結(jié)式理論及其應(yīng)用【信息科學與技術(shù)專業(yè)】【畢業(yè)設(shè)計+文獻綜述+開題報告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）</p><p><b>　?。ā?01 　屆）</b></p><p><b>　　結(jié)式理論及其應(yīng)用</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 信息與計算科學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要: 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。本文首先介紹了一元

3、多項式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預備知識，主要結(jié)果，算法例舉三個方面介紹了傳統(tǒng)的算法。最后再通過例舉結(jié)式在各個方面上的應(yīng)用，來說明結(jié)式的應(yīng)用。多項式的結(jié)式理論為計算多元非線性方程提供了一個理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計算機的輔助分析與計算，減少了計算量，提高了計算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p

4、>　　關(guān)鍵詞:結(jié)式理論；傳統(tǒng)的算法；應(yīng)用</p><p>　　Resultant Theory and Its Applications</p><p>　　Abstract: Resultants in algebra has many important applications. This paper introduces a polynomial of some proper

5、ties of the theorem, so that our initial understanding of some cases of polynomial theorem. Then introduced some properties of end-type theory, theorem, and then describes some of the traditional junction-type algorithms

6、, respectively, from prior knowledge, the main results, the algorithm introduces three examples of the traditional algorithm. Finally, through examples in all aspects</p><p>　　Keywords: Resultant theory; tra

7、ditional algorithm; Application</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒 論1</b></p><p>　　1.1 問題的背景1</p><p>　　1.2 問題的意義1</p><p>　　2 結(jié)

8、式理論的定義及性質(zhì)2</p><p>　　2.1一元多項式2</p><p>　　2.2結(jié)式的定義5</p><p>　　3 結(jié)式理論的傳統(tǒng)算法及其應(yīng)用9</p><p><b>　　3.1預備知識9</b></p><p>　　3.2主要結(jié)果10</p><p&

9、gt;　　3.3 算法例舉13</p><p>　　3.4結(jié)式理論的應(yīng)用18</p><p>　　3.4.1在二元線性方程組中的應(yīng)用18</p><p>　　4 結(jié)式理論的新算法——基于矩陣形表示的結(jié)式計算方法21</p><p>　　4.1 符號引入21</p><p>　　4.2 性質(zhì)介紹21</

10、p><p>　　4.3 理論推導及方法說明24</p><p><b>　　4.4結(jié)束語26</b></p><p><b>　　5結(jié)論27</b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻28</b>&l

11、t;/p><p><b>　　1 緒 論</b></p><p><b>　　1.1 問題的背景</b></p><p>　　高等代數(shù)是大學數(shù)學最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容包含三個方面：線性代數(shù)，多項式理論，群，環(huán)，域的基本概念。線性代數(shù)占的比重最大，它研究線性空間及其線性映射（包括具有度量的線性空間及與度量

12、有關(guān)的線性變換）。多項式理論是研究一元和多元多項式環(huán)。，群，環(huán)，域的基本概念是緊密結(jié)合多項式理論和線性變換（包括與度量有關(guān)的線性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項式環(huán)、矩陣環(huán)、線性變換環(huán)、模p剩余類域、正交群、酉群和辛群。</p><p><b>　　1.2 問題的意義</b></p><p>　　隨著現(xiàn)代工程技術(shù)的發(fā)展，多項式理論的用途越來越廣泛。特別是在現(xiàn)

13、代控制理論中，頻域法就是以多項式理論為數(shù)學工具的一種系統(tǒng)設(shè)計方法。而結(jié)式(resultant)是多項式理論中一個比較重要的概念，它主要用于多項式之間互質(zhì)性的判定。本文從多項式的結(jié)式概念人手，提出應(yīng)用結(jié)式理論來確定多元非線性多項式所有零點的系統(tǒng)方法，并借助計算機強大的計算能力驗證該方法在解非線性方程組的計算中是行之有效的。凡是可化為多項式方程組求解的問題，均可采用本文的方法進行研究，特別是在電力電子領(lǐng)域中的諧波抑制方面有廣泛的應(yīng)用。<

14、;/p><p>　　2 結(jié)式理論的定義及性質(zhì)</p><p><b>　　2.1一元多項式</b></p><p>　　定義2.1 設(shè)是一個非負整數(shù)，形式表達式</p><p>　　稱為系數(shù)在數(shù)域中的一元多項式，或稱數(shù)域上的一元多項式。</p><p>　　在多項式中，稱為次項，稱為第次項的系數(shù)。我

15、們把數(shù)域上所有一元多項式的集合記為。用或等符號表示多項式。</p><p>　　我們還規(guī)定：兩個多項式與的同次項的系數(shù)全相等，并記為。又把所有系數(shù)都等于0的多項式稱為零多項式，記為0。</p><p>　　多項式中系數(shù)不等于0的最高次數(shù)的項稱為多項式的首項，其系數(shù)稱為首相系數(shù)，首相系數(shù)等于1的多項式稱為首一多項式。首項的次數(shù)稱為多項式的次數(shù)。多項式的次數(shù)記為。例如式的多項式中如果，其首項就

16、是，首項系數(shù)就是，次數(shù)等于。規(guī)定零多項式的次數(shù)等于的運算規(guī)則如下：</p><p><b>　　+任何整數(shù)=，，</b></p><p>　　零次多項式就是一個非零常數(shù)。</p><p>　　多項式在需多方面的性質(zhì)非常類似于整數(shù)。首先定義多項式的加法運算。設(shè)</p><p>　　不妨設(shè)定。為方便起見令。那么和的和為：&l

