混沌-數(shù)學與統(tǒng)計學院-山東理工大學

1、混沌、非線性與哲學 __________________,山東理工大學 | 邊寧,背景,“非線性科學”是很時髦的一個詞匯，要知道非線性科學的出現(xiàn)是近30年的事，但卻標志著人類認識自然的一次巨大飛躍。非線性科學揭示了一些新現(xiàn)象、新事實、新規(guī)律，如：隨機性、混沌、分形、孤立子、自組織、復雜性……,非線性的例子：分形,只要你計算的點足夠多,不管你把圖案放大多少倍,都能顯示出更加復雜的局部.這些局部既與整

2、體不同,又有某種相似的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細節(jié)和自相似性,分形（混沌吸引子）與紡織品設計,數(shù)學不是一門只有加減乘除等計算的學科，某種意義上講，數(shù)學已更像一門哲學：Hilbert旅館的故事芝諾悖論,其實在20世紀之前，哲學家就開始研究數(shù)學中的哲學問題。到20世紀初，集合論悖論引起數(shù)學基礎危機，數(shù)學家和邏輯學家為了消除這場危機，從各自的數(shù)學觀出發(fā)，提出了不同解決方案，這標志著數(shù)學哲學第一次從哲學母體中分離出來。

3、當然，數(shù)學哲學的研究對象是相當廣泛的，今天只談混沌與非線性科學中的哲學問題。,今天有一個關于混沌與數(shù)學哲學的報告。 明年的今天，將會有一場暴雨…… 這是一個很有秩序的世界，這些話你很可能會相信，也許你不會認為我不是亂說。我想問的是：我們到底能預測什么？有沒有不可預測的事情發(fā)生？,問題的提出,從理論上講，我們中學時代學的牛頓力學就足以表明，所有事物運動發(fā)展的狀態(tài)都是可以預言的，包括某個時刻你的哪根指頭會怎樣運動

4、都是可以知道的！暫時你不要覺得荒謬，也不要驚訝。這就是數(shù)學和力學特別是經典牛頓力學的“威力” ！一位偉大的數(shù)學家——Laplace ，他的確定論原理，將經典牛頓力學發(fā)揚光大。,Laplace,牛頓力學在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質心作嚴格的周期運動。但太陽系不止兩個成員，第三者的存在會否動搖這樣的穩(wěn)定和諧？拉普拉斯曾用一種所謂的“攝動法”來修正三體運動的軌道，證明三

5、體運動的穩(wěn)定性。據(jù)說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要這樣的假設”。拉普拉斯否定了上帝，但他的結論卻是錯的。因為三體運動中存在著混沌。,確定性原理,Laplace曾說：“假設有一位智者，它能知道在任一給定時刻作用于自然界的所有的力，以及構成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運動包容到一個公式中。對于這位智者來說，再沒有事

6、物是不確定的了，過去和將來都歷歷在目?！?分析,毫無疑問，這位智者是存在的——上帝！ 初始條件也是可以確定的，比如說我們可把某一時刻作為初始時刻，根據(jù)確定性原理，以后任何時刻的事情我們都了如指掌！,Laplace的信息源于這樣的一種信念：,世界是統(tǒng)一的，所有復雜性都是表面現(xiàn)象，復雜性可分解為簡單現(xiàn)象，在充分理解簡單現(xiàn)象之后，復雜現(xiàn)象也就得到了規(guī)律，整體等于部分之和。,悖論？！,對此你會產生懷疑嗎？宇宙是有秩序的，我們也千方百計地

7、制訂一些規(guī)則，為我們人類，也為整個宇宙！ 然而，假設你是我們校園里最聽話的學生，給你安排好了此時你做這個，下一刻你做那個，那該是多么枯燥！要知道，我們的世界可是豐富多彩的，也許在某一天，別人叫你往東走，你故意要往西走！ 這回完了，最乖的學生打破了宇宙的秩序！,問題出在哪里？,回到剛才的話，整體等于部分之和： 這種孤立的、線性的思維方式，的確帶來了科學的巨大進步，但現(xiàn)在看來，是否有些太簡單化了？,19世紀末，

8、偉大的法國數(shù)學家Poincare在研究“太陽系的穩(wěn)定性問題”之后，吃驚地發(fā)現(xiàn)太陽系前途未卜：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產生極大的差別，預言變得不太可能了，而我們在宇宙中有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象！,Henri Poincare,通過數(shù)學推理發(fā)現(xiàn)混沌的第一人 ，公認真正研究混沌的第一位科學家。,Poincare的思想太超前了，當時很少有人重視。直到1960年，前蘇聯(lián)數(shù)學家 Kolmogorov，Arnold，Mose

9、r 提出了著名的KAM理論。該理論證明了Poincare的創(chuàng)見：動力系統(tǒng)初始條件無論出現(xiàn)多么小的擾動，都將為隨機性和不可預測性大開方便之門！,Chaos,For want of a nail, the shoe was lost;For want of a shoe, the horse was lost;For want of a horse, the rider was lost;For want of a rider,

10、 a message was lost;For want of a message the battle was lost;For want of a battle, the kingdom was lost!,似乎這首民謠背后真的掩藏著什么秘密：丟失一個釘子，壞了一只碲鐵；壞了一只碲鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。這就是典型的混

