混沌-數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院-山東理工大學(xué)

1、混沌、非線性與哲學(xué) __________________,山東理工大學(xué) | 邊寧,背景,“非線性科學(xué)”是很時髦的一個詞匯，要知道非線性科學(xué)的出現(xiàn)是近30年的事，但卻標(biāo)志著人類認(rèn)識自然的一次巨大飛躍。非線性科學(xué)揭示了一些新現(xiàn)象、新事實(shí)、新規(guī)律，如：隨機(jī)性、混沌、分形、孤立子、自組織、復(fù)雜性……,非線性的例子：分形,只要你計算的點(diǎn)足夠多,不管你把圖案放大多少倍,都能顯示出更加復(fù)雜的局部.這些局部既與整

2、體不同,又有某種相似的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細(xì)節(jié)和自相似性,分形（混沌吸引子）與紡織品設(shè)計,數(shù)學(xué)不是一門只有加減乘除等計算的學(xué)科，某種意義上講，數(shù)學(xué)已更像一門哲學(xué)：Hilbert旅館的故事芝諾悖論,其實(shí)在20世紀(jì)之前，哲學(xué)家就開始研究數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問題。到20世紀(jì)初，集合論悖論引起數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)，數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家為了消除這場危機(jī)，從各自的數(shù)學(xué)觀出發(fā)，提出了不同解決方案，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)第一次從哲學(xué)母體中分離出來。

3、當(dāng)然，數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究對象是相當(dāng)廣泛的，今天只談混沌與非線性科學(xué)中的哲學(xué)問題。,今天有一個關(guān)于混沌與數(shù)學(xué)哲學(xué)的報告。 明年的今天，將會有一場暴雨…… 這是一個很有秩序的世界，這些話你很可能會相信，也許你不會認(rèn)為我不是亂說。我想問的是：我們到底能預(yù)測什么？有沒有不可預(yù)測的事情發(fā)生？,問題的提出,從理論上講，我們中學(xué)時代學(xué)的牛頓力學(xué)就足以表明，所有事物運(yùn)動發(fā)展的狀態(tài)都是可以預(yù)言的，包括某個時刻你的哪根指頭會怎樣運(yùn)動

4、都是可以知道的！暫時你不要覺得荒謬，也不要驚訝。這就是數(shù)學(xué)和力學(xué)特別是經(jīng)典牛頓力學(xué)的“威力” ！一位偉大的數(shù)學(xué)家——Laplace ，他的確定論原理，將經(jīng)典牛頓力學(xué)發(fā)揚(yáng)光大。,Laplace,牛頓力學(xué)在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質(zhì)心作嚴(yán)格的周期運(yùn)動。但太陽系不止兩個成員，第三者的存在會否動搖這樣的穩(wěn)定和諧？拉普拉斯曾用一種所謂的“攝動法”來修正三體運(yùn)動的軌道，證明三

5、體運(yùn)動的穩(wěn)定性。據(jù)說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要這樣的假設(shè)”。拉普拉斯否定了上帝，但他的結(jié)論卻是錯的。因為三體運(yùn)動中存在著混沌。,確定性原理,Laplace曾說：“假設(shè)有一位智者，它能知道在任一給定時刻作用于自然界的所有的力，以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運(yùn)動包容到一個公式中。對于這位智者來說，再沒有事

6、物是不確定的了，過去和將來都?xì)v歷在目?！?分析,毫無疑問，這位智者是存在的——上帝！ 初始條件也是可以確定的，比如說我們可把某一時刻作為初始時刻，根據(jù)確定性原理，以后任何時刻的事情我們都了如指掌！,Laplace的信息源于這樣的一種信念：,世界是統(tǒng)一的，所有復(fù)雜性都是表面現(xiàn)象，復(fù)雜性可分解為簡單現(xiàn)象，在充分理解簡單現(xiàn)象之后，復(fù)雜現(xiàn)象也就得到了規(guī)律，整體等于部分之和。,悖論？！,對此你會產(chǎn)生懷疑嗎？宇宙是有秩序的，我們也千方百計地

