第六章一階電路

1、第六章 作業(yè),6-6 6-8 6-23 6-28 6-32 6-36 6-39,6-4 6-9 6-16 6-21 6-27 6-33 6-34 6-35,第六章 練習,一階電路 -------含一個獨立的動態(tài)元件 或者由一解微分方程描述,§6-1 分解方法在動態(tài)電路分析中的應用,uRo+uC=UO

2、C,uC(t0)=已知或可求,uC(t0)=已知或可求,iG0+iC=ISC,uL+uRo=UOC,iL(0)=I0已知或可求,iG0+iL=ISC,iL(0)=I0已知或可求,一階微分方程求解（此部分內容自己復習）,§6-4 零輸入響應 P203,一.RC電路,t=0時，K1打開，K2閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài),求uC(t) 、 i(t) , t≥0,定義：電路換路后的響應僅由動態(tài)元件的初始 儲能引起---

3、零輸入響應,換路：,電路中電源的接入、斷開或元件參數(shù)和電路結構的變化都稱為換路。,換路定律：,uc(0+)=uc(0- )     iL(0+)=iL( 0- ),注意,1. 換路定律只適用于狀態(tài)變量 uC 和iL；,2. 非狀態(tài)量 iC, uL, iR和 uR在換路前后可能 發(fā)生躍變。,1.物理分析,2.數(shù)學分析:換路后電路,uC - uR = 0,uR = Ri,uC(0) =

4、Us 初始條件,解形式：,uC(t) = Kest 代入原方程,RCSKest + Kest = 0,RCS+1 = 0 特征方程,由uC(0) = Ke-0 = Us，得K = Us,t,討論：,,0.368Us,時間常數(shù) ? 越大，衰減越慢； ? 越小，衰減越快。,從理論上講，電路只有在 t ? ? 時才能衰減到0。但在工程上，通常認為 t≥4? 時，電容放電過程基本結束，電路進入

5、穩(wěn)態(tài)。,二. RL電路,uL-uR=0,t=0時,K1由b->c, K2閉合，換路前處于穩(wěn)態(tài),解：iL(0)=Is,LSKest+RKest=0,令iL(t)=Kest，則：,求iL(t)、uL(t) ， t≥0,iL(0)=Ke-0=Is,,K=Is,利用初始條件求K：,總結：一階電路的零輸入響應,求一階電路零輸入響應uc(t)、iL(t)可不列微分方程，直接用結論。,RC電路：,t=R0C,RL電路：,R0---換路后由動

6、態(tài)元件看進去電路的等效電阻,,,補充例1 電路如圖，已知uc(0)=15V,求uc(t), i(t)，t≥0,uC(0)=15V,τ=ROC=5×0.01=0.05s,解：零輸入響應,,,,補充例2： 求圖示電路中i(t), t≥0, 已知uc(0)=6V,解:零輸入響應,,求R0,得:,由:,τ=R0C=2×103s,uC(0)=6V,例6-10 求uab(t), t≥0,開關動作前處于穩(wěn)態(tài).,Uc(t)=uc(0

7、)e- t /τ,uc(0)=10V,R0=9+(12//4)=12?,τ=12s,解:零輸入響應,求R0,uc(t)=10e-t/12 V, t≥0,其上電流為：,練習：求電路的時間常數(shù)τ=─────。,答案：R0=24Ω,小 結,1.一階電路的零輸入響應公式,RC電路---t=0時換路：,t =R0C,RL電路----t=0時換路：,RC電路--- t=t0時換路：,RL電路--- t=t0時換路,,t =R0C,2.一階電路的零

8、輸入響應按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減的快慢由時間常數(shù)τ決定，τ越小，衰減越快。,3.求出uC(t)或iL(t)再根據(jù)置換定理，在換路后的電路中，用電壓為uC(t)的電壓源置換電容，用電流值為iL(t)的電流源置換電感，在置換后的電路求其它電壓電流。,4.一階電路的零輸入響應代表了電路的固有性 質，叫固有響應，s= -1/τ 叫固有頻率。,5.線性一階電路的零輸入響應是初始狀態(tài)的線性函數(shù)，即初始狀態(tài)增大а倍，零輸入響應也增大а倍。,

