概率論2 2

1、,第二章 事件的概率,本章的問題是：如何找到一個(gè)合適的數(shù)來表征一般事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小?,什么是可能性大或者小呢？,定義：在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù) nA稱為這 n 次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù).比值 nA/n 稱為這 n 次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，并記作 fn(A).,頻率直觀描述了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小。,第一節(jié) 概率的概念,頻率的性質(zhì)：,4. 頻率具有不確定性.,5. 頻率具有穩(wěn)定性.,歷史上

2、的擲硬幣試驗(yàn),結(jié)論：,1 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù) n逐漸增大時(shí)，頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即逐漸穩(wěn)定于某個(gè)確定的數(shù)值(即頻率具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性)。,2 用這個(gè)數(shù)值來表征事件A發(fā)生的可能性大小是合適的.,概率的統(tǒng)計(jì)定義,稱事件A的頻率的穩(wěn)定值為事件A發(fā)生的概率.,頻率與概率具有關(guān)系 概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值.,觀察§1中的兩個(gè)試驗(yàn)：,E1: 拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的 情況。,E2:

3、 拋一顆均勻的骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)。,它們具有兩個(gè)共同的特點(diǎn)：,1、試驗(yàn)的樣本空間包含有限個(gè)元素；2、試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。,第二節(jié) 古典概型,具有以上兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型。,它在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型。,注 等可能性一般表現(xiàn)為幾何上的對稱性：質(zhì)量上的均勻性；信息上的一致性。,例1 將一枚硬幣拋擲三次。（1）設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 P(A1)；（2）設(shè)事件A2為

4、“至少有一次出現(xiàn)正面”，求 P(A2).,記正面為H，反面為T，則樣本空為： S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.,解,例2 一口袋裝有6 只球，其中4只白球、2只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)地取一只?？紤]兩種取球方式；(a).第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，這種取球方式叫做放回取樣。(b).第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球，這種取球方式叫做不放回取樣

5、。試分別就上面兩種情況求取到的兩只球都是白球的概率；,例3 某城市電話號碼升位后為八位數(shù)，且第一位是6或8.現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)電話號碼，求 (1)該號碼為不重復(fù)的八位數(shù)的概率； (2) 該號碼末位數(shù)是8的概率。,例4 一口袋中裝有6個(gè)球，分別標(biāo)以號碼1—6，隨機(jī)從此口袋中取兩個(gè)球，求 (1)最小號碼是3的概率； (2) 最大號碼是3的概率。,例5(抽獎(jiǎng)卷問題) 某超市有獎(jiǎng)銷

6、售投放n張獎(jiǎng)券只有一張有獎(jiǎng)，每位顧客可抽一張，求第k位顧客中獎(jiǎng)的概率。,教材上的例3(女士品茶問題)與例5(站位問題)，請同學(xué)們自己看。,第三節(jié) 幾何概型,在古典概型中,人們利用等可能性的概念,成功地計(jì)算了一類問題的概率。但古典概型的局限性也很明顯，它只能運(yùn)用于基本事件具有有限性與等可能性的情況。因此歷史上有不少人企圖把古典概型推廣到有無限多個(gè)基本事件又有“某種等可能性”的場合，這類問題可以用幾何的方法求解，故稱幾何概型。,如果試驗(yàn)E

7、具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：,（1）試驗(yàn)的可能結(jié)果可表示為某區(qū)域Ω中的一個(gè)點(diǎn)，Ω為其樣本空間；,（2）試驗(yàn)結(jié)果落在區(qū)域A的概率只與A的度量成正比，而與A在Ω中的形狀與位置無關(guān)。,則稱此試驗(yàn)為幾何概型。,注 若視Ω為平面薄板，視P（A）為Ω上區(qū)域A所對應(yīng)的薄板的質(zhì)量，則特點(diǎn)（2）所闡述的是“等面積則等質(zhì)量”，即質(zhì)量均勻。這正是幾何概型中的等可能性。,對于幾何概型，事件A的概率就規(guī)定為：,其中 s 表示相應(yīng)的度量,例1 某公共汽車站從上午7點(diǎn)起，每隔

8、15min來一趟車，一乘客在7:00到7:30之間來到該車站。求 (1)該乘客等候不到5min就乘上車的概率； (2)該乘客等候超過10min才乘上車的概率。,例2 紅藍(lán)兩軍都等可能地在7點(diǎn)至8點(diǎn)之間強(qiáng)占某一高地，先登上且占據(jù)了10分鐘以上者為勝。若兩軍登上的時(shí)間相差不到10分鐘，則拼搏取勝。求兩軍拼搏的概率。,第四節(jié) 概率的公理化定義,概率的統(tǒng)計(jì)定義具有應(yīng)用價(jià)值，但在理論上有嚴(yán)重缺陷；古典概型和幾何概型雖

9、然解決了這兩類概型的概率計(jì)算問題，但不普遍適用，直到上世紀(jì)30年代(1933)前蘇聯(lián)的柯爾莫哥洛夫在總結(jié)前人大量研究成果的基礎(chǔ)上建立了概率論的公理化法則，由此產(chǎn)生了概率的一般定義。,定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，Ω是E的樣本空間。若對E的每一事件A,均有確定的實(shí)數(shù)P(A)與之對應(yīng)，且滿足下列條件：,１、非負(fù)性： P(A)≥0；,2、規(guī)范性： P(Ω)=1;,3、可列可加性：設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件，則,則稱P(A)為事件A的概率，P