五點(diǎn)共圓問題與clifford’s鏈定理北京師范大學(xué)張英伯2007

1、五點(diǎn)共圓問題 與 Clifford 鏈定理 北京師范大學(xué) 張英伯 2007年4月,,一、引子,在世紀(jì)之交的2000年5月，當(dāng)時(shí)的國家主席江澤民視察澳門濠江中學(xué)，興致勃勃地出了一道“五點(diǎn)共圓”的幾何題。江澤民先生隨后給數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家張景中院士打電話征詢答案，并親函濠江中學(xué)參考。與此同時(shí)，濠江中學(xué)的四位數(shù)學(xué)老師也各自獨(dú)立地作出了解答。

2、我很敬佩濠江中學(xué)的這些老師們，他們的數(shù)學(xué)功底由此可見一斑。,,,這個(gè)圖形就是五點(diǎn)共圓問題。當(dāng)時(shí)的表述是：給出一個(gè)不規(guī)則的五角星，做所得五個(gè)小三角形的外接圓，其中每相鄰的兩個(gè)圓交于兩個(gè)點(diǎn)，在所得五邊形五頂點(diǎn)外的點(diǎn)共有五個(gè)，證明這五點(diǎn)共圓。2003年春天，我去德國訪問。我的老板，代數(shù)學(xué)家 Claus Ringel 問我，你知道江問題嗎？我正在腦子里緊張地搜索江姓數(shù)學(xué)家的名單，老板得意地笑了，“哎呀呀，你們的國家主席呀！”,,Claus 剛

3、從倫敦開會回來，他說在倫敦的會議上，數(shù)學(xué)家們聊起了江澤民先生提出的五點(diǎn)共圓問題，覺得國家主席關(guān)注幾何學(xué)非常有趣。Claus 隨手在黑板上畫出了五點(diǎn)共圓問題的推廣。2006 年底，華東師范大學(xué)張奠宙先生在澳門組織的高級研討班邀請我去做報(bào)告，報(bào)告剛好在濠江中學(xué)舉行。濠江中學(xué)校方與我們會面時(shí)介紹了當(dāng)年江澤民主席的視察。我一下子想起三年前與 Claus 的對話，就臨時(shí)改變報(bào)告題目，憑記憶談了廣義的五點(diǎn)共圓問題。,,回到學(xué)校，正趕上本科生準(zhǔn)備畢

4、業(yè)論文，一個(gè)保送研究生的女孩兒希望讀代數(shù)方向的碩士，來我這里要題目，我說你試著找找五點(diǎn)共圓問題的推廣吧。感謝今天的互聯(lián)網(wǎng)，把這個(gè)世界所有的信息擺在了每一個(gè)人的面前。經(jīng)過一個(gè)禮拜的搜索，女孩子終于找到了一位日本數(shù)學(xué)家岡潔的傳記，在傳記的最后一頁的最后一個(gè)腳注中，提到 Clifford 定理將五點(diǎn)共圓問題推廣到了任意的正整數(shù)。,,有了這個(gè)名字，事情便簡單多了。女孩馬上去搜索 Clifford 所有文章的目錄，找到了他關(guān)于這個(gè)問題的文章：

5、On Miquel’s theorem. 遺憾的是年代過于久遠(yuǎn)，我們的北京圖書館，中科院圖書文獻(xiàn)中心都沒有收藏。再一次感謝互聯(lián)網(wǎng)，北圖很快通知我們文章在大英圖書館找到了，付錢之后就可以掃描過來。還是由于年代過于久遠(yuǎn)，大英圖書館將刊有這篇文章的雜志收在一個(gè)鄉(xiāng)間的書庫。付過的錢被退了回來，原文的掃描和復(fù)印件都不能提供，原因無可奉告。,,因?yàn)闆]有見到原文，我今天講的證明，基于 F. Morley 1900 年發(fā)表在美國數(shù)學(xué)會 Transac