17、t;/p><p>　　顯然數(shù)域上的多項式之和仍是一個上的多項式。</p><p>　　很容易驗證多項式的加法具有類似于整數(shù)加法（以及向量加法）的性質(zhì)：</p><p><b>　　加法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　加法交換律：</b></p><p><b&

18、gt;　　零多項式的特性：</b></p><p>　　對于任意的多項式存在被稱為負多項式的多項式，使得</p><p>　　有了負多項式的概念就可以定義多項式的減法。把兩個多項式與的差定義為：</p><p>　　再定義多項式的乘法：設(shè)多項式與如，式所示則定義它們的積為：</p><p><b>　　其中次項的系數(shù)為：

19、</b></p><p><b>　　所以可以表示成</b></p><p>　　多項式的乘法也均有類似于整數(shù)乘法的性質(zhì)：</p><p><b>　　乘法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　乘法交換律：</b></p><p>&

20、lt;b>　　多項式1的特征：</b></p><p>　　此外乘法與加法之間還滿足分配律：</p><p><b>　　以及</b></p><p>　　以后我們把數(shù)域上一元多項式的全體稱為一元多項式環(huán)，簡稱多項式環(huán)。</p><p>　　在觀察多項式的和與積的次數(shù)。</p><p

21、>　　命題2.1 對于多項式的乘法，有</p><p><b>　　特別當時有。</b></p><p>　　推論2.1 多項式的乘法滿足消去律：如果，且，那么。</p><p><b>　　命題2.2 設(shè)，則</b></p><p><b>　　2.2結(jié)式的定義</b>

22、</p><p>　　我們知道，結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個一元多項式以及兩個二元多項式的公共零點問題。我們還知道，判別式在多項式理論中占有重要的地位。根據(jù)判別式不但可以判定一個多項式是否有重根，而且還可以根據(jù)判別式的符號判定實系數(shù)多項式的根的情況。而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系，前者往往通過后者進行計算。</p><p>　　結(jié)式能夠起到在兩個聯(lián)立的多項式方程中消去

23、一個變量的作用。</p><p>　　先考慮兩個一元多項式</p><p>　　其中,并且允許首項系數(shù)等于0。</p><p>　　用分別乘，用分別乘，可以得到以下等式組：</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　……………………………………………………</p>

24、<p>　　我們把等式組右邊的系數(shù)矩陣記為</p><p>　　則?，F(xiàn)在用矩陣A的最后一列元素的代數(shù)余子式分別去乘的各個等式并把乘積相加。根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)，等式右邊的的系數(shù)都等于0，只有常數(shù)項系數(shù)等于行列式。也就是說得到下述結(jié)果：</p><p><b>　　我們引進以下定義：</b></p><p><b>　

25、　定義1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，并且。則稱行列式</p><p><b>　　為與的結(jié)式，記為。</b></p><p>　　根據(jù)結(jié)式的定義，我們可以把式改寫成以下形式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b

26、>　　其中</b></p><p><b>　　顯然有</b></p><p>　　這樣就證明了以下命題</p><p><b>　　命題2.3 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，并且。則存在多項式，，使得</p><p>　　利用這個命題可以

27、證明下面的定理。</p><p><b>　　定理2.2 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，其中。則結(jié)式的充分必要條件是：或者，或者與有次數(shù)大于0的公因式（或等價地，和有公共的復數(shù)根）。</p><p>　　證明：設(shè)則式矩陣的行向量線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使得。用分別乘等式組的各式并相加，就可得到</p><

28、p><b>　　令</b></p><p><b>　　則不全為零，且</b></p><p>　　若不全為零，不妨設(shè)則，因而。如果，，有。若會得到，與不全為零矛盾。但又導出矛盾。所以。令。由于次數(shù)大于0，它一定有一個復數(shù)根。根據(jù)多項式的根與一次因式的關(guān)系，有。由于是與的最大公因式，因此又有再次利用根與一次因式的關(guān)系，就可得到這說明與有公共

29、的復數(shù)根。</p><p>　　如果，則由結(jié)式的定義，設(shè)。如果次數(shù)大于0，則由上證，與有公共的復數(shù)根。把代入，即有</p><p>　　3 結(jié)式理論的傳統(tǒng)算法及其應(yīng)用</p><p><b>　　3.1預備知識</b></p><p>　　我們知道, 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個一元多項式以及

30、兩個二元多項式的公共零點問題我們還知道, 判別式在多項式理論中占有重要的地位根據(jù)判別式不但可以判定一個多項式是否有重根, 而且還可以根據(jù)判別式的符號判定實系數(shù)多項式的根的情況而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系, 前者往往通過后者進行計算有關(guān)結(jié)式的計算, 在一般高等代數(shù)教程中大致有以下兩種方法, 其一是行列式法,其二是公式法.本綜述給出另一種計算結(jié)式的方法這種方法在計算結(jié)式時只須對所給兩個一元多項式進行有限次帶余除法即(輾轉(zhuǎn)相除)就可以了這種方法

31、的優(yōu)點在于它既可以避免高階行列式的復雜計算, 又可以避開求多項式的所有根的困難實踐表明, 就連普通的中學生也可以根據(jù)本綜述所給出的方法計算結(jié)式。</p><p>　　我們的討論要用到以下預備知識：</p><p>　　僅限于在復數(shù)域上進行討論。</p><p>　　設(shè) </p><p>　　與

32、 </p><p>　　均為復數(shù)域上兩個一元多項式。</p><p><b>　　我們稱階行列式：</b></p><p><b>　　為與的結(jié)式，記作。</b></p><p>　　不難證明下列諸式成立：</p><p>　　若又與分別為與的全部（復）根，則&l

