經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)模型-東北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

1、1,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型,史寧中,東北師范大學(xué),,,2,,學(xué)科的分類,形態(tài)分類 科學(xué) 研究概念、概念與概念的關(guān)系、概念與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系 判斷正確與否的準(zhǔn)則是事實(shí) 命題判斷，無論是誰、無論何時(shí)、無論何地 藝術(shù) 研究作品、作品與作品的關(guān)系、作品與感覺之間的關(guān)系 判斷正確與否的準(zhǔn)則是價(jià)值觀

2、 作品判斷，因人而變、因時(shí)而變、因地而變 哲學(xué) 研究范疇、范疇與范疇的關(guān)系、范疇與終極之間的關(guān)系 倫理學(xué)：人的行為；邏輯學(xué)：人的思維 政治學(xué)：社會(huì)組織；美學(xué)：形態(tài)與感官，是藝術(shù)的哲學(xué) 形而上學(xué)：存在的本體論，精神與物質(zhì)，經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí) 宗教：是一種情懷，是一種信仰,3,,學(xué)科的分類,思維分類形象

3、思維 基于觀察、觀察后的聯(lián)想、跨越聯(lián)想的想象邏輯思維 基于推理：對(duì)命題的判斷、若干命題判斷之間的思維過程 命題：可供判斷的陳述句 有邏輯的推理：命題的內(nèi)涵之間具有傳遞性 凡人都有死。蘇格拉底是人。蘇格拉底有死。 無邏輯的推理：命題的內(nèi)涵之間不具有傳遞性 蘋果是酸的。酸

4、是一種味道。蘋果是一種味道。辯證思維 強(qiáng)調(diào)事物的兩個(gè)方面：中國的陰陽 矛盾是對(duì)立的、是可以轉(zhuǎn)化的、因而也是統(tǒng)一的 西方（黑格爾）重視：合二而一 東方（易經(jīng)、老子）：一分為二、合二而一,4,,學(xué)科的分類,學(xué)科分類 自然學(xué)科 科學(xué) 邏輯思維 + 形象思維 數(shù)學(xué)

5、、物理、化學(xué)、地質(zhì)、天文、生物、醫(yī)學(xué)、信息 概念之間的關(guān)系是必然的 人文學(xué)科 藝術(shù) 形象思維 + 邏輯思維 語言、文學(xué)、歷史、音樂、美術(shù)、舞蹈、影視、傳媒 社會(huì)學(xué)科 科學(xué) + 藝術(shù) 辯證思維 + 邏輯思維 + 形象思維 政治、社會(huì)、倫

6、理、經(jīng)濟(jì)、商學(xué)、管理、心理、教育 概念之間的關(guān)系是或然的,5,,一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型三、時(shí)間序列：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與因果分析模型四、限制優(yōu)化：組合投資模型,,,6,,一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型,凱恩斯（Keynes，1883－1946）強(qiáng)調(diào)政府對(duì)于市場(chǎng)的干預(yù)。凱恩斯靜態(tài)模型兩個(gè)方程。第一個(gè)方程：收入 = 消費(fèi) + 投資

7、 第二個(gè)方程：消費(fèi) = 基本 + 收入比例其中 Y：國民收入；C：國民消費(fèi)；I：國民投資；a0 為基本消費(fèi)；a 為消費(fèi)傾向：a ≦1。通過計(jì)算可以得到a 越接近 1，消費(fèi)傾向越強(qiáng)，國民收入越高。,7,,一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型,固定乘數(shù)、變化投資。如果固定系數(shù)：a0 = 10、乘數(shù)：a = 4/5。當(dāng)投資 I = 5時(shí)，收入Y = 75；當(dāng)投資 I = 10時(shí)，收入Y =

8、100。投資增加5，收入增加 100 – 75 = 25。收入增長(zhǎng)是投資增加的5倍。固定投資、變化乘數(shù)。如果固定系數(shù)：a0 = 10、投資：I = 10。當(dāng)乘數(shù)a = 3/5時(shí)，收入Y = 50；當(dāng)乘數(shù)a = 4/5時(shí)，收入Y = 100。乘數(shù)增加1/5，收入增加100 – 50 = 50，是投資的5倍。通過消費(fèi)刺激經(jīng)濟(jì)，促進(jìn)收入。,8,,一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型,弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979

9、年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）研究持久收入消費(fèi)理論，在持久收入下 消費(fèi)傾向 a =1； 并且有 a青年 ＞ a老年。托賓（Tobin，1918-2002，1981年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）在凱恩斯模型的基礎(chǔ)上研究了貨幣的作用、以及貨幣價(jià)值的變化，引入了“實(shí)在財(cái)富”的概念，表示為 W，定義為其中 K 為總資產(chǎn)，M 為貨幣總量，p為價(jià)格水平。凱恩斯第一個(gè)方程為,9,,一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型,薩謬爾森（Samuels

10、on，1915-2009，1970年 諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法重寫了經(jīng)濟(jì)學(xué)。在凱恩斯模型中加入了時(shí)間因素，薩謬爾森乘數(shù)-加速模型：,Yt，Ct 和 It 分別表示 t 時(shí)間收入、消費(fèi)和投資；I0 表示政府支出。強(qiáng)化了消費(fèi)對(duì)投資的影響、進(jìn)而對(duì)收入的影響。求解過程得到一個(gè)二階非齊次差分方程，無實(shí)根時(shí)有阻尼震蕩解，解釋了經(jīng)濟(jì)周期。在凱恩斯模型的基礎(chǔ)上，學(xué)者們又考慮了時(shí)間、貨幣、持久收入，但沒有考慮長(zhǎng)期消費(fèi)：房子，汽車；提