6、tion 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英國人，幾何學(xué)家。在十九世紀(jì)下半葉和二十世紀(jì)初，許多歐美大數(shù)學(xué)家致力于建立歐幾里得幾何的公理化體系。希爾伯特用了三十年的時(shí)間，先后出版七稿，寫成了幾何基礎(chǔ)一書。,,十九世紀(jì)下半葉和二十世紀(jì)初，我國正處于清朝末年，尚未進(jìn)入近代數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域。將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究首先引入中國的是我國著名的數(shù)學(xué)家，我國近代數(shù)學(xué)教育的先

7、驅(qū)傅種孫先生。他在二十年代翻譯了希爾伯特的幾何基礎(chǔ)，傾其畢生精力在北京師范大學(xué)，師大附中教書，引進(jìn)國外教材，培訓(xùn)中學(xué)教師。正因?yàn)槲覈慕鷶?shù)學(xué)研究起步較晚，對當(dāng)時(shí)的一些研究領(lǐng)域比較陌生。,,當(dāng)幾何基礎(chǔ)引起廣泛討論的時(shí)候，許多古老的幾何問題，比如與三角形相關(guān)的點(diǎn)，直線和圓的問題被發(fā)現(xiàn)并研究。 1838年，Miquel 證明了有關(guān)四圓共點(diǎn)的定理。一百三十六年前的1871年，在四圓共點(diǎn)的定理的基礎(chǔ)上，英國數(shù)學(xué)家 William King

8、don Clifford 建立了 Clifford 鏈定理，并在英國早期的一本雜志《Messenger of Mathematics》第五冊上發(fā)表了證明。 Clifford 本人因他提出的 Clifford 代數(shù)而聞名于數(shù)學(xué)界。,。,,Clifford 鏈定理是數(shù)學(xué)史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。19世紀(jì)末和20世紀(jì)初，許多歐美數(shù)學(xué)家都研究并論述過這個(gè)問題，一方面研究它的多種證明方法，一方面研究這些點(diǎn)圓和其他一些著名的點(diǎn)圓之間的

9、關(guān)系，還有人積極探索它的擴(kuò)展，例如向高維情況的引伸。在歐美的許多深受歡迎的數(shù)學(xué)雜志上，不斷地發(fā)表與 Clifford 鏈定理相關(guān)的研究成果。,二、Clifford 鏈定理的表述,n=3,n=2,,任選平面內(nèi)兩兩相交，且不共點(diǎn)的三條直線，則其中每兩條為一組可以確定一個(gè)點(diǎn)，共有三個(gè)點(diǎn)，那么這三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。,任選平面內(nèi)兩條相交直線，則這兩條直線確定一個(gè)點(diǎn)。,,n=4,,n=4,,任選平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的四條直

10、線，則其中每三條為一組可以確定一個(gè)圓，共有四個(gè)這樣的圓，則這四個(gè)圓共點(diǎn)。此點(diǎn)被稱為 Wallace 點(diǎn)。,,n=5,,任取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的五條直線，則其中每四條作為一組可確定如上所述的一個(gè) Wallace 點(diǎn)，共有五個(gè)這樣的點(diǎn)，那么這五個(gè)點(diǎn)共圓，此圓被稱為 Miquel 圓（即五點(diǎn)共圓問題）。,,n=6,,任取平面上兩兩相交的六條直線，且任意三條直線都不共點(diǎn)，則其中每五條為一組可以確定一個(gè)Mi

11、quel 圓，共有六個(gè)這樣的圓，則這六個(gè)圓共點(diǎn)。,,n=7,,任取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的七條直線，則其中每六條作為一組可確定如上所述的一個(gè)點(diǎn)，共有七個(gè)這樣的點(diǎn)，那么這七個(gè)點(diǎn)共圓。,一般地，,任取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都不共點(diǎn)的2n條直線，則其中每2n-1條直線可確定一個(gè) Clifford 圓，共確定 2n 個(gè)圓， 那么這 2n 個(gè)圓交于一點(diǎn)，稱為 2n 條直線的Clifford 點(diǎn)； 任