33、t;/p><p>　　為了本文的需求，我們再給出關(guān)于結(jié)式的一個補充定義：若為任一次數(shù)大于零的多項式，為任一復數(shù)，我們規(guī)定：</p><p>　　其中（記號表示的次數(shù)）</p><p>　　關(guān)于式的合理性可作如下的解釋：根據(jù)結(jié)式定義, 因為是次多項式，若數(shù)，則是零次多項式，故與的結(jié)式應(yīng)該是階行列式，而的系數(shù)不應(yīng)在行列式中出現(xiàn)，既（階行列式）。</p><

34、;p><b>　　特別地，我們規(guī)定</b></p><p><b>　　3.2主要結(jié)果</b></p><p>　　命題3.1 若，（見式，）滿足且，則 </p><p><b>　　其中</b></p>

35、<p>　　證 若，根據(jù)公式，我們有</p><p>　　若，既為某一非零數(shù)，借助于我們規(guī)定的式易知。從而式獲證。</p><p>　　類似地，由公式與不難證明</p><p>　　命題3.2 若，（見式，）滿足且，則 </p><p><b>　　其中。</b></p><p&g

36、t;　　[注]若，則上述兩個命題的結(jié)論顯然均為。</p><p>　　一般來說，根據(jù)命題3.1或3.2，雖然能使結(jié)式計算得以簡化, 但在許多情況下還顯得遠遠不夠, 為此我們再給出</p><p>　　命題3.3若，（見式，）滿足</p><p><b>　　且，則</b></p><p>　　其中與分別為的次數(shù)與首項系數(shù)

37、，</p><p>　　證 先看為奇數(shù)的情形。此時，我們反復應(yīng)用公式與，可得</p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘得</p><p>　　為了便于計算, 我們不妨把整數(shù)的代數(shù)和。</p><p>　　干脆改換成它們的和：</p><p>　　顯然，這樣做實際上并不影響共奇偶性。故由式即得我們所要的公式。</

38、p><p><b>　　若為偶數(shù)，我們有</b></p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘，并且注意到</p><p>　　即可得出公式。因此，不論為奇為偶，式恒成立。</p><p><b>　　3.3 算法例舉</b></p><p>　　例3.1 求下列多項式的結(jié)式：&l

39、t;/p><p>　　解 對與作輾轉(zhuǎn)相除：</p><p>　　易見故由公式，我們有</p><p>　　顯而易見，這種算法要比用式或求解都來得簡便。尤其是最后的計算，根本沒有涉及任何行列式。</p><p>　　例3.2 求下列多項式的結(jié)式：</p><p>　　解 因為，故由命題3.1得</p><

40、;p>　　例3.3 求下列多項式的結(jié)式：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解 ，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為，故由公式，我們有</p><p><b>　　

41、。</b></p><p>　　僅此三例足見本文給出的算法要比直接用式或式進行計算都要簡捷得多作為結(jié)束, 我們綜合應(yīng)用公式和本文的公式證明一個有趣的恒等式： </p><p>　　這里是全部次單位虛根。</p><p><b>　　事實上，取</b></p><p>　　與例3.3相類似，由公式易得</

42、p><p>　　另一方面，根據(jù)公式，又有</p><p>　　綜合以上兩個結(jié)果即得恒等式。</p><p>　　又因根據(jù)三角公式易得</p><p><b>　　故 </b></p><p>　　其中故由恒等式又得一個三角恒等式：</p><p>　　仿照恒等式,

43、 的推導方法還能得出許多更為復雜的恒等式。</p><p><b>　　例3.4 判斷</b></p><p>　　在復數(shù)域中有沒有公共根。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　所以和互素，從而它們在復數(shù)域上沒有公共根。</p><p>　　實際上，

44、結(jié)式的真正意義在于它能從2個多項式聯(lián)立方程中消去一個未知量。從而提供了解2元高次代數(shù)方程組的一個方法。</p><p><b>　　設(shè)。我們要求方程組</b></p><p>　　在復數(shù)域中的全部解。</p><p><b>　　把看成的多項式：</b></p><p><b>　　其中。

45、</b></p><p><b>　　我們把行列式</b></p><p>　　稱為多項式關(guān)于變量的結(jié)式，記為。注意這是變量的多項式。</p><p>　　如果方程組在復數(shù)域中有一個解，那么是的復數(shù)系多項式與的公共根，因此根據(jù)定理，這兩個一元多項式的結(jié)式。注意到，說明是的多項式的一個復根。</p><p>　

46、　反之，如果是多項式的一個復數(shù)根，則結(jié)式</p><p>　　有，或者一元多項式與有公共的復數(shù)根。在后一情形，是方程組的一個解。</p><p>　　給出了解二元高次方程組的一個一般方法。我們先對一個變量求結(jié)式，再求出這個的多項式的所有復數(shù)根。然后把求得的每個復數(shù)根分別代入原方程組，求出的公共根。這樣就可以得到原方程組在復數(shù)域中的所有解。</p><p>　　由于與

47、的地位是對稱的，因此也可以先對求結(jié)式。結(jié)果當然是一樣的，不過難易程度可能會有很大差別。</p><p>　　因為結(jié)式法把求二元方程組的解歸結(jié)為求解一元方程組</p><p>　　的問題，從兩個變量中消去了一個變量，因此這是一種消元法。</p><p>　　例3.5 解方程組：</p><p>　　解：把這兩個多項式看作的多項式：</p&

48、gt;<p><b>　　求結(jié)式</b></p><p>　　于是結(jié)式的根是1，3，-2.由于，因此結(jié)式的每一個根都可求得原方程組的解。</p><p><b>　　用代入原方程組，得</b></p><p>　　得到解。因此和的原方程組的兩個解，</p><p>　　用代入原方程組，