7、制訂一些規(guī)則，為我們?nèi)祟?，也為整個宇宙！ 然而，假設(shè)你是我們校園里最聽話的學(xué)生，給你安排好了此時你做這個，下一刻你做那個，那該是多么枯燥！要知道，我們的世界可是豐富多彩的，也許在某一天，別人叫你往東走，你故意要往西走！ 這回完了，最乖的學(xué)生打破了宇宙的秩序！,問題出在哪里？,回到剛才的話，整體等于部分之和： 這種孤立的、線性的思維方式，的確帶來了科學(xué)的巨大進(jìn)步，但現(xiàn)在看來，是否有些太簡單化了？,19世紀(jì)末，

8、偉大的法國數(shù)學(xué)家Poincare在研究“太陽系的穩(wěn)定性問題”之后，吃驚地發(fā)現(xiàn)太陽系前途未卜：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生極大的差別，預(yù)言變得不太可能了，而我們在宇宙中有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象！,Henri Poincare,通過數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)混沌的第一人 ，公認(rèn)真正研究混沌的第一位科學(xué)家。,Poincare的思想太超前了，當(dāng)時很少有人重視。直到1960年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 Kolmogorov，Arnold，Mose

9、r 提出了著名的KAM理論。該理論證明了Poincare的創(chuàng)見：動力系統(tǒng)初始條件無論出現(xiàn)多么小的擾動，都將為隨機(jī)性和不可預(yù)測性大開方便之門！,Chaos,For want of a nail, the shoe was lost;For want of a shoe, the horse was lost;For want of a horse, the rider was lost;For want of a rider,

10、 a message was lost;For want of a message the battle was lost;For want of a battle, the kingdom was lost!,似乎這首民謠背后真的掩藏著什么秘密：丟失一個釘子，壞了一只碲鐵；壞了一只碲鐵，折了一匹戰(zhàn)馬；折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士；傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗；輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。這就是典型的混

11、沌思想。,混沌的特性,對初值條件的依賴性 y=2x2-1以只差0.001的初始值迭代2. 混亂中 的秩序,什么是混沌？,混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性——不可重復(fù)、不可預(yù)測。進(jìn)一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，表現(xiàn)為它對于初始條件的敏感依賴性。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多

12、是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的?；煦纾彩怯⑽牡腸haos，在現(xiàn)代漢語中，“渾沌”(混沌)主要有如下四種含義：(1)混亂(貶義)；(2)混合、中介；(3)自然，淳樸，未分化(褒義或中性)，不懂事；(4)朦朧，模糊，糊涂。近些年來除了受到數(shù)學(xué)、物理學(xué)等學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的關(guān)注外，在音樂、藝術(shù)、美工設(shè)計等方面的應(yīng)用更加普遍。采用計算機(jī)作圖技術(shù)，根據(jù)混沌等式可以畫出奇妙無比的圖形。,人們何時開始認(rèn)識

13、到混沌？,然而，混沌思想真正大放異彩的地方，首先是在天氣預(yù)報的研究。天氣預(yù)報是人們長期的夢想。1922年，英國物理學(xué)家Richardson提議：聚集一批專家，在統(tǒng)一的指揮下計算影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)，但他估計可能要64000個計算快手才能使天氣預(yù)報不落后于實(shí)際的天氣。,計算機(jī)和氣象衛(wèi)星的發(fā)明才真正給天氣預(yù)報帶來了希望。20世紀(jì)60年代初，計算機(jī)只是真空管構(gòu)件，Lorenz(數(shù)學(xué)家、物理家、氣象學(xué)家)決定在計算機(jī)上探究天氣的奧秘。Lore

14、nz把氣象問題進(jìn)行了大刀闊斧的簡化，得到12個方程，表示溫度、壓力、風(fēng)速之間的關(guān)系。當(dāng)然，他在思考時也秉承了牛頓力學(xué)決定論哲學(xué)的思想。,一切都很正常，直到有一次他為了節(jié)省時間，把前一次運(yùn)算中的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計算機(jī)。沒想到，這個不經(jīng)意的舉動卻種下了科學(xué)的種子。打印出來的天氣走勢天差地別，就像兩次完全不同的天氣，相當(dāng)令人吃驚！長期與變幻莫測的氣象打交道的經(jīng)驗使Lorenz確信：最初的誤差會帶來長期的災(zāi)難，長期天氣預(yù)報是不可能的！,作