12、取平面內(nèi)兩兩相交，且任意三條直線都 不共點(diǎn)的 2n+1條直線，則其中每 2n 條直線可確定一個(gè) Clifford 點(diǎn)，共確定 2n+1個(gè)點(diǎn)，那么這 2n+1 個(gè)點(diǎn)共圓，稱為 2n+1 條直線的 Clifford 圓。,三、直線方程,用平面幾何的方法歸納地證明 Clifford 定理幾乎是不可能的，我們已經(jīng)看到 n=7 的情況圖形有多么復(fù)雜，實(shí)際上五點(diǎn)共圓問題已經(jīng)夠復(fù)雜了。那么用平面解析幾何呢？用復(fù)平面呢？這樣就可以充分借助現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具

13、。讓我們來試一試?，F(xiàn)在考慮復(fù)平面 C, 建立原點(diǎn)，實(shí)軸和虛軸。,,用 分別表示兩個(gè)確定的復(fù)數(shù)，其中 的模為1，也就是說， 在單位圓上。其次，用 分別表示兩個(gè)復(fù)變量，其中 的模為1，也就是說 在單位圓上運(yùn)動。,考察公式 當(dāng) 在單位圓周上

14、運(yùn)動時(shí)， 跑過原點(diǎn) 0 和點(diǎn) 連線的垂直平分線。,,事實(shí)上， 而 因?yàn)?和 的模都是1，故 另一方面，當(dāng) 趨近于 時(shí)， 的模趨近于無窮大；并且 是 的連續(xù)函數(shù)。所以我們得到了一條直線。,,,從上述分析可以看出，直線與 的幅角的取值無關(guān)。我們不妨取利用單位圓周上的點(diǎn)作參數(shù)

15、，利用分子分母都是參數(shù)線性函數(shù)的分式表示一個(gè)圓或一條直線，是復(fù)變函數(shù)保角映射的一個(gè)特例。,,,四、特征常數(shù),如果我們有兩條直線： ， 則 . 兩式相減，得到兩條直 線的交點(diǎn)： . 記作 . 再設(shè)

16、 . 稱 為n=2時(shí)的特征常數(shù)。,,,,,,,,,如果我們有三條直線： 令上面的式子中，求和號表示對數(shù)組 (1 2 3) 進(jìn)行輪換，分別取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 時(shí)的特征常數(shù)。,,,,,,建立一個(gè)圓方程，圓心在 ，半徑為 ：當(dāng)

17、 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以我們的圓經(jīng)過三條直線中每兩條的交點(diǎn)，這就是三點(diǎn)共圓。,,,,,,定義 4.1. 關(guān)于 n 條直線 的特征常數(shù) 定義為：引理4.2.,,,,,,證明：引理證畢。,,,特征常數(shù)有如下的共軛性質(zhì)。取任意正整數(shù) n，令將 的復(fù)共軛記作

18、 ，令 ，則引理4.3.,,,,,,,,,引理4.4. 設(shè) 是 n 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式，記 的共軛元為 。 如果 n 個(gè)變元均取模為 1 的復(fù)數(shù)，則證明：設(shè) ，則引理證畢。,,,,,,,,五、n=4 和 n=5 時(shí)的證明,設(shè)我們有四條直線根據(jù)第四節(jié)的討論，三條直線確

19、定的圓方程為：或其中 是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。根據(jù)引理4.2, 去掉四條直線中的第 條后的圓方程是：,,,,根據(jù)引理4.3,方程 是自共軛的，即它的共軛方程 與自身相等， 我們有：即 在單位圓上。又因?yàn)?的任意性，方程等價(jià)于：其中 是 n= 4 時(shí)的特征常數(shù)。則

