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文檔簡介
1、標量場和矢量場,標量場的梯度,矢量場的通量與散度,矢量場的環(huán)量與旋度,亥姆霍茲定理,電磁場的特殊形式,第0章 矢量分析,下 頁,返 回,Vector Analysis,矢量分析主要包含矢量代數、正交坐標系和矢量微積分,場的理論是通過矢量分析來表述的,所以矢量分析與場論密不可分。 首先介紹場的數學概念和表示方法,討論場的場域性質和場點性質及其表述方法,著重討論標量場的梯度、矢量場的散度和旋度的物理概念和運算規(guī)律,最后介紹總結
2、矢量場性質的亥姆霍茲定理。,正交坐標系(Orthogonal Coordinate System),單位矢量,任意矢量A在直角坐標系下的表達式,長度元矢量,體積元,面積元,長度元,dlx = dx,dly = dy,dlz = dz,單位矢量,任意矢量A在圓柱坐標系下的表達式,長度元,面積元,體積元,圓柱坐標系的體積元,球坐標系,單位矢量,任意矢量A在球坐標系下的表達式,長度元,面積元,體積元,球坐標系的體積元,1. 矢量加減運算,則
3、,,設,2. 矢量點乘與叉乘,矢量運算,場是一個標量或一個矢量的位置函數,即場中任一個點都有一個確定的標量或矢量。,例如,在直角坐標下:,0.1 標量場和矢量場,標量場,矢量場,如流速場、電場、渦流場等。,Scalar Field and Vector Field,下 頁,上 頁,返 回,其方程為:,圖0.1.1 等高線,(1) 標量場--等值線(面),形象描繪場分布的工具——場線,思考,在某一高度上沿什么方向高度變化最快?,下 頁
4、,上 頁,返 回,三維場,二維場,圖0.1.2 矢量線,(2) 矢量場--矢量線,其方程為:,在直角坐標下:,下 頁,上 頁,返 回,0.2 標量場的梯度 Gradient of Scalar Field,設一個標量函數? (x,y,z),若函數 ? 在點 P 可微,則 ? 在點P 沿任意方向 的方向導數為,設,式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角,則有:,當
5、 , 最大,下 頁,上 頁,返 回,——梯度(gradient),——哈密頓算子,式中,圖0.1.3 等溫線分布,梯度的方向為該點最大方向導數的方向。,梯度的大?。#樵擖c標量函數 的最大變化率,即方向導數的最大值。,,標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數。,梯度的意義,下 頁,上 頁,返 回,例 0.2.1 電位場的梯度,圖0.2.1 電位場的梯度,電位場的梯度與過該點的等位線垂直;,數值等于
6、該點的最大方向導數;,指向電位增加的方向。,下 頁,上 頁,返 回,0.3 矢量場的通量與散度,0.3.1 通量 ( Flux ),矢量E 沿有向曲面 S 的面積分,若 S 為閉合曲面 根據通量的大小判斷閉合面中源的性質:,Flux and Divergence of Vector,下 頁,上 頁,返 回,圖0.3.1 矢量場的通量,0.3.2 散度 ( Divergence ),———散度
7、(divergence),,下 頁,上 頁,返 回,散度的意義,在矢量場中,若?? A= ?? 0,稱之為有源場,? 稱為 ( 通量 ) 源密度;若矢量場中處處 ?? A=0 ,稱之為無源場。,矢量的散度是一個標量,是空間坐標點的函數;,散度代表矢量場的通量源的分布特性。,下 頁,上 頁,返 回,0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem ),——高斯公式,矢量函數的面積分與體積分的相互轉換。,下 頁,上 頁,返
8、回,0.4 矢量場的環(huán)量與旋度,0.4.1 環(huán)量 ( Circulation ),矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分,——環(huán)量,環(huán)量的大小與閉合路徑有關,它表示繞環(huán)線旋轉趨勢的大小。,,Circulation and Rotation of Vector Field,下 頁,上 頁,返 回,圖0.4.1 環(huán)量的計算,水流沿平行于水管軸線方向流動,?= 0,無渦旋運動。,例:流速場,圖0.4.2 流速場,流體做渦旋運
9、動,?? 0,有產生渦旋的源。,下 頁,上 頁,返 回,0.4.2 旋度 ( Rotation ),1. 環(huán)量密度,過點 P 作一微小曲面 ?S,它的邊界曲線記為?L,面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當 ?S ?點 P 時,存在極限,——環(huán)量元密度,環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。,下 頁,上 頁,返 回,2. 旋度,下 頁,上 頁,返 回,在直角坐標下:,- S 的法線方向,它與環(huán)量密度的關系為,下 頁,上 頁,返 回,——旋度
10、(curl),3. 旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量,是空間坐標點的函數。,某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值;其方向是最大環(huán)量密度的方向。,在矢量場中,若 ??A=J? 0 稱之為旋度場(或渦旋場),J 稱為旋度源(或渦旋源)。,若矢量場處處 ??A= 0 ,稱之為無旋場。,下 頁,上 頁,返 回,4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ),矢量函數的線積分與面積分的相互轉化。,——斯托克斯定理,下 頁,上 頁
11、,返 回,0.5 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理: 在有限區(qū)域內,矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。,已知:,Hymherze Theorem,下 頁,上 頁,返 回,例 0.5.1 試判斷下列各圖中矢量場的性質。,下 頁,上 頁,返 回,0.6 特殊形式的電磁場,如果在經過某一軸線( 設為 z 軸)的一族平行平面上,場 F 的分布都相同,即 F= f(x,y),則稱這個場為平行平面場。,1. 平行平面場,
12、Special Forms of Electromagnetic Field,如無限長直導線產生的電場。,下 頁,上 頁,返 回,0,如果在經過某一軸線 ( 設為 z 軸 )的一族子午面上,場 F 的分布都相同,即 F=f(ρ, z),則稱這個場為軸對稱場。,2. 軸對稱場,如螺線管線圈產生的磁場;有限長直帶電導線產生的電場。,下 頁,上 頁,返 回,3. 球面對稱場,如果在一族同心球面上(設球心在原點),場 F 的分布都相同 ,即
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