49、解得；用代入原方程組，解得。因此也是原方程組得解。上述4個解是方程組的全部解。 </p><p>　　3.4結(jié)式理論的應(yīng)用</p><p>　　在控制系統(tǒng)的分析與綜合以及在電力電子等許多實際問題的動態(tài)分析中，經(jīng)常遇到求解多項式零點的問題，甚至是關(guān)于非線性多元多項式零點的問題。例如確定有兩個變量的兩個多項式的公共解，或者是兩條平面曲線的交點，就可以利用結(jié)式理論和本文的推論減少變量的數(shù)目來解決

50、問題。</p><p>　　平面域中給出兩條曲線</p><p>　　確定這兩條曲線的交點?？梢园褍蓚€多項式都看成是以為變量的多項式， 是的系數(shù)，那么由這兩個多項式組成的方程就是非線性方程，甚至是超越方程?？梢岳媒Y(jié)式消去變量，這就意味著求解雙變量多項式的公共解，被化簡成求單變量多項式的根。</p><p>　　設(shè)是兩條曲線在軸上的投影集合,是兩條曲線的交點，零點定

51、理可具體表述如下:</p><p>　　3.4.1在二元線性方程組中的應(yīng)用</p><p>　　例3.6：在復平面中給定兩條曲線的解析式：</p><p>　　試確定這兩條曲線在復數(shù)域中的交點。</p><p>　　這兩條曲線的解析式是由非線性多項式構(gòu)成，如果利用傳統(tǒng)方法解其難度較大，即使利用牛頓一瑞普森等迭代法也不可能一次性解出所有的交點，

52、更何況復數(shù)域中的交點。</p><p>　　利用數(shù)學計算軟件Mathematica可以很方便的得到和)在平面中的曲線，如圖1所示：</p><p>　　圖1 和的曲線（粗線表示的曲線）</p><p>　　將兩式展開成為為變量的多項式，</p><p>　　利用希爾維斯特矩陣得到其結(jié)式為</p><p>　　根據(jù)本文推

53、論，使，可得到交點在軸上的投影集合，對于每一個值都可以計算相應(yīng)的值。</p><p><b>　　時，</b></p><p><b>　　時，</b></p><p><b>　　時，</b></p><p>　　由此可得，復數(shù)域中這兩條曲線共有6個交點，即</p>

54、;<p>　　4 結(jié)式理論的新算法——基于矩陣形表示的結(jié)式計算方法</p><p>　　多項式理論是高等代數(shù)中相當重要的內(nèi)容，結(jié)式又是其中的一個重要概念，如何快速、簡便地計算結(jié)式一直是大家關(guān)心的問題。但是在高等代數(shù)中，一個次多項式與次多項式的結(jié)式的定義與計算均是用階行列式來完成的，這樣的計算繁瑣、復雜、易錯。本文首先給出結(jié)式的新符號表示，我們稱之為結(jié)式的矩陣形表示，進而引入結(jié)式的若干性質(zhì)，其中包括矩

55、陣形結(jié)式的移位變換、消尾變換等，并據(jù)此給出一種簡便、易用的結(jié)式計算新方法。以下將分符號引入、性質(zhì)介紹，方法說明及具體舉例來展開討論。</p><p><b>　　4.1 符號引入</b></p><p><b>　　定義4.1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，與的結(jié)式記為</p><p&

56、gt;　　(這里由于書寫表達關(guān)系，不妨設(shè)，以下類同)</p><p>　　稱之為與的矩陣形結(jié)式表示。</p><p><b>　　例4.1 設(shè)</b></p><p>　　與的矩陣形結(jié)式表示為。</p><p><b>　　4.2 性質(zhì)介紹</b></p><p><b

57、>　　設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，關(guān)于結(jié)式有以下性質(zhì)：</p><p><b>　　性質(zhì)4.1 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.2 ，其中</b></p>&l

58、t;p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　性質(zhì)4.3 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p>　　證明 0是在復數(shù)域內(nèi)的重復根，則</p><p>　　由性質(zhì)4.1及性質(zhì)4.2，得</p&g

59、t;<p>　　性質(zhì)4 </p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p>　　證明 設(shè)是在復數(shù)域內(nèi)的全部個根，則</p><p>　　由性質(zhì)4.1及性質(zhì)4.4，得</p><p>　　為敘說方便，給出如下定義</p><p>　　定義4.2

60、稱性質(zhì)4為矩陣型結(jié)式運算的移位變換，并分別記式、的移位變換為。</p><p><b>　　性質(zhì)4.5 </b></p><p><b>　　若，則 </b></p><p><b>　　矩陣形表示為：</b></p><p><b>　　若，則</b&

61、gt;</p><p>　　證明 設(shè)是在復數(shù)域內(nèi)的全部個根，則</p><p>　　由，得，設(shè)是的全部個復數(shù)根，則</p><p>　　定義4.3 稱性質(zhì)4.5為矩陣形結(jié)式運算的消尾變換，并分別記式、的小為變換為，。</p><p>　　4.3 理論推導及方法說明</p><p><b>　　定理4.1 設(shè)

62、 </b></p><p>　　是的兩個多項式，與的常數(shù)項全為零，則與的結(jié)式。</p><p><b>　　定理4.2 </b></p><p>　　是的兩個多項式，，與的常數(shù)項不全為零，則與的階結(jié)式</p><p>　?。ㄟ@里由于書寫表達關(guān)系，不妨設(shè)）</p><p>　　一定可以通