15、為一個數(shù)學(xué)家，Lorenz并沒有止步。最終，他找到了一組簡單的三元微分方程組（三個方程），可以產(chǎn)生他想要的復(fù)雜性。這些方程是非線性的，也就是說，各變量之間不再滿足線性的疊加關(guān)系。,于是，一個新的哲學(xué)誕生了：一個可以用確定性方程描述的確定性系統(tǒng)，因為初始條件不可避免的誤差，經(jīng)過非線性因素的攪和，得出永不重復(fù)的非周期性結(jié)果 ——這正是混沌！,接下來1979年，Lorenz在一次會議上向聽眾拋出如下問題：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得

16、克薩斯引起龍卷風(fēng)嗎？旨在強(qiáng)調(diào)非線性系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性。后來，“蝴蝶效應(yīng)”成了混沌的代名詞。,Lorenz和他的蝴蝶型吸引子,MITWeather systemMeteorologist,就嚴(yán)肅的物理學(xué)理論而言，愛因斯坦的《相對論》指出，的確存在不違背已知的物理法則改變時間的可能性。但更多的只是一種科學(xué)幻想。為了解決“時間悖論”，也有多種假設(shè)，比如比較盛行的“平行宇宙”假說，認(rèn)為我們的這個世界在宇宙中還有許多相似的“克隆世界”

17、，當(dāng)某人回到過去時，他就進(jìn)入了另一個平行世界（即未來因為他的行動已經(jīng)改變的世界），再也不可能回到原來的世界。,蝴蝶吸引子??平行宇宙,更多的混沌……,另外，流體力學(xué)中的湍流理論也是一個例子。 （湍流：流體無規(guī)則，游走不定的狀態(tài)）例如：流水經(jīng)過橋墩后形成的糾結(jié)的旋渦,湍流,前蘇聯(lián)物理學(xué)家Landan在1944年提出一種模態(tài)： 更多的能量或擾動進(jìn)入流體，激發(fā)出“越來越多”的周期運(yùn)動 ，流體變得不規(guī)則，當(dāng)模態(tài)數(shù)量達(dá)到“一定程度”時，

18、流體就被攪成一鍋混沌之粥。,類似這樣的話，物理學(xué)家是可以講的，數(shù)學(xué)家是不能這樣講的。物理學(xué)家更加關(guān)心物理現(xiàn)象，但數(shù)學(xué)家關(guān)心為什么會這樣，會試圖用一套數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的語言加以論證。 阿基米德、牛頓、高斯、黎曼……,到目前為止，我們對經(jīng)典力學(xué)和確定論的某些質(zhì)疑，相信混沌的產(chǎn)生。,問題——研究混沌的方法,非線性科學(xué)，如動力系統(tǒng)、偏微分方程。,數(shù)學(xué)家對混沌的研究,盡管很多數(shù)學(xué)家都沒有就此罷休，但對于混沌的機(jī)制，至今還是很大的op

19、en problem，僅有的結(jié)果，是1971年荷蘭數(shù)學(xué)家Takens與法國物理學(xué)家Ruelle合寫了《論湍流的本質(zhì)》。,思考,類似的現(xiàn)象表明，復(fù)雜性與簡單性其實(shí)是統(tǒng)一的，可見某些復(fù)雜的現(xiàn)象后面蘊(yùn)含著簡單的秩序。這種秩序的產(chǎn)生，是否正是上帝的最大秘密之一！？,愛因斯坦曾說：“上帝不擲骰子?！倍煦缋碚摰膫鹘淌扛Ｌ丶m正道：“上帝的確擲骰子，但是灌了鉛的骰子。”,的確，上帝不再是造物主，而是宇宙的精神。我們正在經(jīng)歷一個根本性轉(zhuǎn)變，從確定論