9、67;6-2 零狀態(tài)響應 P185,定義：換路后電路的響應僅由電源引起，和電 路的初始狀態(tài)無關。,一.RC電路,1.物理分析,t=0時，開關K動作，動作前電路處于穩(wěn)態(tài)。求uC(t)、iC(t) ， t≥0,,,,2.數(shù)學分析,Ric+uC=US,uC(0)=0,uC(t)=uCh+uCp,,求uCh,uCh(t)=Kest 代入方程：,求uCp（特解與激勵形式一樣）,設uCp=Q常數(shù)，代入原方程：,Q = US,工

10、程上認為電容電壓已達穩(wěn)態(tài),令t = RC，,二. RL電路,t=0時，開關閉合求iL(t), t≥0 已知 iL(0)=0,uL + uR = US,iL(t) = iLh+iLp,iLh(t) = Kest,,Ls + R = 0,iL(0) = 0,解：對t≥0 的電路列方程,（1）求通解,設iLp=A，代入原方程：,,,,（2）求特解：,利用初始條件：,,當t=t0時換路的表達式可以類推。,RC電路,RL電路,總結：恒定輸

11、入下一階電路的零狀態(tài)響應,例6-3 求圖示電路的i(t)、iL(t)，t≥0。換路前處于穩(wěn)態(tài)。,思路：用公式先求iL(t)，t≥0。然后在t≥0的電路求i(t),解：零狀態(tài)響應。,（2）求τ,R0=4+6//1.2=5 ?,τ=10/5=2S,（1）求iL(∞),（4）在t≥0的電路,電感用電流源代替后求i(t),列方程：1.2[i(t)+iL]+6 i(t)=18,補充例1 求圖示電路的i1(t)、iL(t)，t≥0, 已知iL(0

12、)=0,解：零狀態(tài)響應,求iL(∞),求R0,30i1 + uL-60 = 0,iL(t) = 4( 1-e-100t )A,t≥0,t≥0電路中,電感用電壓源代替,求i1(t)。,求i1(t),補充例2 求圖示電路中uc(t), t≥0,已知uc(0)=0,解：零狀態(tài)響應 先求t≥0電路的戴維南等效電路。,uOC=1k×i1’+500i1’ =103×50×10-3+500

13、5;50×10-3,=75V,u = 4×103i+500i = 4500i,R0 = u/i = 4500Ω,uC(∞) = 75V,τ=R0C = 4500×10-6 = 4.5×10-3s,求等效電阻。,注意：若電源非直流，則解題時應列微分 方程求解。見例6-4。,小 結,t=t0時換路的表達式要求獨立寫出,4.一階電路的零狀態(tài)響應是輸入的線性函數(shù)。輸入擴大а倍

14、，零狀態(tài)響應也擴大а倍，如有多個電源作用，也可用疊加定理求零狀態(tài)響應。,5.如果是非直流激勵或非漸進穩(wěn)定電路，則需列微分方程求解,３.求出uC(t)、iL(t)，根據(jù)置換定理，電容用電壓值為uC(t)的電壓源置換，電感用電流值為iL(t)的電流源置換，在置換后的電路中求其它電壓電流。,uC(t)、iC(t )的零狀態(tài)響應由0向穩(wěn)態(tài)值按指 數(shù)規(guī)律上升，τ越小上升越快。,§6-5 線性動態(tài)電路的疊加定理 §6

15、-7 瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài),圖中，t =0 時, 開關閉合,已知uC(0) = UO≠0 ，求uC(t), t≥0,解：換路后電路列方程,iC + iR = IS,可以求出uCp(t) = RIs,Uc(0)= 0時------- 零狀態(tài),Is = 0時------ 零輸入,完全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應,分析：,完全響應為：,完全響應=過渡狀態(tài)+穩(wěn)定狀態(tài),t < 4t,t ≥ 4t,uC(t) = RIs 穩(wěn)定狀態(tài),