63、過性質(zhì)化為更低階的結(jié)式。</p><p>　　證明 已知與的常數(shù)項不全為零，不妨設(shè)的常數(shù)項不為零，現(xiàn)分二種情況：</p><p>　　當?shù)某?shù)項時，令，其中為正整數(shù)，的常數(shù)項不為零，且,則由性質(zhì)4.4，得</p><p><b>　　，（由性質(zhì)4.5）</b></p><p><b>　　，（由性質(zhì)4.4）&l

64、t;/b></p><p><b>　　結(jié)式的階數(shù)為。</b></p><p>　　注1：定理4.2可以稱為結(jié)式計算降階定理，其證明過程也是結(jié)式計算的實際降階方法。</p><p>　　現(xiàn)在哦我們說明基于矩陣形表示的結(jié)式計算過程：</p><p>　　對于給出的多項式、，寫出其矩陣形結(jié)式；</p>&

65、lt;p>　　對不斷施行消尾變換和移位變換（即性質(zhì)4.4，性質(zhì)4.5）進行結(jié)式降階處理。</p><p>　　注2：在實際降階過程中，為了避免出現(xiàn)分數(shù)參與運算引起的繁瑣，可以利用性質(zhì)2對某行提取或乘以一不為零的常數(shù)。</p><p>　　在實際降階過程中，應(yīng)及時消去矩陣形結(jié)式中左邊元素全為零的列。</p><p>　　若與有公根，則，此時在降階過程中會出現(xiàn)某行

66、元素全為零的情形，為此我們作如下補充定義。</p><p><b>　　定義4.4 設(shè)規(guī)定</b></p><p>　　例4.2 設(shè)，.求與的結(jié)式。</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　例4.3 設(shè)，，證明與在復數(shù)域內(nèi)有公根。</p><p><

67、;b>　　解 </b></p><p>　?。ㄓ尚再|(zhì)4.2、性質(zhì)4.4）</p><p>　　因此，與在復數(shù)域內(nèi)有公根。</p><p><b>　　4.4結(jié)束語</b></p><p>　　當結(jié)式的階數(shù)比較大時，直接用行列式法來計算結(jié)式不僅繁瑣、易錯，而且書寫篇幅尤顯龐大。本文利用結(jié)式的矩陣形表示后

68、，通過尾位消元結(jié)合移位變換達到降階目的，使結(jié)式的計算變得簡便、易行，而且書寫篇幅小，有較好的實用價值。</p><p><b>　　5結(jié)論</b></p><p>　　本文首先介紹了一元多項式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預備知識，主要結(jié)果，算法例舉三個方面介紹了傳統(tǒng)的算

69、法。這種方法在計算結(jié)式時只須對所給兩個一元多項式進行有限次帶余除法即（輾轉(zhuǎn)相除）就可以了。這種方法的優(yōu)點在于：它既可以避免高階行列式的復雜計算, 又可以避開求多項式的所有根的困難。最后再通過例舉結(jié)式在各個方面上的應(yīng)用，來說明結(jié)式的應(yīng)用。多項式的結(jié)式理論為計算多元非線性方程提供了一個理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計算機的輔助分析與計算，減少了計算量，提高了計算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p>

70、　　接著，給出了結(jié)式的新符號表示，稱之為結(jié)式的矩陣形表示，進而引入結(jié)式的若干性質(zhì)，其中包括矩陣形結(jié)式的移位變換、消尾變換等，并據(jù)此給出一種簡便、易用的結(jié)式計算新方法。以下將分符號引入、性質(zhì)介紹，方法說明及具體舉例來展開討論。引入了結(jié)式的矩陣形表示，提出了矩陣形結(jié)式的移位變換概念，并利用其得到了結(jié)式計算的一個簡便方法。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><

71、;p>　　[1] 丘維聲.高等代數(shù)學習指導書（下冊）[M].北京:清華大學出版社,2009.5:147-149.</p><p>　　[2] Joachim von zur Gathen and Jurgen Gerhard.Modern Computer Algebra[M].Cambridge Univemity Press,1999:42-43.</p><p>　　[3] 張

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77、;　　文獻綜述</b></p><p><b>　　結(jié)式理論及其應(yīng)用</b></p><p><b>　　前言部分</b></p><p>　　高等代數(shù)是大學數(shù)學最主要的基礎(chǔ)課程之一。高等代數(shù)課程的教學內(nèi)容包含三個方面：線性代數(shù)，多項式理論，群，環(huán)，域的基本概念。線性代數(shù)占的比重最大，它研究線性空間及其線性映射

78、（包括具有度量的線性空間及與度量有關(guān)的線性變換）。多項式理論是研究一元和多元多項式環(huán)。，群，環(huán)，域的基本概念是緊密結(jié)合多項式理論和線性變換（包括與度量有關(guān)的線性變換）理論，水到渠成地介紹一元（多元）多項式環(huán)、矩陣環(huán)、線性變換環(huán)、模p剩余類域、正交群、酉群和辛群。</p><p>　　隨著現(xiàn)代工程技術(shù)的發(fā)展，多項式理論的用途越來越廣泛。特別是在現(xiàn)代控制理論中，頻域法就是以多項式理論為數(shù)學工具的一種系統(tǒng)設(shè)計方法。而結(jié)

79、式(resultant)是多項式理論中一個比較重要的概念，它主要用于多項式之間互質(zhì)性的判定。本綜述從多項式的結(jié)式概念人手，提出應(yīng)用結(jié)式理論來確定多元非線性多項式所有零點的系統(tǒng)方法，并借助計算機強大的計算能力驗證該方法在解非線性方程組的計算中是行之有效的。凡是可化為多項式方程組求解的問題，均可采用本綜述的方法進行研究，特別是在電力電子領(lǐng)域中的諧波抑制方面有廣泛的應(yīng)用。 </p><p><b>　　主題部

