第六章 定積分應(yīng)用

1、第35–頁第六章定積分的應(yīng)用本章將應(yīng)用第五章學(xué)過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅在于建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運用元素法將一個量表達為定積分的分析方法。一、教學(xué)目標與基本要求教學(xué)目標與基本要求：使學(xué)生掌握定積分計算基本技巧；使學(xué)生用所學(xué)的定積分的微元法（元素法）去解決各種領(lǐng)域中的一些實際問題；掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平

2、行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數(shù)的平均值等）二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點難點二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點難點：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立這些幾何、物理的公式解決實際問題。運用元素法將一個量表達為定積分的分析方法6.1定積分的微小元素法定積分的微小元素法一、內(nèi)容要點一、內(nèi)容要點1、復(fù)習(xí)曲邊梯形的面積計算方法，定積分的定義面積A???????baniiidxxfxf)()(lim10??面積元素=dAdxxf)(

3、2、計算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形；（2）將這個圖形分割成個部分，這個部分的近似于矩形或者nn扇形；（3）計算出面積元素；（4）在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、教學(xué)要求與注意點二、教學(xué)要求與注意點掌握用元素法解決一個實際問題所需要的條件。用元素法解決一個實際問題的步驟。6.2定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用一、內(nèi)容要點一、內(nèi)容要點1、在直角坐標系下計算平面圖形的面積Yy=f(x)x0=ax1x2x3xn=bX第

4、37–頁解面積?????202)cos1(dtta??????202)22cos1cos21(dttta?202)22cos1sin223(ttta????23a??例4星形線()圍成的面積.???????taytax33sincos0?a解面積?????adttttaydx002232)sin)(cos3(sin44?=???20364283)sin(sin12??adttta3、極坐標系下計算平面圖形的面積。極坐標曲線圍成的面積的計

5、算方法：)(????解不等式，得到。面積=0)(?????????????d2)]([21?4、平行截面面積為已知的空間物體的體積過軸一點作垂直于軸的平面，該平面截空間物體的xxx截面面積為，則該物體的體積)(xAbxa??dxxAVba)(??例1一空間物體的底面是長半軸，短半軸的橢10?a5?b圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。解截面面積)1001(2533221)(2xyyxA?????????1010325

6、)(dxxAV????1010233100)1001(dxx5、旋轉(zhuǎn)體體積在上，][ba0)(?xf曲線、直線圍成的曲邊梯形)(xfy?0???ybxax1）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體，其截面面積，x)()(2xfxA??旋轉(zhuǎn)體體積。??badxxfV)(2?2）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體：y位于區(qū)間[xxdx]上的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體體積y，)()()(22xfxxfdxxv???????dxxxf)(2??原曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形