海淀區(qū)高三年級(jí)期中練習(xí)數(shù)學(xué)試卷理

1、<p>　　海淀區(qū)高三年級(jí)2015-2016 學(xué)年度第二學(xué)期期中練習(xí)</p><p>　　數(shù)學(xué)試卷（理科） 2016.4</p><p>　　本試卷共4 頁(yè)，150 分．考試時(shí)長(zhǎng)120 分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上</p><p>　　作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．</p><p>　　一、選擇題共8

2、 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目</p><p><b>　　要求的一項(xiàng)．</b></p><p><b>　　1．函數(shù)的定義域?yàn)?lt;/b></p><p>　　A．［0，＋）? ? B．［1，＋）? ? C．（－，0］? D．（－，1］</p><p>　　2

3、．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數(shù)單位），則輸出的S 值為</p><p><b>　　A．－1 　　</b></p><p><b>　　B．1 　　　</b></p><p><b>　　C．－i 　　</b></p><p><b>　　D．i

4、</b></p><p>　　3．若x，y 滿足，則的最大值為</p><p>　　A．　　　　B．3 </p><p><b>　　C．　　　　D．4</b></p><p>　　4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為</p><p><b>　　A．　　　B．</

5、b></p><p><b>　　C．　　D．</b></p><p>　　5．已知數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為Sn，則“ 為常數(shù)列”是“”的</p><p>　　A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件</p><p>　　C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件</p><p>　　6

6、．在極坐標(biāo)系中，圓C1 :與圓C2:相交于 A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝</p><p>　　A．1 　　B．　 C．　　 D． 2</p><p>　　7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是</p><p><b>　　A． 　　B．</b></p><p><b>　　C． 　　　D．</b>

7、</p><p>　　8．某生產(chǎn)基地有五臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)有五項(xiàng)工作待完成，每臺(tái)機(jī)器完成每項(xiàng)工作后獲得的效益值</p><p>　　如表所示．若每臺(tái)機(jī)器只完成一項(xiàng)工作，且完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大，則</p><p><b>　　下列敘述正確的是</b></p><p>　　A．甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作 　B．乙不能承擔(dān)第二

8、項(xiàng)工作</p><p>　　C．丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作 　D．丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作</p><p>　　二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分．</p><p>　　9．已知向量，若，則t ＝ _______．</p><p>　　10．在等比數(shù)列中，a2＝2，且，則的值為_______．</p><p>　　

9、11．在三個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是_______．</p><p>　　12．已知雙曲線C：的一條漸近線l 的傾斜角為，且C 的一個(gè)焦點(diǎn)到l 的距離</p><p>　　為，則C 的方程為_______．</p><p>　　13．如圖，在三角形三條邊上的6個(gè)不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1，2，3 中的一個(gè)．</p><p>　?。á。┊?dāng)每條邊上的三個(gè)數(shù)

10、字之和為4 時(shí)，不同的填法有_______種；</p><p>　　（ⅱ）當(dāng)同一條邊上的三個(gè)數(shù)字都不同時(shí)，不同的填法有_______種．</p><p>　　14．已知函數(shù)，對(duì)于實(shí)數(shù)t ，若存在a＞0，b ＞0 ，滿足：，使得</p><p>　　2，則記a＋b的最大值為H（t ）．</p><p>　　（?。┊?dāng) ＝2x時(shí)，H（0）＝ ___

11、____．</p><p>　?。áⅲ┊?dāng)且t時(shí)，函數(shù)H（t）的值域?yàn)開______．</p><p>　　三、解答題共6 小題，共80 分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程．</p><p>　　15．（本小題滿分13 分）</p><p>　　如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D在邊 AB上，且．記∠ACD＝ ，∠BCD＝．</p>

12、<p><b>　?。á瘢┣笞C： ；</b></p><p>　?。á颍┤簦驜C 的長(zhǎng)．</p><p>　　16．（本小題滿分13 分）</p><p>　　2004 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國(guó)兒童基金會(huì)等機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推</p><p>　　廣．2015 年12 月10 日，我國(guó)科學(xué)家屠呦呦