11、沌思想。,混沌的特性,對初值條件的依賴性 y=2x2-1以只差0.001的初始值迭代2. 混亂中 的秩序,什么是混沌？,混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性——不可重復、不可預測。進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，表現(xiàn)為它對于初始條件的敏感依賴性。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多

12、是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術問題中，混沌是無處不在的?；煦?，也是英文的chaos，在現(xiàn)代漢語中，“渾沌”(混沌)主要有如下四種含義：(1)混亂(貶義)；(2)混合、中介；(3)自然，淳樸，未分化(褒義或中性)，不懂事；(4)朦朧，模糊，糊涂。近些年來除了受到數(shù)學、物理學等學術研究領域的關注外，在音樂、藝術、美工設計等方面的應用更加普遍。采用計算機作圖技術，根據(jù)混沌等式可以畫出奇妙無比的圖形。,人們何時開始認識

13、到混沌？,然而，混沌思想真正大放異彩的地方，首先是在天氣預報的研究。天氣預報是人們長期的夢想。1922年，英國物理學家Richardson提議：聚集一批專家，在統(tǒng)一的指揮下計算影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)，但他估計可能要64000個計算快手才能使天氣預報不落后于實際的天氣。,計算機和氣象衛(wèi)星的發(fā)明才真正給天氣預報帶來了希望。20世紀60年代初，計算機只是真空管構件，Lorenz(數(shù)學家、物理家、氣象學家)決定在計算機上探究天氣的奧秘。Lore

14、nz把氣象問題進行了大刀闊斧的簡化，得到12個方程，表示溫度、壓力、風速之間的關系。當然，他在思考時也秉承了牛頓力學決定論哲學的思想。,一切都很正常，直到有一次他為了節(jié)省時間，把前一次運算中的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計算機。沒想到，這個不經意的舉動卻種下了科學的種子。打印出來的天氣走勢天差地別，就像兩次完全不同的天氣，相當令人吃驚！長期與變幻莫測的氣象打交道的經驗使Lorenz確信：最初的誤差會帶來長期的災難，長期天氣預報是不可能的！,作

15、為一個數(shù)學家，Lorenz并沒有止步。最終，他找到了一組簡單的三元微分方程組（三個方程），可以產生他想要的復雜性。這些方程是非線性的，也就是說，各變量之間不再滿足線性的疊加關系。,于是，一個新的哲學誕生了：一個可以用確定性方程描述的確定性系統(tǒng)，因為初始條件不可避免的誤差，經過非線性因素的攪和，得出永不重復的非周期性結果 ——這正是混沌！,接下來1979年，Lorenz在一次會議上向聽眾拋出如下問題：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得

16、克薩斯引起龍卷風嗎？旨在強調非線性系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性。后來，“蝴蝶效應”成了混沌的代名詞。,Lorenz和他的蝴蝶型吸引子,MITWeather systemMeteorologist,就嚴肅的物理學理論而言，愛因斯坦的《相對論》指出，的確存在不違背已知的物理法則改變時間的可能性。但更多的只是一種科學幻想。為了解決“時間悖論”，也有多種假設，比如比較盛行的“平行宇宙”假說，認為我們的這個世界在宇宙中還有許多相似的“克隆世界”

17、，當某人回到過去時，他就進入了另一個平行世界（即未來因為他的行動已經改變的世界），再也不可能回到原來的世界。,蝴蝶吸引子??平行宇宙,更多的混沌……,另外，流體力學中的湍流理論也是一個例子。 （湍流：流體無規(guī)則，游走不定的狀態(tài)）例如：流水經過橋墩后形成的糾結的旋渦,湍流,前蘇聯(lián)物理學家Landan在1944年提出一種模態(tài)： 更多的能量或擾動進入流體，激發(fā)出“越來越多”的周期運動 ，流體變得不規(guī)則，當模態(tài)數(shù)量達到“一定程度”時，

18、流體就被攪成一鍋混沌之粥。,類似這樣的話，物理學家是可以講的，數(shù)學家是不能這樣講的。物理學家更加關心物理現(xiàn)象，但數(shù)學家關心為什么會這樣，會試圖用一套數(shù)學上嚴格的語言加以論證。 阿基米德、牛頓、高斯、黎曼……,到目前為止，我們對經典力學和確定論的某些質疑，相信混沌的產生。,問題——研究混沌的方法,非線性科學，如動力系統(tǒng)、偏微分方程。,數(shù)學家對混沌的研究,盡管很多數(shù)學家都沒有就此罷休，但對于混沌的機制，至今還是很大的op

19、en problem，僅有的結果，是1971年荷蘭數(shù)學家Takens與法國物理學家Ruelle合寫了《論湍流的本質》。,思考,類似的現(xiàn)象表明，復雜性與簡單性其實是統(tǒng)一的，可見某些復雜的現(xiàn)象后面蘊含著簡單的秩序。這種秩序的產生，是否正是上帝的最大秘密之一??？,愛因斯坦曾說：“上帝不擲骰子?！倍煦缋碚摰膫鹘淌扛Ｌ丶m正道：“上帝的確擲骰子，但是灌了鉛的骰子?！?的確，上帝不再是造物主，而是宇宙的精神。我們正在經歷一個根本性轉變，從確定論