流響應(yīng)圖</p><p>　　圖（38）和圖（39）是噪聲分布為（0,2）時(shí)的響應(yīng)情況。</p><p>　　圖（3

95、8）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（39）電流響應(yīng)圖</p><p>　　圖（40）和圖（41）是噪聲分布為（0,3）時(shí)的響應(yīng)情況。</p><p>　　圖（40）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（41）電流響應(yīng)圖</p><p>　　圖（42）是噪聲分布為（0，3）時(shí)的相位圖。</p><p

96、><b>　　圖（42）相位圖</b></p><p>　　圖（43）和圖（44）是噪聲分布為（4，5）時(shí)的響應(yīng)情況，圖（45）是相應(yīng)的相位圖。</p><p>　　圖（43）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（44）電流響應(yīng)圖</p><p><b>　　圖（45）相位圖</b></p

97、><p>　　圖（46）和圖（47）是噪聲分布為（11，13）時(shí)的響應(yīng)情況，圖（48）是相應(yīng)的相位圖。</p><p>　　圖（46）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（47）電流響應(yīng)圖</p><p><b>　　圖（48）相位圖</b></p><p><b>　　結(jié)論</b>

98、;</p><p>　　從以上各圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著噪聲平均值的增加，driver神經(jīng)元的電壓變化的第一個(gè)振蕩時(shí)間逐漸增加，而receiver神經(jīng)元的電壓的振蕩幾乎不受影響，并且，具有除噪特性，即driver神經(jīng)元在以后的振蕩中雖然峰峰間隔不受影響，但其瞬時(shí)值卻有波動(dòng)，而receiver神經(jīng)元的電壓瞬時(shí)值沒有波動(dòng)。</p><p>　　考察此系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的頻率響應(yīng)情況</p>

99、<p>　　下面分析此系統(tǒng)在正弦信號(hào)輸入下電壓和電流的響應(yīng)情況。耦合強(qiáng)度仍是0.001，</p><p>　　計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果</p><p>　　圖（49）和圖（50）是頻率f=2Hz的情況。</p><p>　　圖（49）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（50）電流響應(yīng)圖</p><p>　　圖

100、（51）和圖（54）是頻率f=30Hz的情況。</p><p>　　圖（51）電壓響應(yīng)圖</p><p>　　圖（52）此圖為圖（51）中相應(yīng)坐標(biāo)范圍內(nèi)的細(xì)節(jié)圖</p><p>　　圖（53）電流響應(yīng)圖</p><p>　　圖（54）此圖為圖（53）中相應(yīng)坐標(biāo)范圍內(nèi)的細(xì)節(jié)圖</p><p><b>　　結(jié)論與

101、討論</b></p><p>　　從圖（49）~圖（54）中可以看出，頻率大和頻率小時(shí)的情況完全不同，頻率大時(shí)，電壓的振蕩加快且隨著時(shí)間的流逝幅度逐漸不再變化，而頻率小時(shí)，電壓的振蕩比較緩慢，且呈現(xiàn)出周期性的簇放電現(xiàn)象。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　王青云，石霞，陸啟超. 神經(jīng)元耦合系統(tǒng)的同步動(dòng)

102、力學(xué)[M].科學(xué)出版社，2008：1~57.</p><p>　　汪云九. 神經(jīng)信息學(xué)——神經(jīng)系統(tǒng)的理論模型[M]。高等教育出版社，2006，9~23.</p><p>　　J.G. 尼克爾斯，A. R. 馬丁，B.G.華萊士，P.A.富克斯著，楊雄里 等 譯. 神經(jīng)生物學(xué)——從神經(jīng)元到腦[M]. 科學(xué)出版社，2003,1~312.</p><p>　　Qian S

103、hu Li and Yan Liu. Enhancement and sustainment of internal stochastic resonance in unidirectional coupled neural system[J].PHYSICAL REVIEW E 73, 016218（2006）</p><p>　　Christopher Monterola and Martin Zapotoc

104、ky. Noise-enhanced categorization in a recurrently reconnected neural network[J].PHYSICAL REVIEW E 71, 036134（2005）。</p><p>　　A. L. HODGKIN AND A. F. HUXLEY. A QUANTITATIVE DESCRIPTION OF MEMBRANE CURRENT AN

105、D ITS APPLICATION TO CONDUCTION AND EXCITATION IN NERVE[J]. J. Physiol.(1952) II7, 50~544</p><p>　　A. L. HODGKIN AND A. F. HUXLEY. Action potentials recorded from inside a nerve fibre[J].Nature 144 （1939）710

106、~711</p><p>　　M. Ringkvist, Y. Zhou. On the dynamical behaviour of FitzHughNagumo systems: Revisited[J].Nonlinear Analysis 71(2009) 266~2687</p><p>　　Fábio Roberto Chavarette, José Man

107、oel Balthazar, Marat Rafikov, Helder Aníbal Hermini. On non-linear dynamics and an optimal control synthesis of the action potential of membranes (ideal and non-ideal cases) of the Hodgkin–Huxley (HH) mathematical m

108、odel[J].Chaos, Solitons and Fractals 39 (2009) 1651~1666</p><p>　　Wu-yin Jin, Jian-xue Xu, Ying Wu, Ling Hong, Yao-bing Wei Chaos. Crisis of interspike intervals in Hodgkin–Huxley model Chaos, Solitons and F

109、ractals 27 (2006) 952~958</p><p>　　Jiang Wang, Liangquan Chen, Xianyang Fei. Analysis and control of the bifurcation of Hodgkin–Huxley model[J]. Chaos, Solitons and Fractals 31 (2007) 247~256</p><