有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn),本節(jié)主要介紹FIR濾波器具有線性相位的條件及幅度特性以及零點(diǎn)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)。 1. 線性相位條件

2、 對(duì)于長度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為,(7.1.1),(7.1.2),式中，Hg(ω)稱為幅度特性，θ(ω)稱為相位特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|,Hg(ω)為ω的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ejω)|總是正值。H(ejω)線性相位是指θ(ω)是ω的線性函數(shù)，即 θ(ω)=τω, τ為常數(shù) (7.1.3)  如

3、果θ(ω)滿足下式： θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位 (7.1.4) 嚴(yán)格地說，此時(shí)θ(ω)不具有線性相位，但以上兩種情況都滿足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即,也稱這種情況為線性相位。一般稱滿足(7.1.3)式是第一類線性相位；滿足(7.1.4)式為第二類線性相位。 下面推導(dǎo)與證明滿足第一類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1

4、)/2偶對(duì)稱，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)  滿足第二類線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱，即 h(n)=-h(N-n-1) (7.1.6),(

5、1) 第一類線性相位條件證明：,將(7.1.5)式代入上式得,令m=N-n-1,則有,(7.1.7),按照上式可以將H(z)表示為,將z=e jω代入上式，得到：,按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)Hg(ω)和相位函數(shù)分別為,(7.1.8),(7.1.9),(2) 第二類線性相位條件證明：,(7.1.10),令m=N-n-1,則有,同樣可以表示為,因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為,(7.1.11),(7.1.12),2. 線性相位FIR濾波

6、器幅度特性Hg(ω)的特點(diǎn) 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇數(shù) 按照(7.1.8)式，幅度函數(shù)H g(ω)為,式中，h(n)對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，余弦項(xiàng)也對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱，可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項(xiàng)進(jìn)行合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項(xiàng)n=(N-1)/2。這樣幅度函數(shù)表示為,令m=(N-1)/2-n,則有,(7.1.13),(7.1.14),式中,按照

7、(7.1.13)式，由于式中cosωn項(xiàng)對(duì)ω=0,π,2π皆為偶對(duì)稱，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)ω=0,π,2π是偶對(duì)稱的。 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶數(shù) 推導(dǎo)情況和前面N=奇數(shù)相似，不同點(diǎn)是由于N=偶數(shù)，Hg(ω)中沒有單獨(dú)項(xiàng)，相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)。,3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇數(shù) 將(7.1.11)式重寫如下：,令m=N/2-n,則有,(

8、7.1.15),(7.1.16),4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶數(shù) 類似上面3)情況，推導(dǎo)如下：,令m=(N-1)/2-n，則有,(7.1.17),(7.1.18),令m=N/2-n,則有,(7.1.19),(7.1.20),3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類和第二類線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來用下式表示：,(7.1.21),圖

9、7.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布,4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有,令m=N-n-1,則有,(7.1.22),如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h［(N-1)/2］單獨(dú)列出，,(7.1.23),圖7.1.2 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖7.1.3 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ejω),hd(n)是與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)，因此

10、,相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)h-d(n)為,(7.2.1),(7.2.2),為了構(gòu)造一個(gè)長度為N的線性相位濾波器，只有將h-d(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n) (7.2.3),我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，,圖7.2.1

11、 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e jω)是一個(gè)以2π為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級(jí)數(shù)，即,對(duì)(7.2.3)式進(jìn)行傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：,(7.2.4),式中，Hd(e jω)和RN(e jω)分別是hd(n)和RN(n)的傅里葉變換，即,(7.2.5),RN(ω)稱為矩形窗的幅度函數(shù)；將Ha(ejω)寫成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性

12、Hd(ω)為,將Hd(e jω)和RN(e jω)代入(7.2.4)式，得到：,將H(ejω)寫成下式：,(7.2.6),圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響,通過以上分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差別有以下兩點(diǎn)： (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度，近似等于RN(ω)主瓣寬度，即4π/N。 (

13、2)通帶內(nèi)增加了波動(dòng)，最大的峰值在ωc-2π/N處。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在ωc+2π/N處。 在主瓣附近，按照(7.2.5)式，RN(ω)可近似為,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n)  式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window)

14、 wR(n)=RN(n) 前面已分析過，按照(7.2.5)式，其頻率響應(yīng)為,2. 三角形窗(Bartlett Window),(7.2.8),其頻率響應(yīng)為,(7.2.9),3. 漢寧(Hanning)窗——升余弦窗,當(dāng)N1時(shí)，N-1≈N，,圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性,4. 哈明(Hamming)窗——改進(jìn)的升余弦窗,(7.2.11),其頻域函數(shù)WHm (e jω)為,其幅度函數(shù)WHm(ω)為,當(dāng)N>

15、>1時(shí)，可近似表示為,5. 布萊克曼(Blackman)窗,(7.2.13),其頻域函數(shù)為,其幅度函數(shù)為,(7.2.14),圖7.2.4 常用的窗函數(shù),圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,ωc=0.5π) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；

16、 (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,6. 凱塞—貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window),式中,I0(x)是零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：,一般I0(x)取15~25項(xiàng)，便可以滿足精度要求。α參數(shù)可以控制窗的形狀。一般α加大，主瓣加寬，旁瓣幅度減小，典型數(shù)據(jù)為4<α<9。當(dāng)α=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗。α=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)為,(7.2.

