自持振蕩

1、第十章,非線性控制系統(tǒng),自動控制原理,本章主要內(nèi)容,非線性控制系統(tǒng)概述?相平面法?非線性系統(tǒng)的相平面分析?描述函數(shù)法?非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析??了解 ?熟悉 ?掌握,1. 非線性系統(tǒng)的基本概念不能用線性方程描述或不滿足疊加原理的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)；非線性是宇宙間的普遍現(xiàn)象，實際系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)只是在特定條件下的近似描述；系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無法近似為線性系統(tǒng)時，只能用非線性系統(tǒng)的方法進(jìn)行分析

2、和設(shè)計；非線性系統(tǒng)的運動形式多樣，種類繁多；有兩種常見情況: ①系統(tǒng)中存在非線性元件；②為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。,10.1 非線性控制系統(tǒng)概述,液位系統(tǒng)中，H為液位高度，Qi 為液體輸入流量，Qo為液體輸出流量，C為儲液罐的截面積。,根據(jù)水力學(xué)原理知,系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)方程為,屬于非線性微分方程。,k 是取決于液體粘度的系數(shù),非線性系統(tǒng)的簡單例子（見第二章）,該系統(tǒng)可以近似為線性系統(tǒng),其中 和

3、 為非線性函數(shù)。,一個單輸入單輸出非線性特性的數(shù)學(xué)描述為,2. 非線性系統(tǒng)的一般數(shù)學(xué)模型,非線性特性中，死區(qū)特性、飽和特性、間隙特性、繼電特性等是最常見的，也是最簡單的，而且常常難以線性化。,3. 常見的典型非線性特性,(1) 死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）,特征：當(dāng)輸入信號較小時，系統(tǒng)沒有輸出; 當(dāng)輸入信號大于某一數(shù)值時才有輸出。,測量元件、放大元件及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的不靈敏區(qū)。,對系統(tǒng)性能的主要影響：①使穩(wěn)態(tài)誤差增大；②產(chǎn)生時

4、間滯后；③優(yōu)點是能濾去小幅值的干擾信號，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。,對液位誤差設(shè)置死區(qū)，可防止執(zhí)行機(jī)構(gòu)頻繁動作，減少對執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損，還可消除小幅度檢測噪聲的影響。,液位系統(tǒng),調(diào)節(jié)閥,控制器,檢測,,,,,,誤差,輸入流量,液位,利用死區(qū)特性的應(yīng)用例——液位控制系統(tǒng),特點：當(dāng)輸入信號超出其線性范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化，而是保持恒定。,放大器及執(zhí)行機(jī)構(gòu)受電源電壓、功率或結(jié)構(gòu)上的限制導(dǎo)致飽和現(xiàn)象。,(2) 飽和特性,主要影響：在大

5、信號作用下，放大倍數(shù)減小?穩(wěn)態(tài)精度↓，快速性↓ ，但相對穩(wěn)定性↑。（分析例見p58）,當(dāng)出水流量大于閥門最大開度所對應(yīng)的進(jìn)水流量時（輸入飽和），水位就會下降，出水流量也隨之減小，達(dá)到平衡時水位會低于設(shè)定值。,飽和特性導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)誤差的例子——水箱水位控制系統(tǒng),電機(jī)系統(tǒng)在重載情況下，輸入電壓飽和，轉(zhuǎn)速會低于設(shè)定值（轉(zhuǎn)速↓使電流↑、轉(zhuǎn)矩↑）。,電機(jī)系統(tǒng),功率放大器,PID轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器,轉(zhuǎn)速檢測,,,,,,誤差,輸入電壓,轉(zhuǎn)速,飽和特性導(dǎo)致

6、穩(wěn)態(tài)誤差的例子——電機(jī)調(diào)速系統(tǒng),如齒輪傳動系統(tǒng)中的齒隙、鐵磁元件中的磁滯等。,(3)間隙（或滯環(huán)、回環(huán)）特性,影響：通常會使系統(tǒng)的輸出在相位上產(chǎn)生滯后，導(dǎo)致穩(wěn)定裕量減小、動態(tài)性能惡化，甚至產(chǎn)生自持振蕩（振幅和頻率固定的周期運動）。,理想繼電器,具有死區(qū)的繼電器,(4) 繼電器特性,例：開關(guān)型控制的電冰箱、電熨斗等,具有滯環(huán)的繼電器,具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器,典型非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng),4. 非線性系統(tǒng)的特點,不適用疊加原理（與線性系統(tǒng)的本

