第二章信息量和熵-西安電子科技大學(xué)個人主頁系統(tǒng)我的

1、第二章 信息量和熵,,信息量和熵,離散變量的非平均信息量 離散集的平均自信息量－熵 離散集的平均互信息量 信息不等式 凸函數(shù)和互信息的凸性 連續(xù)隨機(jī)變量的互信息和微分熵,2.1 離散變量的非平均信息量,,輸入，輸出空間定義,輸入空間X={xk,k=1,2,…,K},概率記為q(xk)輸出空間Y={yj,j=1,2,…,J},概率記為ω(yj)聯(lián)合空間XY={xkyj ;k=1,2,…,K;j=1,2,…,J}, 概率為p(

2、xkyj) p(xkyj)= p(xk|yj)ω(yj)= p(yj|xk)q(xk),非平均互信息量,例2.1.1,非平均互信息量,非平均互信息量,例2.1.2,非平均互信息量,非平均互信息量,定義2.1.1(非平均互信息量) 給定一個二維離散型隨機(jī)變量{(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J}（因此就給定了兩個離散型隨機(jī)變量{X, xk, qk, k=1~K}和{Y, yj, wj, j=1~J

3、}）。事件xk∈X與事件yj∈Y的互信息量定義為,非平均互信息量,其中底數(shù)a是大于1的常數(shù)。常用a=2或a=e，當(dāng)a=2時(shí)互信息量的單位為“比特”。幾點(diǎn)說明： （1）I(xk; yj)=loga(rkj/(qkwj))。因此有對稱性：I(xk; yj)=I(yj; xk)。（2）當(dāng)rkj=qkwj時(shí)I(xk; yj)=0。（當(dāng)兩個事件相互獨(dú)立時(shí)，互信息量為0）。（3）當(dāng)rkj>qkwj時(shí)I(xk; yj)>0，當(dāng)r

4、kj<qkwj時(shí)I(xk; yj)<0。（當(dāng)兩個事件正相關(guān)時(shí)，互信息量為正值，當(dāng)兩個事件負(fù)相關(guān)時(shí)，互信息量為負(fù)值）。,條件互信息和聯(lián)合事件互信息,三個事件集的條件互信息定義為可以推廣到任意有限多個空間情況,互信息的可加性,系統(tǒng),,,u1,u2,u3,互信息量特性：,對稱性可加性互信息量的值域： -infinite ~ +infinite, 即全體實(shí)數(shù),離散變量的非平均自信息量

5、,定義：給定集合｛X, q(xk)｝,事件xk∈X的自信息量定義為：,非平均自信息的性質(zhì),非負(fù)性體現(xiàn)先驗(yàn)不確定性大小,條件自信息和聯(lián)合自信息,自信息、條件自信息和互信息,2.2 離散集的平均自信息量－熵,,熵,集X中事件出現(xiàn)的平均不確定性,(平均自信息量——熵) 離散型隨機(jī)變量{X, xk, qk, k=1~K}的平均自信息量（又稱為熵）定義為如下的H(X)，其中底數(shù)a是大于1的常數(shù)。,熵,注意：（1）事件xk的自信息量值為I(x

6、k)=loga(1/qk)，因此H(X)是隨機(jī)變量X的各事件自信息量值的“數(shù)學(xué)期望”。（2）定義H(X)時(shí)，允許某個qk=0。（此時(shí)將qkloga(1/qk) 通盤考慮）此時(shí)補(bǔ)充定義qkloga(1/qk)=0。這個定義是合理的，因?yàn)?熵,例2.2.1 離散型隨機(jī)變量X有兩個事件x1和x2，P(X=x1)=p，P(X=x2)=1-p。則X的平均自信息量（熵）為H(X)=ploga(1/p)+(1-p)loga(1/(1-p))

7、 。觀察H(X)（它是p的函數(shù)，圖2.2.1給出了函數(shù)圖象，該圖象具有某種對稱性），有當(dāng)p=0或p=1時(shí)，H(X)=0。（隨機(jī)變量X退化為常數(shù)時(shí)，熵為0）當(dāng)00。p越靠近1/2， H(X)越大。 （X是真正的隨機(jī)變量時(shí)，總有正的熵。隨機(jī)性越大，熵越大）當(dāng)p=1/2時(shí)，H(X)達(dá)到最大。（隨機(jī)變量X的隨機(jī)性最大時(shí)，熵最大。特別如果底數(shù)a=2，則H(X)=1比特）,條件熵（定義2.2.2）,XY獨(dú)立時(shí)有H(X|Y)=H(X),聯(lián)合熵