17、16),表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響,表7.2.2 六種窗函數(shù)的基本參數(shù),下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ejω)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：,(7.2.17),(7.2.18),根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與hd(n)應(yīng)滿足如下關(guān)系：,例如，理想低通濾波器如(7.2.1)式所示，求出單位取樣響應(yīng)

18、hd(n)如(7.2.2)式，重寫如下： (2)根據(jù)對(duì)過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長度N。設(shè)待求濾波器的過渡帶用Δω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)， h(n)=hd(n)w(n),(4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：,例7.2.1 用矩

19、形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11,ωc=0.2πrad。 解 用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有,用漢寧窗設(shè)計(jì)：,用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：,圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ejω)表示，對(duì)它在ω=0到2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到Hd(k)，,再對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)，,(7

20、.3.1),(7.3.2),式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為,(7.3.3),(7.3.4),1.用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件 FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)=h(N-n-1)，在此基礎(chǔ)上我們已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：,(7.3.5),(7.3.6),(7.3.7),奇數(shù),偶數(shù),在ω=0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，,將ω=ωk代

21、入(7.3.4)~(7.3.7)式中，并寫成k的函數(shù)：,(7.3.8),(7.3.9),奇數(shù),偶數(shù),(7.3.10),(7.3.11),設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計(jì)算： N=奇數(shù)時(shí)，,(7.3.12),N=偶數(shù)時(shí)，,(7.3.13),2. 逼近誤差及其改進(jìn)措施 如果待設(shè)計(jì)的濾波器為Hd(ejω),對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為hd

22、(n)，,則由頻率域采樣定理知道，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，利用IDFT得到的h(n)應(yīng)是hd(n)以N為周期，周期性延拓乘以RN(ω)，即,由采樣定理表明，頻率域等間隔采樣H(k)，經(jīng)過IDFT得到h(n)，其Z變換H(z)和H(k)的關(guān)系為,圖7.3.1 理想低通濾波器增加過渡點(diǎn),例7.3.1 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器，要求截止頻率ωc=π/2rad，采樣點(diǎn)數(shù)N=33，選用h(n)=h(N-1-n)情況。

23、 解 用理想低通作為逼近濾波器。按照(7.3.12)式，,對(duì)理想低通幅度特性采樣情況如圖7.3.2所示。將采樣得到的,圖7.3.2 對(duì)理想低通進(jìn)行采樣,圖7.3.3 例7.3.1的幅度特性,圖7.3.4 例7.3.1——(N=65)有兩個(gè)過渡點(diǎn)幅度特性,7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器,如果用E(ejω)表示Hd(ejω)和所設(shè)計(jì)濾波器H(ejω)之間的頻響誤差

24、 E(ejω)=H-d(ejω)-H(ejω) (7.4.1) 其均方誤差為,(7.4.2),1. 切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則 設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hd(ω)，實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器幅度特性為Hg(ω)，其加權(quán)誤差E(ω)用下式表示： E(ω)=W(ω)［Hd(ω)-Hg(ω)］ (7

25、.4.3) 為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)=h(n-N-1),N=奇數(shù)情況，,將Hg(ω)代入(7.4.3)式，則,(7.4.4),式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n),使加權(quán)誤差E(ω)的最大值為最小，即,該定理指出最佳一致逼近的充要條件是E(ω)在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”，使得,2.利用最佳一致

26、逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器 設(shè)我們希望設(shè)計(jì)的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為,如果我們知道了A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率：ω0,ω1,:,ωM+1,按照(7.4.4)式，并根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組準(zhǔn)則，可寫出,(7.4.5),將(7.4.5)式寫成矩陣形式，,(7.4.6),(1)在頻域等間隔取M+2個(gè)頻率ω0,ω1,:,ωM+1，作為交錯(cuò)點(diǎn)組的初始值。按下式計(jì)算ρ值：,(7.4.7),(7.4.8),一般初始值

27、ωi并不是最佳的極值頻率，ρ也不是最優(yōu)估計(jì)誤差，它是相對(duì)于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg(ω)，即,(7.4.9),(7.4.10),(7.4.11),(2)對(duì)上次確定的ω0,ω1,:,ωM+1中每一點(diǎn)，都檢查其附近是否存在某一頻率|E(ω)|>ρ，如有，再在該點(diǎn)附近找出局部極值點(diǎn)，并用該點(diǎn)代替原來的點(diǎn)。 (3)利用和第二步相同的方法，把各頻率處使|E(ω)|&

28、gt;|ρ|的點(diǎn)作為新的局部極值點(diǎn)，從而又得到一組新的交錯(cuò)點(diǎn)組。,圖7.4.2 雷米茲算法流程圖,3. 線性相位FIR濾波器的四種類型統(tǒng)一表示式 在7.1節(jié)，我們已推導(dǎo)出線性相位的四種情況，它們的幅度特性H-g(ω)分別如下式：,奇數(shù),奇數(shù),偶數(shù),偶數(shù),經(jīng)過推導(dǎo)可把H-g(ω)統(tǒng)一表示為 Hg(ω)=Q(ω)P(ω)

29、 (7.4.13)  式中，P(ω)是系數(shù)不同的余弦組合式，Q(ω)是不同的常數(shù)，四種情況的Q(ω)和P(ω)如表7.4.1所示。,表7.4.1 線性相位FIR濾波器四種情況,表中 、 和 與原系數(shù)b(n)，c(n)和d(n)之間關(guān)系如下：,(7.4.14),(7.4.15),(7.4.16),將(7.4.13)式代入(7.4.3)式，得到

30、:,(7.4.17),(7.4.18),圖7.4.3 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)線性相位 FIR濾波器程序框圖,圖7.4.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)的低通濾波器幅度特性,7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先，從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非