7、質(zhì)區(qū)別），沒有一種通用方法來處理各種非線 性問題穩(wěn)定性等性能分析復(fù)雜而困難 穩(wěn)定性等不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，也與初始條件、輸入信號的類型和幅值有關(guān)。,線性系統(tǒng)：只有一個平衡狀態(tài)非線性系統(tǒng)：可能有多個平衡狀態(tài),例：線性系統(tǒng) 的穩(wěn)定性和平衡點,無論初始狀態(tài)為何值，都有 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定，只有一個平衡狀態(tài)

8、 。,例：非線性一階系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 x0 ，則解為,令 ，可知該系統(tǒng)存在兩個平衡狀態(tài),x(t) 如 ①、 ②，有突變,平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。,自持振蕩：指沒有外界周期變化信號作用時，系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動。線性系統(tǒng)在臨界穩(wěn)定的情況下也可能產(chǎn)生周期運動，但其振幅并不固定，取決于初始狀態(tài)，所以不是自持振蕩（參見p32）。,可能存在自持

9、振蕩（極限環(huán)）現(xiàn)象,在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號；而非線性系統(tǒng)的輸出則是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號。,頻率響應(yīng)發(fā)生畸變,非線性系統(tǒng)分析的重點：某一平衡點是否穩(wěn)定，如果不穩(wěn)定或性能不好應(yīng)如何校正；系統(tǒng)中是否會產(chǎn)生自持振蕩，如何確定其周期和振幅；如何利用、減弱或消除自持振蕩以獲得所需要的響應(yīng)性能。,5. 非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計方法,非線性系統(tǒng)的基本研究方法：小范圍線性近似法逐段線性近似法相平面

10、法（精確時域法，重點）圖解法，只適用于階數(shù)最高為二階的系統(tǒng)。 描述函數(shù)法（近似頻域法：只保留基波，近似為線性） 適用于具有低通濾波特性的各種階次的非線性系統(tǒng)。 李雅普諾夫法（構(gòu)造正定能量函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)負(fù)定）計算機(jī)仿真法,10.2 相平面法,相平面法的基本概念 相軌跡的繪制 由相軌跡圖求時間及時間響應(yīng) 奇點與極限環(huán)的類型 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析,相平面：由系統(tǒng)某一變量及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的用以描述系統(tǒng)運動狀態(tài)的平面。,一、相平

11、面法的基本概念,針對二階時不變非線性微分方程描述的系統(tǒng)（也可用于線性）:,相軌跡圖：相平面 + 相軌跡簇,相軌跡：系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)從初始時刻所對應(yīng)的狀態(tài)點（ ）出發(fā)，隨時間變化在相平面上描繪出來的軌跡。,例: 單位反饋系統(tǒng),屬于繪制相軌跡圖的解析法之一,根據(jù)相軌跡分析系統(tǒng)性能,是否收斂？收斂的平穩(wěn)性和快速性?超調(diào)量？tr、tp、ts？穩(wěn)態(tài)誤差？,考慮非線性系統(tǒng)方程：,(1)相軌跡的斜率,斜率表示相軌跡通過該點的運動方向,相

12、軌跡的基本特征,任一普通點有且只有一條相軌跡通過。（∵其斜率唯一確定）,(2)相軌跡的普通點,(3)相軌跡的奇點(平衡點),相軌跡上斜率不確定的點,滿足,奇點一定在 x 軸上,,通過奇點的相軌跡可能不止一條，甚至可能有無窮 多條； 線性定常系統(tǒng)通常只有一個奇點（原點或 x 軸上 的其他點），而非線性系統(tǒng)則可能有多個奇點； 當(dāng)奇點連續(xù)時就構(gòu)成奇線。,有奇線的系統(tǒng)舉例,對應(yīng)奇點,奇點以外,(4) 相軌跡的運動方

13、向,上半平面: ? 向右移動,下半平面: ? 向左移動,大致按順時針運動,,(5) 相軌跡通過橫軸的方向,相軌跡以 90°穿越 x 軸,橫軸上的普通點,(6) 相軌跡的對稱性,注意：對稱性并不一定指同一條相軌跡,1. 解析法（精確繪圖法）,二、相軌跡的繪制,若該式可以分解為,兩端積分,可解出 和 的關(guān)系式，（ ， ）為初始點。,1.解析法 2.等傾線法 3.圓弧法 4.計算

14、機(jī)繪制法,例: 考慮二階系統(tǒng),(1) 導(dǎo)出相軌跡方程,,(2) 兩邊積分得,（線性系統(tǒng)，極點為 ）,振幅不固定，不是自持振蕩,對稱性?,2. 等傾線法（近似繪圖的通用方法）,先確定相軌跡的等傾線（等斜率線），進(jìn)而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場繪制相軌跡。,繪制步驟：,（1）導(dǎo)出等傾線方程,,,表示相平面上的一條曲線（等傾線），相軌跡經(jīng)過該曲線上任一點時，其切線的斜率都相等。,。,相軌