20、 即是四條直線的 Clifford 點(diǎn)。,,,,,,,,,,,,,,當(dāng) n=5 時(shí)，我們有五條直線：去掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個(gè) Cliford 點(diǎn)。根據(jù)引理4.2，我們可以從n=5 時(shí)的特征常數(shù)得到 n=4 時(shí)的特征常數(shù)，比如去掉第 條直線，得方程：,,,因?yàn)?是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式， 分別導(dǎo)出了兩個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式

21、 和上述方程變?yōu)椋?根據(jù)引理4.3，第二個(gè)方程是自共軛的，保證了 t 在單位圓上。,,,,,,,,,,,從方程組中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）為未知數(shù)的線性方程組，Cramer 法則給出 x 和 t 應(yīng)該滿足的關(guān)系：或 這就是五條直線的 Clifford 圓。,,,,六、Clifford 鏈定理,定理7.1. 2p 條直線的 Clifford

22、 點(diǎn)由下述行列式給出：而 2p+1 條直線的 Clifford 圓由下述方程確定：,,,證明： 設(shè) p=1 在2x1 時(shí)得到兩條直線的交點(diǎn)：設(shè) P=2 ， 是一個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。在 2x2-1 時(shí)得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： 在2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程設(shè)p=3, 是兩個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。在2x3-1 時(shí)得到五條直線的 Cli

23、fford 圓方程：,,,,,現(xiàn)在設(shè) 2p-1條直線的 Clifford 圓滿足的方程是：其中 是 p-1個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式。則該假設(shè)當(dāng) p=2，p=3 時(shí)都是正確的。我們來計(jì)算 2p 條直線的情況。,,,,根據(jù)引理4.2, 關(guān)于 2p-1 條直線的特征常數(shù)可以用關(guān)于 2p 條直線的特征常數(shù)去掉某條直線，例如第 條表示出來：,,,,由于 的任

24、意性，考察下述 p 個(gè)方程：其中第 1+i 與第 p-i+1 個(gè)方程是共軛的。為方便起見，我們僅驗(yàn)證第 2 與第 p 個(gè)方程的共軛性。,,,,,,,記 是關(guān)于模為 1 的復(fù)數(shù) 的初等對稱多項(xiàng)式。則根據(jù)引理 4.3, 第二個(gè)方程的共軛方程為將兩端同乘以 ，根據(jù)引理 4.4 得：,,,,,,,,將第二個(gè)方

25、程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程：易見這兩個(gè)方程共軛， 故 ， 在單位圓上。將 2p 是的方程消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。,,,,,,,我們來考察 2p+1 的情況。根據(jù)引理 4.2, 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來。故 2p 條直線的 Clifford 點(diǎn)滿足的方程誘導(dǎo)出下述 p

26、個(gè)方程：,,關(guān)于 p-1 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式與 誘導(dǎo)出 p 個(gè)變元的初等對稱多項(xiàng)式方程變?yōu)椋?,,,運(yùn)用引理 4.3，與 2p 的情況類似可驗(yàn)，方程組中的第 i+1 個(gè)方程與第 p+i+1 個(gè)方程是共軛的， t 在單位圓上。在關(guān)于 2p+1 的方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分證畢。Clifford 定理的正確性從數(shù)學(xué)歸納法得到。,,當(dāng)然，特征常數(shù) a 需要

27、滿足一定的條件，使得直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)。下面列出的第二篇參考文獻(xiàn)就專門討論了這個(gè)問題。我教過多年的線性代數(shù)，從來沒有想到用矩陣，行列式和對稱多項(xiàng)式能夠如此巧妙地解決這樣復(fù)雜的平面幾何問題。當(dāng)我讀到這篇文獻(xiàn)，不由地驚嘆數(shù)學(xué)家的智慧，數(shù)學(xué)的深刻與優(yōu)美。,,參考文獻(xiàn)F.Morley, On the metric geometry of the plane n-line, Trans.Am.Math.Soc.7,1900