13、教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法</p><p>　　上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)．目前，國(guó)內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速．</p><p>　　某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對(duì)青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中</p><p>　　分別種植了100 株青蒿進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4</p><p>　　株青蒿作為樣本

14、，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示：</p><p>　?。á瘢└鶕?jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量；</p><p>　　（Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為，，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，</p><p>　　試估計(jì)與的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）；</p><p>　?。á螅臉颖局械纳缴吓c山下青蒿中各隨機(jī)選取1 株，

15、記這2 株的產(chǎn)量總和為，求</p><p>　　隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．</p><p>　　17．（本小題滿分14 分）</p><p>　　如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M ，N</p><p>　　分別為線段PB，PC 上的點(diǎn)，MN⊥PB．</p><p>　　（

16、Ⅰ）求證： BC⊥平面PAB ；</p><p>　　（Ⅱ）求證：當(dāng)點(diǎn)M 不與點(diǎn)P ，B 重合時(shí)，M ，N ，D ， A 四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)；</p><p>　?。á螅┊?dāng)PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小為時(shí)，求PN 的長(zhǎng)．</p><p>　　18．（本小題滿分13 分）</p><p>　　已知函數(shù)f (x) ＝ln x＋－1

17、，</p><p>　?。á瘢┣蠛瘮?shù) f (x)的最小值；</p><p>　?。á颍┣蠛瘮?shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；</p><p>　　（Ⅲ）求證：直線 y＝x不是曲線 y ＝g(x)的切線。</p><p>　　19．（本小題滿分14 分）</p><p>　　已知橢圓C：的離心率為，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩

18、點(diǎn)，</p><p><b>　　且｜AB｜＝2．</b></p><p>　?。á瘢┣髾E圓C 的方程；</p><p>　?。á颍┰O(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在 y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x＝ 4</p><p>　　分別交于M ， N 兩點(diǎn)．若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點(diǎn)E ， F ，求點(diǎn)P 橫&l

19、t;/p><p>　　坐標(biāo)的取值范圍及｜EF｜的最大值．</p><p>　　20．（本小題滿分13 分）</p><p>　　給定正整數(shù)n(n≥3)，集合．若存在集合A，B，C，同時(shí)滿足下</p><p><b>　　列條件：</b></p><p>　?、?U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩

20、C ＝A∩C＝；</p><p>　?、诩螦 中的元素都為奇數(shù)，集合B 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集</p><p>　　合C 中（集合C 中還可以包含其它數(shù)）；</p><p>　?、奂螦 ， B ，C 中各元素之和分別記為SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ；</p><p>　　則稱集合 Un為可分集合

21、．</p><p>　?。á瘢┮阎猆8為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A ， B ，C ；</p><p>　?。á颍┳C明：若n 是3 的倍數(shù)，則Un不是可分集合；</p><p>　　（Ⅲ）若Un為可分集合且n 為奇數(shù)，求n 的最小值．</p><p>　?。忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）</p>&l

22、t;p>　　海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)參考答案</p><p>　　數(shù)學(xué)（理科） 2016.4 </p><p><b>　　閱卷須知:</b></p><p>　　1.評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。</p><p>　　2.其它正確解法可以參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。</p

23、><p>　　一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）</p><p>　　二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，</p><p><b>　　共30分）</b></p><p>　　三、解答題(本大題共6小題,共80分)</p><p><b

24、>　　15．解：（Ⅰ） </b></p><p>　　在中，由正弦定理,有 …………………2分</p><p>　　在中，由正弦定理,有 …………………4分</p><p>　　因?yàn)?所以 …………………6分</p><p>　　因?yàn)?