80、分</b></p><p><b>　　2.1一元多項式</b></p><p>　　定義1.1 設(shè)是一個非負整數(shù)，形式表達式</p><p>　　稱為系數(shù)在數(shù)域中的一元多項式，或稱數(shù)域上的一元多項式。</p><p>　　在多項式中，稱為次項，稱為第次項的系數(shù)。我們把數(shù)域上所有一元多項式的集合記為。用或等符

81、號表示多項式。</p><p>　　我們還規(guī)定：兩個多項式與的同次項的系數(shù)全相等，并記為。又把所有系數(shù)都等于0的多項式稱為零多項式，記為0。</p><p>　　多項式中系數(shù)不等于0的最高次數(shù)的項稱為多項式的首項，其系數(shù)稱為首相系數(shù)，首相系數(shù)等于1的多項式稱為首一多項式。首項的次數(shù)稱為多項式的次數(shù)。多項式的次數(shù)記為。例如式的多項式中如果，其首項就是，首項系數(shù)就是，次數(shù)等于。規(guī)定零多項式的次

82、數(shù)等于的運算規(guī)則如下：</p><p><b>　　+任何整數(shù)=，，</b></p><p>　　零次多項式就是一個非零常數(shù)。</p><p>　　多項式在需多方面的性質(zhì)非常類似于整數(shù)。首先定義多項式的加法運算。設(shè)</p><p>　　不妨設(shè)定。為方便起見令。那么和的和為：</p><p>　　顯

83、然數(shù)域上的多項式之和仍是一個上的多項式。</p><p>　　很容易驗證多項式的加法具有類似于整數(shù)加法（以及向量加法）的性質(zhì)：</p><p><b>　　加法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　加法交換律：</b></p><p><b>　　零多項式的特性：</b>

84、;</p><p>　　對于任意的多項式存在被稱為負多項式的多項式，使得</p><p>　　有了負多項式的概念就可以定義多項式的減法。把兩個多項式與的差定義為：</p><p>　　再定義多項式的乘法：設(shè)多項式與如，式所示則定義它們的積為：</p><p><b>　　其中次項的系數(shù)為：</b></p>

85、<p><b>　　所以可以表示成</b></p><p>　　多項式的乘法也均有類似于整數(shù)乘法的性質(zhì)：</p><p><b>　　乘法結(jié)合律：</b></p><p><b>　　乘法交換律：</b></p><p><b>　　多項式1的特征：<

86、/b></p><p>　　此外乘法與加法之間還滿足分配律：</p><p><b>　　以及</b></p><p>　　以后我們把數(shù)域上一元多項式的全體稱為一元多項式環(huán)，簡稱多項式環(huán)。</p><p>　　在觀察多項式的和與積的次數(shù)。</p><p>　　命題1.1 對于多項式的乘法，有

87、</p><p><b>　　特別當時有。</b></p><p>　　推論1.2 多項式的乘法滿足消去律：如果，且，那么。</p><p><b>　　命題1.2 設(shè)，則</b></p><p><b>　　2.2結(jié)式的定義</b></p><p>　

88、　我們知道，結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個一元多項式以及兩個二元多項式的公共零點問題。我們還知道，判別式在多項式理論中占有重要的地位。根據(jù)判別式不但可以判定一個多項式是否有重根，而且還可以根據(jù)判別式的符號判定實系數(shù)多項式的根的情況。而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系，前者往往通過后者進行計算。</p><p>　　結(jié)式能夠起到在兩個聯(lián)立的多項式方程中消去一個變量的作用。</p>&l

89、t;p>　　先考慮兩個一元多項式</p><p>　　其中,并且允許首項系數(shù)等于0。</p><p>　　用分別乘，用分別乘，可以得到以下等式組：</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　……………………………………………………</p><p>　　我們把等式組右邊的系數(shù)

90、矩陣記為</p><p>　　則。現(xiàn)在用矩陣A的最后一列元素的代數(shù)余子式分別去乘的各個等式并把乘積相加。根據(jù)行列式的代數(shù)余子式的性質(zhì)，等式右邊的的系數(shù)都等于0，只有常數(shù)項系數(shù)等于行列式。也就是說得到下述結(jié)果：</p><p><b>　　我們引進以下定義：</b></p><p><b>　　定義1 設(shè)</b></p

91、><p>　　是的兩個多項式，并且。則稱行列式</p><p><b>　　為與的結(jié)式，記為。</b></p><p>　　根據(jù)結(jié)式的定義，我們可以把式改寫成以下形式：</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　其中</b><

92、/p><p><b>　　顯然有</b></p><p>　　這樣就證明了以下命題</p><p><b>　　命題1 設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，并且。則存在多項式，，使得</p><p>　　利用這個命題可以證明下面的定理。</p><

93、p><b>　　定理2設(shè)</b></p><p>　　是的兩個多項式，其中。則結(jié)式的充分必要條件是：或者，或者與有次數(shù)大于0的公因式（或等價地，和有公共的復數(shù)根）。</p><p>　　證明：設(shè)則式矩陣的行向量線性相關(guān)，存在不全為零的數(shù)使得。用分別乘等式組的各式并相加，就可得到</p><p><b>　　令</b>

94、</p><p><b>　　則不全為零，且</b></p><p>　　若不全為零，不妨設(shè)則，因而。如果，，有。若會得到，與不全為零矛盾。但又導出矛盾。所以。令。由于次數(shù)大于0，它一定有一個復數(shù)根。根據(jù)多項式的根與一次因式的關(guān)系，有。由于是與的最大公因式，因此又有再次利用根與一次因式的關(guān)系，就可得到這說明與有公共的復數(shù)根。</p><p>　