15、跡的切線斜率,說明,線性系統(tǒng)的等傾線通常是直線,非線性系統(tǒng)的等傾線則一般是曲線,簡單非線性系統(tǒng)常可按區(qū)域劃分為多個線性系統(tǒng)，對應(yīng)區(qū)域的等傾線也是直線。,對稱于縱軸，整個x軸為奇線,等傾線為直線，較特殊的情況,（2）α取不同值時，畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示斜率為α的小線段，構(gòu)成相軌跡的切線方向場（3）從相軌跡的初始狀態(tài)點按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡 。,等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準(zhǔn)確，但繪圖工作

16、量增加。繪圖過程中會產(chǎn)生的累積誤差。,等傾線為直線的示意圖,例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡,奇點為（0，0）,解：等傾線方程為,（線性系統(tǒng)，極點為 ）,,對稱性?,,可以證明，每一條相軌跡都是向心螺旋線，說明系統(tǒng)衰減振蕩,所有的相軌跡都最終收斂到奇點，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,解：,例：繪制下列二階系統(tǒng)的相軌跡,（1）導(dǎo)出等傾線方程,容易求出奇點為（0，0）。,（線性系統(tǒng)，極點為-1，-2）,對稱性?,列出等傾線斜

17、率?與相軌跡切線斜率α的關(guān)系：,兩條特殊的等傾線：,兩條特殊的等傾線斜率對應(yīng)系統(tǒng)的兩個極點，其中一條是相軌跡的漸近線（說明見后）。,,,說明1：兩條特殊等傾線斜率對應(yīng)系統(tǒng)的兩個極點,注：復(fù)數(shù)極點時不存在這樣的等傾線（ ∵ α為實數(shù)）,說明2：一條特殊等傾線為相軌跡的漸近線,思路：分析β=－1、－2周圍等傾線上相軌跡斜率α的變化情況，見下頁圖。,特殊等傾線為相軌跡漸近線的示意圖,斜率為-1的等傾線，其周圍的相軌跡都趨向它，所以是漸進(jìn)線；

18、而斜率為-2的等傾線，其周圍的相軌跡都離開它，所以不是漸進(jìn)線。,,,,,,,,,,,,所有的相軌跡都最終收斂到奇點,說明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；相軌跡都趨向于特殊的等傾線，說明系統(tǒng)響應(yīng)為非振蕩衰減形式。,,因為 ，設(shè)點 的對應(yīng)時間為 ，點 的對應(yīng)時間為 ，則,將兩點間的相軌跡取倒數(shù)，計算陰影區(qū)面積，即可得?t 。,三、由相軌跡圖求時間及時間響應(yīng),

19、（1）積分法,連續(xù)計算多個點就可得到系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線 或 。,特點：基于準(zhǔn)確的時間算式，但難以精確計算面積。,相軌跡A-B段的平均速度：,相軌跡A-B段所用的時間：,（2） 增量法,連續(xù)計算多個點就可得到系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線 或 。,特點：基于近似的時間算式，但計算容易。,近似式,例: 單位反饋系統(tǒng),四、奇點與極限環(huán)的類型,1. 線性系統(tǒng)的奇點類型,奇點為（0,

20、 0），根據(jù)特征根在s平面上的分布，相軌跡有不同的形態(tài)。,極點分布與奇點的類型,極點分布,奇點,相軌跡圖,中心點,穩(wěn)定焦點,穩(wěn)定節(jié)點,鞍點,不穩(wěn)定焦點,不穩(wěn)定節(jié)點,2. 非線性系統(tǒng)的奇點類型,分析思路與方法：將非線性系統(tǒng)在奇點處線性化，根據(jù)線性化系統(tǒng)特征根的分布，可確定奇點的類型，進(jìn)而確定奇點附近相軌跡的運動形式。,非線性系統(tǒng) 在奇點 處的線性化：,（按泰勒級數(shù)展開）

21、,例：已知非線性系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的奇點，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。,則求得系統(tǒng)的兩個奇點,解：系統(tǒng)相軌跡微分方程為,令,特征根為 ，故奇點(0, 0) 為穩(wěn)定焦點。,在奇點（0，0）處,∴線性化方程為,在奇點（-2，0） 處,∴線性化方程為,－,故奇點（-2，0）為鞍點。,非線性系統(tǒng)的運動及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。,特征根為,運用等傾線等方法可概略繪制相軌跡圖

22、。,3. 極限環(huán)及其分類,非線性系統(tǒng)的運動除了發(fā)散和收斂外，還有一種運動模式—自持振蕩，自持振蕩在相平面上表現(xiàn)為一個孤立的封閉軌跡線—極限環(huán)。,以范德波爾（van der pol）方程為例，說明極限環(huán)的穩(wěn)定性：,注：線性系統(tǒng)不會產(chǎn)生極限環(huán)，參見p32例。,極限環(huán)的3種類型,c)半穩(wěn)定極限環(huán) d)半穩(wěn)定極限環(huán),a) 穩(wěn)定的極限環(huán) b) 不穩(wěn)定的極限環(huán),五、非線性控制系統(tǒng)的相平面分析,具有飽和特性的