11、前消費(fèi)：信用卡。,,10,,二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型,與時(shí)間有關(guān)的基本模型：現(xiàn)在 = F(過去) 。最簡(jiǎn)單形式：,當(dāng) b 為常數(shù)：動(dòng)力系統(tǒng)；當(dāng) b 為隨機(jī)變量：時(shí)間序列。住房貸款：不計(jì)算復(fù)利，a=1。比如，考慮貸款規(guī)則：貸款本金80萬元、年息為本金的 4%。每年還利息、以及本金的5%。20年還清。 每年還款：利息 80×4% = 3.2，本金 80×5% = 4，合計(jì) 3.2+4 = 7

12、.2。 一共還款： 7.2×20 = 144（萬元）。用 Ct 表示 t 年后還款金額，可以得到：,11,,二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型,銀行儲(chǔ)蓄：計(jì)算復(fù)利，a≠1。比如，存款方法，本金 2 萬元，年利息4%。如果用 Ct 表示第 t 年的銀行存款累計(jì)金額，那么：,t = 1，…；C0 = 2。這時(shí) a=1+4%＞1，數(shù)量遞增。得到一般項(xiàng)：t=30，C30 = 3.24 × 2 = 6.

13、48。30年后存款累計(jì)金額。人口模型 ：馬爾薩斯（Malthus，1766－1834）其中 Nt 為 t 年人口數(shù)，r 為年人口增長(zhǎng)率。中國平均增長(zhǎng)率 r=6‰，2003年人口 12.92 億，2013年人口13.54億，計(jì)算 N10 = 13.44億。,12,,二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型,動(dòng)力系統(tǒng)稱使得 C = aC + b 成立的常值 C 為動(dòng)力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。得到投資額度。一個(gè)項(xiàng)目花費(fèi)1

14、00萬，在這個(gè)花費(fèi)下回報(bào)120%，為穩(wěn)定這個(gè)關(guān)系，起始投入應(yīng)當(dāng)多少？資金運(yùn)轉(zhuǎn)方程為： 再生產(chǎn)資金 = 收入 – 支出平衡點(diǎn)為：a = -100/(1-1.2) = 500，起始投入500萬元。容易驗(yàn)證，對(duì)于每一個(gè)年份 t，資金運(yùn)轉(zhuǎn)方程的解都是500萬元。,13,,二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型,養(yǎng)老金基金。退休后每年得到養(yǎng)老金 5 萬元。如果繳納時(shí)間是30年，那么，這個(gè)人（包括工作單位

15、）每年應(yīng)當(dāng)繳納多少？ 假設(shè)養(yǎng)老基金儲(chǔ)存在銀行，年利率為 4%。 用 Ct 表示享受 t 年后，這個(gè)人養(yǎng)老金剩余額度。無限穩(wěn)定情況。假設(shè)養(yǎng)老金是無限穩(wěn)定的，養(yǎng)老金獲取方程為其中 t =1，…。這個(gè)方程的穩(wěn)定點(diǎn)為 C0 = -5/(1-1.04) = 125。因此，繳納額度為125萬元。假設(shè)每年繳納金額一定：B萬元，基金繳納方程為 125 = a29B

16、 + a28B + … + aB + B = (1+ a + … + a29)B = [(1-a30)/(1-a)]B = 56B其中 a=1.04。解得 B = 2.23，即每年繳納金額為2.23萬元。,14,,二、動(dòng)力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型,有限穩(wěn)定情況。享用養(yǎng)老金

17、有限的：20年。即 C21 = 0。由獲取方程： 令 r =1/1.04 = 0.96，可以得到 C20 = r5， C19 = r25 + r5， …… C0 = 5(r + r2 + … + r21) = 5r[(1 - r21)/(1 - r)] = 5×14.5 = 72.

18、5比無限穩(wěn)定少：125 - 72.5= 52.5（萬元）每年繳納金額：72.5/56 = 1.29（萬元）每年大約減少：2.23 - 1.29 = 0.94（萬元）繳納時(shí)間增加五年、享用時(shí)間增加五年，結(jié)果將會(huì)如何？,,15,,三、時(shí)間序列：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與因果分析模型,如何利用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)系數(shù) a 和 b。構(gòu)建時(shí)間序列：其中 t = 2，…，T； ξt 為隨機(jī)變量，Eξt = 0， Vξt = σ2。系數(shù)的估計(jì)為

19、《統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的理論與方法》第五章，史寧中著，科學(xué)出版社，2008年,16,,三、時(shí)間序列：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與因果分析模型,圖1. 1978~2002年中國對(duì)數(shù)GDP散點(diǎn)圖,,1980 1985 1990 1995 2000,,,17,,三、時(shí)間序列：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與因果分析模型,回顧時(shí)間序列：ξt 為隨機(jī)變量，Eξt = 0。如果方差 Vξt 不是常數(shù)的

20、情況，比如ARCH模型恩格爾（Engle，1942-，2003年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）研究了這個(gè)問題。兩個(gè)變量，比如 x：國民生產(chǎn)總值，y：進(jìn)出口，格蘭杰（Granger，1934-2009，2003年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）研究因果關(guān)系：Y 不是 x 的原因。,18,,三、時(shí)間序列：經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與因果分析模型,如何利用各省 GDP 、人均 GDP 、或者其他指標(biāo)劃分中國經(jīng)濟(jì)區(qū)類別分析經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)原因評(píng)估經(jīng)濟(jì)政策效益評(píng)估國