95、　如果，則由結(jié)式的定義，設(shè)。如果次數(shù)大于0，則由上證，與有公共的復數(shù)根。把代入，即有</p><p>　　2.3結(jié)式的一些傳統(tǒng)算法</p><p><b>　　2.3.1預備知識</b></p><p>　　我們知道, 結(jié)式在代數(shù)中有著許多重要應(yīng)用。利用結(jié)式能有效地解決兩個一元多項式以及兩個二元多項式的公共零點問題我們還知道, 判別式在多項式理

96、論中占有重要的地位根據(jù)判別式不但可以判定一個多項式是否有重根, 而且還可以根據(jù)判別式的符號判定實系數(shù)多項式的根的情況而判別式恰與結(jié)式有密切聯(lián)系, 前者往往通過后者進行計算有關(guān)結(jié)式的計算, 在一般高等代數(shù)教程中大致有以下兩種方法, 其一是行列式法,其二是公式法.本綜述給出另一種計算結(jié)式的方法這種方法在計算結(jié)式時只須對所給兩個一元多項式進行有限次帶余除法即(輾轉(zhuǎn)相除)就可以了這種方法的優(yōu)點在于它既可以避免高階行列式的復雜計算, 又可以避開求

97、多項式的所有根的困難實踐表明, 就連普通的中學生也可以根據(jù)本綜述所給出的方法計算結(jié)式。</p><p>　　我們的討論要用到以下預備知識：</p><p>　　僅限于在復數(shù)域上進行討論。</p><p>　　設(shè) </p><p>　　與 </p><p>　

98、　均為復數(shù)域上兩個一元多項式。</p><p><b>　　我們稱階行列式：</b></p><p><b>　　為與的結(jié)式，記作。</b></p><p>　　不難證明下列諸式成立：</p><p>　　若又與分別為與的全部（復）根，則</p><p>　　為了本綜述的需求

99、，我們再給出關(guān)于結(jié)式的一個補充定義：若為任一次數(shù)大于零的多項式，為任一復數(shù)，我們規(guī)定：</p><p>　　其中（記號表示的次數(shù)）</p><p>　　關(guān)于式的合理性可作如下的解釋：根據(jù)結(jié)式定義, 因為是次多項式，若數(shù)，則是零次多項式，故與的結(jié)式應(yīng)該是階行列式，而的系數(shù)不應(yīng)在行列式中出現(xiàn)，既（階行列式）。</p><p><b>　　特別地，我們規(guī)定<

100、;/b></p><p><b>　　2.3.2主要結(jié)果</b></p><p>　　命題1 若，（見式，）滿足且，則 </p><p><b>　　其中</b></p><p>　　證 若，根據(jù)公式，我們有</p>

101、;<p>　　若，既為某一非零數(shù)，借助于我們規(guī)定的式易知。從而式獲證。</p><p>　　類似地，由公式與不難證明</p><p>　　命題2 若，（見式，）滿足且，則 </p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　

102、[注]若，則上述兩個命題的結(jié)論顯然均為。</p><p>　　一般來說，根據(jù)命題1或2，雖然能使結(jié)式計算得以簡化, 但在許多情況下還顯得遠遠不夠, 為此我們再給出</p><p>　　命題3若，（見式，）滿足</p><p><b>　　且，則</b></p><p>　　其中與分別為的次數(shù)與首項系數(shù)，</p>

103、;<p>　　證 先看為奇數(shù)的情形。此時，我們反復應(yīng)用公式與，可得</p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘得</p><p>　　為了便于計算, 我們不妨把整數(shù)的代數(shù)和。</p><p>　　干脆改換成它們的和：</p><p>　　顯然，這樣做實際上并不影響共奇偶性。故由式即得我們所要的公式。</p><

104、;p><b>　　若為偶數(shù)，我們有</b></p><p>　　將以上諸式兩邊分別相乘，并且注意到</p><p>　　即可得出公式。因此，不論為奇為偶，式恒成立。</p><p>　　2.3.3 算法例舉</p><p>　　例1 求下列多項式的結(jié)式：</p><p>　　解 對與作輾轉(zhuǎn)相

105、除：</p><p>　　易見故由公式，我們有</p><p>　　顯而易見，這種算法要比用式或求解都來得簡便。尤其是最后的計算，根本沒有涉及任何行列式。</p><p>　　例2 求下列多項式的結(jié)式：</p><p>　　解 因為，故由命題1得</p><p>　　例3 求下列多項式的結(jié)式：</p>

106、<p><b>　　，</b></p><p><b>　　解 ，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為，故由公式，我們有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　僅

107、此三例足見本綜述給出的算法要比直接用式或式進行計算都要簡捷得多作為結(jié)束, 我們綜合應(yīng)用公式和本文的公式證明一個有趣的恒等式： </p><p>　　這里是全部次單位虛根。</p><p><b>　　事實上，取</b></p><p>　　與例3相類似，由公式易得</p><p>　　另一方面，根據(jù)公式，又有</p

108、><p>　　綜合以上兩個結(jié)果即得恒等式。</p><p>　　又因根據(jù)三角公式易得</p><p><b>　　故 </b></p><p>　　其中故由恒等式又得一個三角恒等式：</p><p>　　仿照恒等式, 的推導方法還能得出許多更為復雜的恒等式。</p><

109、;p><b>　　例4 判斷</b></p><p>　　在復數(shù)域中有沒有公共根。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　所以和互素，從而它們在復數(shù)域上沒有公共根。</p><p>　　實際上，結(jié)式的真正意義在于它能從2個多項式聯(lián)立方程中消去一個未知量。從而提供了解2元

