混沌-中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)

1、數(shù)學(xué)實驗之十三－混沌,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系陳發(fā)來,實驗內(nèi)容,函數(shù)迭代二次函數(shù)的迭代FeigenBaum圖混沌的特性其它函數(shù)的迭代,一、函數(shù)迭代,給定一函數(shù) 以及初始點 ，定義數(shù)列 稱為函數(shù) 的迭代序列。 滿足 的點 稱為 的不動點，記之為 。如果所有附近的點在迭代過程中都趨向于某一不動點，則該不動點稱為吸引點。如果所有附近的,,點都遠離它，則它是排斥點。

2、例如，0 與 1 是 的不動點。0 是吸引點，1是排斥點。如果則點集 形成一個 k 循環(huán)。 稱為 k 周期點。k稱為周期。,類似地，周期點也可以分吸引點與排斥點。如果點 最終歸宿于某個循環(huán)中，則稱它為預(yù)周期點。如 1 是 的預(yù)周期點。迭代序列 的收斂與發(fā)散性質(zhì)不僅與函數(shù) 有關(guān)， 而且與初值的選擇有關(guān)。 例如，對于迭代,,,當(dāng)初值 時，

3、迭代序列收斂，否則發(fā)散。,二、二次函數(shù)的迭代,對二次函數(shù) 做迭代: 迭代的幾何直觀圖,,,,,,,,,,,,,練習(xí) 1 對幾組不同的參數(shù)值 （如 1.4)以及不同的初值 ，觀察迭代是否收斂。練習(xí) 2 取參數(shù) ，用不同的初值做迭代。你能找到一個吸引的不動點嗎？一個排斥的不動點嗎？哪些初值收斂到吸引的不動點？哪些初值使序列發(fā)散？取不動的參數(shù)

4、 回答同樣的問題。,,練習(xí) 3 找出一個參數(shù) 使它對應(yīng)的迭代具有2周期點。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？練習(xí) 4 對任意的整數(shù) ，你能找到一個 值使得它對應(yīng)的迭代具有 周期點嗎？對哪些 值能給出 周期點？在每種情況下，結(jié)果是否依賴于初值？（對 和 的值進行驗證）,練習(xí) 5 如果某個 值能給出周期點，它是否一定是吸引的周期點？你能否找到排斥的周期點？練習(xí) 6 根據(jù)前面的練習(xí)，試著從

5、理論上分析：如何求不動點？對哪些 值對應(yīng)吸引的不動點？哪些 值對應(yīng)排斥的不動點？初值對結(jié)果有什么影響？對周期點做類似的分析。,,不動點的計算 從　　 得到 及,吸引的不動點與排斥的不動點 定理　設(shè) 是 的不動點，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動點；否則， 是 的排斥的不動點?！∮捎?故當(dāng) 0<a<1時，０為吸引點

6、，(a-1)/a為排斥點。當(dāng)1<a<3, ０為排斥點，(a-1)/ a為吸引點。,2 周期點 得,三、Feigenbaum圖,將區(qū)間（0, 4] 以某個步長 （如 ）離散化。對每個離散的 值做迭代。忽略前50個迭代值，而把點 顯示在坐標(biāo)平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。,練習(xí) 7 觀察Feigenbaum圖。（1）它的左部有一條曲線，這表示什么意義

7、？（2） 從某一點 開始，這條曲線分成兩支，這說明了迭代的什么性質(zhì)？迭代的點是如何運動的？（3）再在下一個分支點 ，曲線分成幾支？這說明迭代的什么性質(zhì)？（4）上述分支過程是否一直進行下去？,是否存在極限分支點 ? （5）在極限分支點之后，F(xiàn)eigenbaum圖是否顯得很混亂？練習(xí) 8 在Feigenbaum圖的右部，有一個有三條線穿過的空白地帶，它是一個周期為3 的窗口。你能找到其它窗口嗎？它們的周期是什

8、么？窗口里有什么圖案？這些窗口與周期軌道有什么關(guān)系？,四、混沌的特性,對初值的敏感性練習(xí) 9 任取兩個初值使它們之間的差的絕對值不超過 0.1, 在迭代他們是否逐漸分開？如果兩個初值的差的絕對值不超過0.01, 0.001, 0.0001 結(jié)果如何？由此得出迭代對初值是否敏感？,非隨機性 仍然考慮迭代練習(xí) 10 從不同的初值 出發(fā)，統(tǒng)計迭代點列中分別落與區(qū)間（0,1/2)及(1/2,1)中的

9、點的個數(shù)，你得到的結(jié)果是隨機的嗎？進一步，將區(qū)間分成任意等份，統(tǒng)計迭代點列落于每個子區(qū)間的點的個數(shù)？結(jié)果如何？,五、其它函數(shù)的迭代,鋸齒函數(shù) 練習(xí) 11 鋸齒函數(shù)的迭代對初值是否敏感？ 找出鋸齒函數(shù)的周期點。,,,,,帳篷函數(shù) 練習(xí) 12 帳篷函數(shù)的迭代對初值是否敏感？ 找出帳篷函數(shù)的周期點。,,,,,其它函數(shù)的迭代 對以下函數(shù)的迭代行為做探討，并與函數(shù) 的迭代