8、,熵的性質(zhì),對稱性非負(fù)性確定性擴(kuò)展性可加性極值性是H(P)上凸函數(shù),熵是概率矢量的函數(shù),P＝(p1, p2, …, pk)可以看作是K維矢量,當(dāng) ,常稱作是概率矢量;故HK(P)=HK(p1, p2, …, pk)是概率矢量P的函數(shù),熵的性質(zhì)－對稱性,矢量的各分量p1,p2,…pk的次序任意改變時(shí)，熵值不變熵函數(shù)的值只與概率分布或?qū)?分割成的K個實(shí)數(shù)的取值有關(guān)，而與這K個實(shí)數(shù)

9、和K個事件采取何種一一對應(yīng)方式無關(guān),熵的性質(zhì)－非負(fù)性,HK(P) = HK(p1, p2, …, pK) ≥0可由單個事件自信息量的非負(fù)性得到,熵的性質(zhì)－確定性,若事件集X中有一個事件為必然事件，其余事件為不可能事件，則此集合的熵值為0,熵的性質(zhì)－擴(kuò)展性,熵的性質(zhì)－可加性,H(p1q11,p1q12,…,p4q44)=H(p1…,p4)+p1H(q11,…,q14)+…+p4H(q41,…,q44),相對熵和條件相對熵,相對熵用于度

10、量兩個概率分布P(x)與Q(x)的距離兩個隨機(jī)變量集合的條件相對熵定義為相對熵和條件相對熵滿足可加性,熵的唯一性,熵函數(shù)的形式是唯一的對稱性擴(kuò)展性可加性極值性,2.3 離散集的平均互信息量,,平均互信息量,定義2.4.1(平均互信息量) 給定一個二維離散型隨機(jī)變量{(X, Y), (xk, yj), rkj, k=1~K; j=1~J}（因此就給定了兩個離散型隨機(jī)變量{X, xk, qk, k=1~K}和{Y, y

11、j, wj, j=1~J}）。X與Y的平均互信息量定義為如下的I(X; Y)：,平均互信息量,注意：事件對(xk, yj)的互信息量值為I(xk; yj)。此外，可以定義半平均互信息量I(xk; Y)和I(X; yj)。,平均互信息量的性質(zhì),對稱性 I(X;Y)=I(Y;X)平均互信息用熵與條件熵表示平均互信息與熵的關(guān)系: I(X;Y) ≤H(X) or H(Y)若X是Y的確定的函數(shù)X=g(Y)，則I(X;Y)=H(X)

12、≤H(Y); 若Y是X的確定的函數(shù)Y=g(X)，則I(X; Y)=H(Y)≤H(X)。,平均互信息量,一般印象（平均互信息量I(X; Y)的各種性質(zhì)與我們對“互信息量”這個名詞的直觀理解非常吻合）。一般情形：總有0≤I(X; Y)≤min{H(X), H(Y)}。一種極端情形：若X與Y相互獨(dú)立，則I(X; Y)=0。另一種極端情形：若X、Y中有一個完全是另一個的確定的函數(shù)，則I(X; Y)=min{H(X), H(Y)}。,平均

13、互信息量,,平均條件互信息與聯(lián)合互信息,鏈?zhǔn)椒▌t,熵的鏈?zhǔn)椒▌t平均互信息量的鏈?zhǔn)椒▌t,信息不等式與信息處理定理,,凸函數(shù),凸集R：a，b屬于R，qa+(1-q)b也屬于R，其中0≤q≤1概率矢量：矢量a的所有分量非負(fù)，且和為1概率矢量全體所構(gòu)成的區(qū)域R是凸的上凸函數(shù)下凸函數(shù),凸函數(shù)的性質(zhì),定理2.5.1：如果函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)是處處非負(fù)，則f(x)是嚴(yán)格下凸的。f(a)是上凸的，－f(a)是下凸的f1(a),…

14、,fL(a)是R上的上凸函數(shù)，c1,…,cL是正數(shù)，c1f1(a)+…+cLfL(a)也是上凸函數(shù),K-T條件,f(a)是定義域R上的上凸函數(shù)，a是概率矢量。偏導(dǎo)數(shù) 存在且連續(xù)， f(a)在R上為極大的 充分必要條件 其中l(wèi)為一常數(shù)。,信息不等式,基礎(chǔ)不等式:對于任意的x>0, lnx≤x-1,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1Jensen不等式： f(a)是上凸函數(shù)，E[f(

15、a)]≤f[E(a)],E為求數(shù)學(xué)期望信息散度不等式：D(p||q)≥0,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)對所有的x，p(x)=q(x),信息不等式,互信息量不等式：I(X;Y)≥0證明：I(X;Y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))≥0最大熵定理：H(X)≤log|X|，|X|是X中元素的數(shù)目，等號等概的時(shí)候成立。條件降低熵：H(X|Y) ≤H(X),X與Y獨(dú)立時(shí)等號成立,信息不等式,對數(shù)和不等式：a1,a2,…an和b1,b2,…

