常微分與物理學(xué)

1、第1頁共9頁常微分方程與物理學(xué)[摘要]微分方程是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)系實際的主要橋梁之一.本文通過普通物理學(xué)中力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)方面的實際問題及相關(guān)知識歸納出它們與微分方程的關(guān)系先建立微分方程再討論該方程解的性質(zhì)并由所得解或解的性質(zhì)反過來解釋該實際過程.[關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞]常微分方程導(dǎo)數(shù)普通物理引言常微分方程在幾百年的發(fā)展史上在每個時期最新的技術(shù)科學(xué)中建立了自己的落腳點得到了實際的應(yīng)用從而刺激它飛躍地發(fā)展在完善理論的同時繼續(xù)深入其它新興技術(shù)學(xué)科領(lǐng)域.

2、可以說凡采用無窮小分析方法研究物質(zhì)世界運動狀態(tài)的問題大抵都離不開微分方程.常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課也是理、工科高等數(shù)學(xué)的重要組成部分隨[1]著我國現(xiàn)代化建設(shè)的飛速發(fā)展醫(yī)、農(nóng)、工以至經(jīng)濟(jì)等社會科學(xué)各專業(yè)學(xué)生和工作人員也越來越需要掌握它的基本理論與方法了.本文從普通工科生的角度出發(fā)利用最簡單基礎(chǔ)的例子歸納了普通物理學(xué)與常微分方程的一些聯(lián)系使初學(xué)者更易理解與掌握.一、微分方程描述各物理現(xiàn)象微分方程是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.借助微分

3、方程的基本理論解決諸如幾何應(yīng)用問題物理應(yīng)用問題經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用問題等是多年來國家考研統(tǒng)考試卷常考重點題型.目的是檢測學(xué)生對具體的實際問題建立起相應(yīng)的一階或二階微分方程結(jié)合其它的相關(guān)知識從而最終解決問題的能力.故加強(qiáng)學(xué)生在這方面的訓(xùn)練對綜合解題的提高是十分有益的.(一)模型舉例有些完全無關(guān)的、本質(zhì)上不同的物理現(xiàn)象有時可以由同類型的微分方程來描述.1.反映物體冷卻過程的方程和反映電路中電流變化規(guī)律的方程??adukuudt???RL?都可以寫成這

4、里、是常數(shù).dIREIdtLI??2dyKyBdt??KB[2]2.電路的方程和數(shù)學(xué)擺的強(qiáng)迫微小振動的方程RLC????22detdIRdIIIdtLdtLCLdt???都同一形式這里、是常數(shù).??221ddgFtdtmdtlml?????????22dydybcyftdtdt???bc第3頁共9頁(4)模型求解在中第一個方程兩邊積分兩次得?????2122gtStata????由得到，.所以????0000SSSV??10aV?20a

5、S???200.2gtStVtS????????(5)將數(shù)學(xué)結(jié)果與實際問題作對比檢驗當(dāng)時，當(dāng)時.因此當(dāng)0t???00SS?20002VVgStg???0S?20002VVgStg???石塊落地.從式看出建筑物高度越高，即越大也越大即同樣時間內(nèi)石塊距????0S??Stt地面越遠(yuǎn).此外越大同樣時間內(nèi)也越大即同樣時間內(nèi)石塊距地面越遠(yuǎn).這符合實0V??St際情況.3.對于復(fù)雜的實際問題要建立一個較準(zhǔn)確的描述它的狀態(tài)的微分方程是件很困難的事因為

6、它不僅涉及到多種數(shù)學(xué)概念與方法而且還涉及到了該問題所屬的實際學(xué)科的許多知識有時甚至還要靠實驗的幫助才能建立起較能反映實際、而在數(shù)學(xué)上又有可能處理的方程來.但我們這里主要談的是建立一階常微分方程討論在某些理想化的條件下的問題，這樣難度自然就大大降低了.然而對于初學(xué)者來說要順利、準(zhǔn)確地列出方程還是有個學(xué)習(xí)與摸索的過程.[3]二、分類應(yīng)用舉例物理學(xué)研究的內(nèi)容十分廣泛自然界發(fā)生的一切物理現(xiàn)象諸如物理的位置變動聲、熱、光、電、磁等現(xiàn)象以及物質(zhì)的結(jié)

7、構(gòu)、聚集狀態(tài)和各種特性都是物理學(xué)所要研究的.按照所研究的物質(zhì)運動和具體對象的不同普通物理學(xué)包括力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、原子物理學(xué).力學(xué)研究的是物體的機(jī)械運動規(guī)律熱學(xué)研究分子、原子、電子、光子等質(zhì)點做不規(guī)則運動所引起的熱現(xiàn)象極其熱運動的的規(guī)律電磁學(xué)研究電和磁現(xiàn)象及其電流、電磁輻射、電磁場等光學(xué)研究光的本性光的發(fā)射、傳播和接收的規(guī)律光和其他物質(zhì)的互相作用比如有光的吸收、散射光的機(jī)械作用和光的熱、電、化學(xué)效應(yīng)等及其應(yīng)用.[4](一)力學(xué)方面