博士學(xué)位論文答辯超聲層析成像的理論與實現(xiàn)

1、超 聲 層 析 成 像 的 理 論 與 實 現(xiàn),答辯人: 劉 超 指導(dǎo)教師: 汪元美 教 授 浙江大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系二○○三年九月二日,浙江大學(xué)博士論文答辯,英國從事超聲成像的專家P. N. T Wells在2000年的文章《超聲成像技術(shù)的現(xiàn)狀與未來》一文中指出：“在最近的十幾年里，有關(guān)超聲成像技術(shù)的研究在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域至少占百分之二十五以上的份額，并且這種趨勢還在繼續(xù)增長

2、?！盬ells還指出：“目前成功地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的超聲成像設(shè)備大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根據(jù)超聲散射波的信息，定量地生成人體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)圖，是超聲應(yīng)用技術(shù)的研究者追求的新目標(biāo)?！?“未來的超聲成像技術(shù)應(yīng)該是制造出不需成像專家或醫(yī)學(xué)專家才能識別的反映客觀現(xiàn)實真實圖像的超聲成像設(shè)備，即使是這種設(shè)備是不完美的。”,主要內(nèi)容,一. 超聲層析成像技術(shù)的發(fā)展歷史二. 超聲層析成像技術(shù)的基本模型及方法三. 問題的不適定性

3、及其正則化四. 模型噪聲的判斷方法——Picard準(zhǔn)則五. 靜態(tài)正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用六. 迭代正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用七. 總結(jié)與展望,一. 超聲層析成像的發(fā)展歷史,1. 折射系數(shù)層析成像方法 2. 衰減系數(shù)層析成像方法 3. 射線跟蹤方法 4. 透射式衍射層析成像及反射式衍射 層析成像方法5. 基于精確場描述的層析成像方法,1.折射系數(shù)層析成像方法,,,,Refractive-in

4、dex tomography,2.超聲衰減系數(shù)層析成像 Attenuation tomography,衰減系數(shù),,綜合衰減系數(shù),,,,3.射線跟蹤方法 Ray Tracing Method,4. 透射式衍射層析成像及反射式衍 射層析成像方法,,從不同方向照射物體時,前向散射場數(shù)據(jù)的傅里葉變換,5. 基于精確場描述的層析成像方法,二. 超聲層析成像技術(shù)的基本模型 及方法,非齊次亥姆霍茲方程(Helmhol

5、tz Equation),,,,,,1. 波動方程及其解,全場方程(Total Field Equation)(第二類Fredholm積分方程),散射場方程(Scattering Field Equation)探測器方程(Detector Equation),,2. 積分方程的離散化─矩量法,,,,向量形式:,,,3. 波動方程的近似,① Born近似,,,,Born逆解O,應(yīng)滿足的條件:,② Rytov近似,,,,,,,應(yīng)滿足的條

6、件:,,,,4. 基本方法,Born迭代算法(BI),Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法,變形Born迭代方法(DBI),Born迭代算法(BI),,求Born逆解O,,,,求Born逆解O,變形Born迭代算法(DBI),Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法,,代入,,三.問題的不適定性及其正則化,適定性問題是指： 對于連續(xù)算子方程Kx=

7、y，如果解x滿足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)y。 否則，即上述三個條件有一個不滿足，則稱其為不適定的（Ill-posed）。,離散不適定問題(Discrete Ill-Posed Problem),,若: (1). 矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說矩 陣A的最大奇異值和最小奇異值之比 非常大； (2). 矩陣A的奇異值逐漸

8、下降趨于零。,對于線性方程組Ax=b 或最小二乘問題:,Tikhonov正則化,,L=In，x0=0時，稱為Tikhonov正則化的標(biāo)準(zhǔn)形式,其解可表示為:,,四.模型噪聲的判斷方法: Picard準(zhǔn)則,離散Picard準(zhǔn)則： 若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù) 趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話，則稱該方程組滿足離散Picard準(zhǔn)則(條件)。,,最小二乘解:,Tikhonov正則化解

9、:,受噪聲污染和無噪聲污染的Picard圖,污染嚴(yán)重,污染較輕,A,,對比度為30％時,對比度為20％時,對比度為10％時,五. 靜態(tài)正則化技術(shù),1.截斷奇異值分解正則化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD),2.截斷完全最小二乘正則化方法 Truncated Total Least Squares (TTLS),1.截斷奇異值分解正則化方法(TSVD),

10、對于線性方程組Ax=b 或最小二乘問題,,最小二乘解:,Tikhonov正則化解:,,TSVD正則化解:,正則化參數(shù)的選取方法,離差原理(Discrepancy Principle)方法 廣義交叉驗證(GCV)方法 L曲線(L-Curve)方法,,,?減小時,?增加時,,,由L曲線方法確定k’,,采用一維搜索的方法確定更精確的k,TSVD方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對比度為10％時,對比度為20％時,對比度為30％時,原始圖像,迭代過程的

11、相對誤差和相對殘差曲線,迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線,2.截斷完全最小二乘正則化方法,滿足：,,,最小二乘問題：,,完全最小二乘問題：,滿足：,截斷完全最小二乘的步驟,1. 首先，計算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解：,,2．確定截斷參數(shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：,,,3. 記q=n-k+1,將矩陣分塊,,4.則完全最小二乘問題的解為：,TTLS方法的數(shù)值仿真結(jié)果,原始圖像,對比度為10％時,對比度為20％時,對比度為

12、30％時,迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線,六. 迭代正則化技術(shù),1.求解最小二乘問題的共軛梯度方法(cgls),2. LSQR方法,1.求解最小二乘問題的共軛梯度 方 法(cgls),將共軛梯度法應(yīng)用于法方程,,,相當(dāng)于在Krylov子空間：,產(chǎn)生的序列xk，使得：,,cgls方法的解可表示為:,,,的k-1次多項式，其系數(shù)的確定,是,其中：,依賴于：(1).方程的右側(cè)項b的特征； (2).矩陣A的奇異值的分布； (3).迭

13、代的次數(shù),迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大,正則化參數(shù)對迭代的影響,cgls方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對比度為10％時,原始圖像,對比度為20％時,對比度為30％時,迭代過程的相對誤差和相對殘差曲線,圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對比度為30％時的相對殘差(RRE)曲線，cgls迭代次數(shù)為10,LSQR迭代方法,Lanczos三對角過程,Lanczos,,應(yīng)用于,,將矩陣A雙對角化,Golub和Kahan(196

14、5),Paige和Saunders(1982),,,,線性方程組Ax=b和,應(yīng)用于,,LSQR方法的優(yōu)點:,1. 速度快 2. 對不適定性問題數(shù)值穩(wěn)定 3. 從迭代過程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值,原始圖像,LSQR方法的數(shù)值仿真結(jié)果,對比度為10％時,對比度為20％時,對比度為30％時,七. 總結(jié)與展望,首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問題的中的模型噪聲問題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。

15、,采用了兩類四種正則化方法對超聲層析成像問題中的不適定性問題進(jìn)行了研究，通過對正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對比度物體的成像問題。,結(jié)論：靜態(tài)正則化方法數(shù)值穩(wěn)定，但速度慢；迭代正則化方法速度快，但數(shù)值穩(wěn)定性不如靜態(tài)方法。,今后需要進(jìn)一步研究的工作,1. 前向散射問題的研究（波動方程的精確程度）2. 離散化方法 有限元法、邊界元法 矩量法中基函數(shù)的確定3. 正則化問題 基于非對成方程的Krylov子空間方