23、非線性反饋系統(tǒng)滯環(huán)繼電型非線性反饋系統(tǒng),步驟：將典型非線性特性用分段的線性特性來表示。在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，常用誤差及其導(dǎo)數(shù)。根據(jù)分段的線性特性將相平面分成若干區(qū)域，在每個區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。在各個區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。最后將各分區(qū)的相軌跡進(jìn)行銜接就得到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。,如何利用線性系統(tǒng)的相軌跡繪制簡單非線性系統(tǒng)的相軌跡？,,1. 具有飽和特性的非線性系統(tǒng),,（

24、t≥0+）,C,A(R,0),B,D,,,Ⅰ區(qū),Ⅱ區(qū),Ⅲ區(qū),在Ⅰ區(qū)，奇點為原點，是穩(wěn)定節(jié)點或焦點，相軌跡都漸進(jìn)收斂或按螺旋線收斂到奇點（見前面例）。,在Ⅱ、Ⅲ區(qū)，,都沒有奇點，且等傾線為一簇平行的水平線。,,相軌跡最終趨于坐標(biāo)原點，系統(tǒng)穩(wěn)定，且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。,注1,注2,?,注1：關(guān)于漸近線的說明,在Ⅲ區(qū)，,說明漸近線上下的相軌跡都趨向漸進(jìn)線。Ⅱ區(qū)亦如此。,返回,注2：關(guān)于 ?(0)=0 的說明,初值不為零的例：Y(s)/U(s)=K/

25、(Ts+1)，K(as+1)/(Ts+1)2 時,返回,規(guī)律?,不同幅值參考輸入時的相軌跡,幅值較大時,超調(diào)與峰值時間?,上升時間?,調(diào)節(jié)時間?,穩(wěn)態(tài)誤差?,Ⅰ區(qū)奇點為穩(wěn)定節(jié)點的相軌跡,A(R,0),,,,漸近線,,容易證明：設(shè)Ⅰ區(qū)漸近線斜率為-a（a>0），則一定有 KM < ab（見后頁）,證明：一定有 KM < ab,Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖,情況①的相軌跡,,,,,R=1,R=2,R=5,漸近線,

26、情況①的時間響應(yīng)曲線,R=2時的u,R=1時的y,R=5時的y,R=1時的u,R=5時的u,,,,R=2時的y,,快速性、平穩(wěn)性都與R有關(guān),情況②的相軌跡,,R=0.7,R=0.5,R=1,,斜率為-0.5的漸近線,漸近線,情況②的仿真結(jié)果,R=0.5時的u,R=0.7時的y,R=1時的y,R=0.7時的u,R=1時的u,,,R=0.5時的y,,,,,2. 具有繼電特性的非線性系統(tǒng),切換線或開關(guān)線,Ⅰ區(qū),Ⅱ區(qū),都沒有奇點，且等傾線為一

27、簇平行的水平線。,,相軌跡最終趨向極限環(huán)，而從極限環(huán)內(nèi)出發(fā)的相軌跡也將趨向極限環(huán)，所以是穩(wěn)定的極限環(huán)，系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。,自持振蕩的直觀解釋？,K=T=M=b=1 時的等傾線及相軌跡圖,Simulink仿真結(jié)構(gòu)圖,R=0 時的仿真結(jié)果,y,u,R=0時的相軌跡,,,,開關(guān)線,R=1 時的仿真結(jié)果,y,u,R=1時的相軌跡,,,,開關(guān)線,R=2 時的仿真結(jié)果,y,u,R=2 時的相軌跡,,,,開關(guān)線,三組相軌跡的比較（R=0, 1, 2）

28、,,,,都趨向極限環(huán),R=0,R=1,R=2,三組仿真結(jié)果的誤差比較（R=0, 1, 2）,e1,e3,e2,穩(wěn)態(tài)時，振蕩周期及振幅都相同,,三組仿真結(jié)果的誤差變化率比較（R=0, 1, 2）,穩(wěn)態(tài)時，振蕩周期及振幅都相同（轉(zhuǎn)折點對應(yīng)切換點）,,思考：若將具有滯環(huán)的繼電器改為理想繼電器，相軌跡及響應(yīng)性能會有什么變化？,,,,,-,,,,,,,,實驗2：非線性系統(tǒng)（2學(xué)時）,聯(lián)系：李亞力老師 電氣信息學(xué)院專業(yè)實驗樓403