25、 所以 …………………7分</p><p><b>　?。á颍┮?yàn)椋?</b></p><p>　　由（Ⅰ）得 …………………9分</p><p><b>　　設(shè),由余弦定理,</b></p&g

26、t;<p>　　…………………11分</p><p>　　代入,得到, </p><p>　　解得,所以. …………………13分</p><p>　　16解: (I)由山下試驗(yàn)田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)</p>

27、<p><b>　　…………………2分</b></p><p>　　則山下試驗(yàn)田株青蒿的青蒿素產(chǎn)量估算為</p><p>　　g …………………3分</p><p>　?。á颍┍容^山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差和，結(jié)果為.</p><p><b>

28、　　…………………6分</b></p><p>　?。á螅┮李}意，隨機(jī)變量可以取， …………………7分</p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p>　　, ………

29、…………9分</p><p><b>　　隨機(jī)變量的分布列為</b></p><p>　　…………………11分</p><p><b>　　隨機(jī)變量的期望.</b></p><p>　　…………………13分</p><p><b>　　17解: </b>

30、</p><p>　?。á瘢┳C明：在正方形中，, …………………1分</p><p>　　因?yàn)槠矫?，平面?所以. …………………2分</p><p><b>　　因?yàn)?，且，平面?lt;/b></p><p>　　所以平面

31、 …………………4分</p><p>　　（Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫?，平? [來(lái)源:Zxxk.Com]</p><p>　　所以 …………………5分</p><p><b>　　在中，，，</b></p><p>

32、;　　所以. …………………6分</p><p>　　在正方形中，, 所以， …………………7分</p><p>　　所以 可以確定一個(gè)平面，記為 </p><p>　　所以四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)

33、 …………………8分</p><p>　?。á螅┮?yàn)槠矫?，平面?lt;/p><p>　　所以,. </p><p>　　又,如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,

34、 …………………9分</p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　設(shè)平面的一個(gè)法向量為，</p><p>　　平面的一個(gè)法向量為,</p><p><b>　　設(shè), ，</b></p><p><b>　　因?yàn)椋裕?lt;/b>

35、</p><p>　　又，所以，即，…………………10分 </p><p>　　取, 得到, …………………11分</p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p><p>　　所以，即， </p><p>　　

36、取得, 到, …………………12分</p><p>　　因?yàn)槎娲笮? 所以, </p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　解得, 所以 …………………14分&l

37、t;/p><p>　　18解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?…………………1分</p><p><b>　　…………………2分</b></p><p>　　當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：</p><p><b>　　…………………4分</b></p>&l

38、t;p>　　函數(shù)在上的極小值為， </p><p>　　所以的最小值為 …………………5分</p><p>　?。á颍┙猓汉瘮?shù)的定義域?yàn)椋?…………………6分</p><p><b>　　…………………7分</b>&

39、lt;/p><p>　　由（Ⅰ）得，，所以 …………………8分</p><p>　　所以的單調(diào)增區(qū)間是，無(wú)單調(diào)減區(qū)間. …………………9分</p><p>　　（Ⅲ）證明：假設(shè)直線是曲線的切線. ………………10分</p><p>　　設(shè)切

40、點(diǎn)為，則，即 …………………11分</p><p>　　又，則. …………………12分</p><p>　　所以, 得，與 矛盾 </p><p>　　所以假設(shè)不成立，直線不是曲線的切線 …………………13分</p><p>　　1

41、9解：（Ⅰ）由題意可得，， …………………1分</p><p>　　， …………………2分</p><p>　　得， …………………3分</

42、p><p>　　解， …………………4分</p><p>　　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …………………5分</p><p>　　（Ⅱ）設(shè)，，， </p><p>　　所以，直線的方程為

43、， …………………6分</p><p>　　同理：直線的方程為， </p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為， …………………7分</p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為，</p><p>　　線段的中點(diǎn)，

44、 …………………8分 </p><p>　　所以圓的方程為， …………………9分</p><p>　　令，則， …………………10分</p><p>　　因?yàn)?，所?， …………………11分</p><p>

45、;<b>　　所以，</b></p><p>　　因?yàn)檫@個(gè)圓與軸相交,該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，[來(lái)源:Z|xx|k.Com]</p><p>　　所以 ，解得. …………………12分</p><p><b>　　設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則（）</b></p>&

46、lt;p>　　所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. …………………14分</p><p>　　方法二：（Ⅱ）設(shè)，，，</p><p>　　所以，直線的方程為， …………………6分</p><p>　　同理：直線的方程為，</p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為，

47、 …………………7分</p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為，</p><p>　　若以MN為直徑的圓與x軸相交，</p><p>　　則， …………………9分</p><p><b>　　即</b></p><p>　