110、高次代數(shù)方程組的一個方法。</p><p><b>　　設(shè)。我們要求方程組</b></p><p>　　在復數(shù)域中的全部解。</p><p><b>　　把看成的多項式：</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p><b&g

111、t;　　我們把行列式</b></p><p>　　稱為多項式關(guān)于變量的結(jié)式，記為。注意這是變量的多項式。</p><p>　　如果方程組在復數(shù)域中有一個解，那么是的復數(shù)系多項式與的公共根，因此根據(jù)定理，這兩個一元多項式的結(jié)式。注意到，說明是的多項式的一個復根。</p><p>　　反之，如果是多項式的一個復數(shù)根，則結(jié)式</p><p&

112、gt;　　有，或者一元多項式與有公共的復數(shù)根。在后一情形，是方程組的一個解。</p><p>　　給出了解二元高次方程組的一個一般方法。我們先對一個變量求結(jié)式，再求出這個的多項式的所有復數(shù)根。然后把求得的每個復數(shù)根分別代入原方程組，求出的公共根。這樣就可以得到原方程組在復數(shù)域中的所有解。</p><p>　　由于與的地位是對稱的，因此也可以先對求結(jié)式。結(jié)果當然是一樣的，不過難易程度可能會有

113、很大差別。</p><p>　　因為結(jié)式法把求二元方程組的解歸結(jié)為求解一元方程組</p><p>　　的問題，從兩個變量中消去了一個變量，因此這是一種消元法。</p><p><b>　　例5 解方程組：</b></p><p>　　解：把這兩個多項式看作的多項式：</p><p><b&g

114、t;　　求結(jié)式</b></p><p>　　于是結(jié)式的根是1，3，-2.由于，因此結(jié)式的每一個根都可求得原方程組的解。</p><p><b>　　用代入原方程組，得</b></p><p>　　得到解。因此和的原方程組的兩個解，</p><p>　　用代入原方程組，解得；用代入原方程組，解得。因此也是原方程

115、組得解。上述4個解是方程組的全部解。</p><p>　　2.4結(jié)式理論的應(yīng)用</p><p>　　在控制系統(tǒng)的分析與綜合以及在電力電子等許多實際問題的動態(tài)分析中，經(jīng)常遇到求解多項式零點的問題，甚至是關(guān)于非線性多元多項式零點的問題。例如確定有兩個變量的兩個多項式的公共解，或者是兩條平面曲線的交點，就可以利用結(jié)式理論和本文的推論減少變量的數(shù)目來解決問題。</p><p&g

116、t;　　平面域中給出兩條曲線</p><p>　　確定這兩條曲線的交點。可以把兩個多項式都看成是以為變量的多項式， 是的系數(shù)，那么由這兩個多項式組成的方程就是非線性方程，甚至是超越方程?？梢岳媒Y(jié)式消去變量，這就意味著求解雙變量多項式的公共解，被化簡成求單變量多項式的根。</p><p>　　設(shè)是兩條曲線在軸上的投影集合,是兩條曲線的交點，零點定理可具體表述如下:</p>&

117、lt;p>　　2.4.1在二元線性方程組中的應(yīng)用</p><p>　　算例：在復平面中給定兩條曲線的解析式：</p><p>　　試確定這兩條曲線在復數(shù)域中的交點。</p><p>　　這兩條曲線的解析式是由非線性多項式構(gòu)成，如果利用傳統(tǒng)方法解其難度較大，即使利用牛頓一瑞普森等迭代法也不可能一次性解出所有的交點，更何況復數(shù)域中的交點。</p>&

118、lt;p>　　利用數(shù)學計算軟件Mathematica可以很方便的得到和)在平面中的曲線，如圖1所示：</p><p>　　圖1 和的曲線（粗線表示的曲線）</p><p>　　將兩式展開成為為變量的多項式，</p><p>　　利用希爾維斯特矩陣得到其結(jié)式為</p><p>　　根據(jù)本文推論，使，可得到交點在軸上的投影集合，對于每一個值

119、都可以計算相應(yīng)的值。</p><p><b>　　時，</b></p><p><b>　　時，</b></p><p><b>　　時，</b></p><p>　　由此可得，復數(shù)域中這兩條曲線共有6個交點，即</p><p><b>　　三

120、、總結(jié)部分</b></p><p>　　本綜述首先介紹了一元多項式的一些性質(zhì)，定理，讓我們初步了解了多項式定理的一些情況。接著介紹了結(jié)式理論的一些性質(zhì)，定理，然后介紹結(jié)式的一些傳統(tǒng)的算法，分別從預備知識，主要結(jié)果，算法例舉三個方面介紹了傳統(tǒng)的算法。這種方法在計算結(jié)式時只須對所給兩個一元多項式進行有限次帶余除法即（輾轉(zhuǎn)相除）就可以了。這種方法的優(yōu)點在于：它既可以避免高階行列式的復雜計算, 又可以避開求多

121、項式的所有根的困難。最后再通過例舉結(jié)式在各個方面上的應(yīng)用，來說明結(jié)式的應(yīng)用。多項式的結(jié)式理論為計算多元非線性方程提供了一個理論化、系統(tǒng)化的方法，借助于計算機的輔助分析與計算，減少了計算量，提高了計算效率，比傳統(tǒng)的迭代數(shù)值解法更具有優(yōu)越性。</p><p><b>　　四、參考文獻</b></p><p>　　[1] 丘維聲.高等代數(shù)學習指導書（下冊）[M].北京:清華

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