16、bn都非負(fù)Fano不等式可以弱化為：,信息處理定理,Z出現(xiàn)情況下，X和Y獨(dú)立,信息處理定理,熵的性質(zhì)－凸性,相對熵的凸性：D(p||q)是概率分布對(p,q)的下凸函數(shù)：H(P)是P的上凸函數(shù),記離散型隨機(jī)變量X的事件為1，2，…，K。記X的概率分布為P(X=k)=qk，k=1~K。記離散型隨機(jī)變量Y的事件為1，2，…，J。記條件概率P(Y=j|X=k)=p(j|k)。則rkj=P((X, Y)=(k,j))

17、=qkp(j|k)，（概率論中的乘法公式）wj=P(Y=j)=∑k qkp(j|k)，（概率論中的全概率公式）,互信息的凸性,互信息的凸性,p(y | x)給定，I(X; Y)是q(x)的上凸函數(shù)q(x)給定，I(X; Y)是p(y | x)的下凸函數(shù),互信息的凸性,設(shè)條件概率{p(j|k)，k=1~K，j=1~J}被確定。此時(shí)I(X; Y)是概率向量q=(q1, q2, …, qK)的函數(shù)。我們希望找到這樣的概率向量，使得對應(yīng)的I

18、(X; Y)達(dá)到最大。這就是說，記我們希望找到這樣的K維概率向量a=(a1, a2, …, aK)，使得,互信息的凸性,K維概率向量a=(a1, a2, …, aK)使得當(dāng)且僅當(dāng)：以a為X的概率向量的時(shí)候，I(X=k; Y)對所有ak>0的k都取一個相同的值C； I(X=k; Y)對所有滿足ak=0的k都取值不超過上述的相同值C 。,互信息的凸性,I(X=k; Y)表示什么？表示事件X=k與隨機(jī)變量Y之間的“半平

19、均互信息量”。,互信息的凸性,例 設(shè)X的事件有0、1； Y的事件有0、1； 已知p(0|0)=1-u；p(1|0)=u；p(0|1)=u；p(1|1)=1-u。當(dāng)X服從等概分布（a0=P(X=0)=1/2；a1=P(X=1)=1/2）時(shí)，I(X;Y)達(dá)到最大。因?yàn)榇藭r(shí),互信息的凸性,2.4 連續(xù)隨機(jī)變量的互信息和微分熵,,連續(xù)隨機(jī)變量的互信息,定義2.5.1 給定二維連續(xù)型隨機(jī)變量{(X, Y), f(X,Y)(x, y)}（因

20、此就給定了兩個連續(xù)型隨機(jī)變量{X, fX(x)}和{Y, fY(y)}）。事件x∈X與事件y∈Y的互信息量定義為,連續(xù)隨機(jī)變量的平均互信息,I(X; Y | Z)I(XY; Z),定義2.5.2 給定二維連續(xù)型隨機(jī)變量{(X, Y), f(X,Y)(x, y)}（因此就給定了兩個連續(xù)型隨機(jī)變量{X, fX(x)}和{Y, fY(y)}）。 X與Y的平均互信息量定義為,性質(zhì),非負(fù)性對稱性數(shù)據(jù)處理定理關(guān)系,連續(xù)隨機(jī)變量的

21、微分熵,（連續(xù)型隨機(jī)變量為什么不能類似地定義平均自信息量——熵？這是因?yàn)?，連續(xù)型隨機(jī)變量的事件有無窮多個，每個事件發(fā)生的概率無窮小。如果類似地定義熵，則熵是無窮大。因此只能定義所謂“微分熵”，而“微分熵”的直觀合理性大打折扣）,微分熵的定義 給定連續(xù)型隨機(jī)變量{X, fX(x)}。 X的微分熵定義為,連續(xù)隨機(jī)變量的微分熵,HC(XY)HC(Y | X)， HC(Y | X) ≤HC(Y)互信息與微分熵I(X ; Y)＝HC(

22、X)－HC(X | Y)＝HC(Y)－HC(Y | X) ＝HC(X)+HC(Y)－HC(X, Y)HC(X, Y)＝HC(X)+HC(Y)－I(X ; Y),均勻隨機(jī)變量的微分熵,例2.7.2 設(shè)X~U(a, b)，求X的微分熵（我們將發(fā)現(xiàn)， X的微分熵未必非負(fù)）。,正態(tài)隨機(jī)變量的微分熵,例2.7.3 設(shè)X~N(m, σ2)，求X的微分熵（我們將發(fā)現(xiàn)， X的微分熵未必非負(fù)）。,正態(tài)隨機(jī)變量的微分熵,熵功率