48、　即 …………………10分</p><p>　　因?yàn)?，所以 , …………………11分 </p><p>　　代入得到 ，解得. …………………12分</p><p><b>　　該圓的直

49、徑為，</b></p><p>　　圓心到x軸的距離為，</p><p>　　該圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為；</p><p>　　所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. …………………14分 </p><p><b>　　方法三：</b></p>

50、<p><b>　?。á颍┰O(shè)，，， </b></p><p>　　所以，直線的方程為， …………………6分</p><p>　　同理：直線的方程為，</p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為， …………………7分</p><p>　　直線與直線的交點(diǎn)為，&l

51、t;/p><p>　　所以， …………………8分</p><p>　　圓心到x軸的距離為， …………………9分</p><p>　　若該圓與軸相交，則 ， …………………10分</p><p><b>　　即，</b></p>

52、<p>　　因?yàn)?，所以, …………………11分</p><p>　　所以，解得 …………………12分</p><p>　　該圓在x軸上截得的弦長(zhǎng)為；</p><p>　　所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2.

53、 …………………14分</p><p>　　方法四： 記 , ，設(shè)</p><p><b>　　由已知可得，</b></p><p>　　所以的直線方程為， ……………………….6分</p><p><b>　　的直線方程為，</b></

54、p><p><b>　　令，分別可得，</b></p><p>　　， ……………………….8分</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　若以為直徑的圓與軸相交于，</p><p>　　因?yàn)椋?所以，

55、 ……………………….9分</p><p>　　……………………….10分</p><p>　　因?yàn)?，所以, ……………………….11分</p><p>　　代入得到 </p><p>　　所以，

56、 ……………………….12分</p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. …………………14分</p><p><b>　　方法五：</b>&l

57、t;/p><p><b>　　設(shè)直線 與交于點(diǎn) </b></p><p>　　因?yàn)?軸，所以有 </p><p>　　所以，所以，所以是的中點(diǎn). ……………………….6分</p><p>　　又設(shè), 所以直線方程為, ……………………….7分</p><p

58、>　　令,得, 所以 ……………………….8分 </p><p>　　而 ……………………….9分</p><p>　　若以為直徑的圓與軸相交于</p><p>　　則

59、 ……………………….10分</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　因?yàn)?，所以,代入得到 ……………………….11分</p><p><b>　　所以，所以或</b></p><p>　　因?yàn)辄c(diǎn)，

60、所以 ……………………….12分 </p><p><b>　　而</b></p><p>　　所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. …………………14分</p><p><b>　　20解：</b></p&

61、gt;<p>　?。↖）依照題意，可以取，， …………………3分</p><p>　?。↖I）假設(shè)存在是的倍數(shù)且是可分集合.</p><p><b>　　設(shè)，則依照題意，</b></p><p><b>　　故，</b></p><p>　　而這個(gè)數(shù)的和為，故, 矛盾，<

62、/p><p>　　所以是3的倍數(shù)時(shí)，一定不是可分集合 …………………7分</p><p>　　(Ⅲ)35. …………………8分</p><p>　　因?yàn)樗性睾蜑?，又中元素是偶?shù)，所以=(為正整數(shù))</p><

63、p>　　所以，因?yàn)闉檫B續(xù)整數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)</p><p>　　由（Ⅱ）知道，不是3的倍數(shù)，所以一定有是的倍數(shù). [來(lái)源:Z+xx+k.Com]</p><p>　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，而，</p><p>　　所以一定有既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，所以,</p><p>　　所以.

64、 …………………10分</p><p>　　定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成，</p><p>　　定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成，</p><p>　　根據(jù)集合的性質(zhì)知道，集合，</p><p>　　此時(shí)集合中的元素之和都是，而，</p><

65、;p>　　此時(shí)中所有的倍數(shù)的和為，</p><p><b>　　,</b></p><p>　　顯然必須從集合中各取出一些元素，這些元素的和都是，</p><p>　　所以從集合中必須取偶數(shù)個(gè)元素放到集合中，所以,</p><p><b>　　所以，此時(shí)</b></p><