16、完全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應,,Uc(t)=零輸入響應1+零狀態(tài)響應2 =暫態(tài)響應3+穩(wěn)態(tài)響應4,,RIs,Uc(0),,,一階線性動態(tài)電路的疊加定理：完全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應,補充例1 各電源在t = 0時接入,uC(0)=1V,求 i(t) t ≥ 0,(2)求零狀態(tài)響應uczs(t),解: (1)求零輸入響應uczi(t),uC(0) = 1V，τ=RC=1s,uC(t)’ = e-t V t ≥

17、0,uc∞= 1?1+10= 11V,(3)完全響應,(1)零輸入響應,,先求iL(0-),iL(0+)=iL(0-)=5mA,(2)求τ,解：先用疊加定理求iL(t),再求 i(t)。,iLzs(t)=15(1 - e-500t) mA ,t ≥ 0,（3）求零狀態(tài)響應iLzs(t),= 10 - 5e-500t mA t ≥ 0,（4）求i(t),將電感用電壓源置換,例6-13 開關t=0時閉合，閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)。求uC

18、(t), t≥ 0 。若12V電源改為24V,再求uC(t), t≥ 0 。,解(1)uCzi(t), t≥ 0,uC(0-)=30+2=32V,求t≥0電路的R0,R0=6k//2k=1.5KΩ,求兩個電源分別作用的零狀態(tài)響應。,t =R0C=0.15S,uCzi(t)=32e-t/0.15V, t≥0,36V電源引起的uCzs1(t),uC1(∞)=27V,,,uCzs1(t)=27(1-e-t/0.15)V, t≥0,12V電源引

19、起的uCzs2(t),uCzs2(t)=0,uC(t)= uCzi(t)+ uCzs1(t)+ uCzs2(t),可見：12V電源若改為24V，不會影響零狀態(tài)響應。,= 32e-t/0.15+ 27(1-e-t/0.15)=27+5e-t/0.15V , t≥0,uC2(∞)=0,分析12V電源改為24V的情況：,重新求uCzi(t), t≥ 0,uC(0-) 新=34V,uCzi(t)新=34e-t/0.15V, t≥0,uC(t)n

20、ew=uCzi(t)新+ uCzs(t)原,= 34e-t/0.15+ 27(1-e-t/0.15)=27+7e-t/0.15V , t≥0,§7-6 三要素法,直流激勵下一階電路的響應都是按指數(shù)規(guī)律變化的，具有與uc(t)或iL(t)相同的時間常數(shù)。它們的變化無非四種情況。,f(0+)、f(∞)、t,三個參數(shù)（三要素）,通式：,三要素求解步驟：,對于一階電路，恒定輸入下的響應只要求出這三個要素，就可畫出它的波形并寫出表示式

21、，這就是三要素法。求狀態(tài)量和非狀態(tài)量均適合。,一.求初始值 f(0+),1.先求uC(0-)、iL(0-),2.做t = 0+時等效電路                C—用電壓值等于uC(0-)的電壓源置換       &#

22、160;         L—用電流值等于iL(0-)的電流源置換,二.求穩(wěn)態(tài)值 f(∞),3.在t = 0+的等效電路中求各初始值,在t =∞的電路中求：                 

23、0;  C—開路    L—短路,三.求時間常數(shù)τ,求換路后的電路中動態(tài)元件兩端看進去戴維南等效電阻：                   RC電路：τ=ROC     

24、60;            RL電路：τ=L/RO,電路穩(wěn)定時：C—開路    L—短路,練習初始值f(0+)的求法：,補充1： 已知：iL(0?) = 0，uC(0?) = 0 試求：開關K閉合瞬間，電路中各電壓、電流的初始值。,uC(0+) = uC(0?) = 0,iL(0+) = iL

25、(0?) = 0,解：,u2(0+) = 0,uL(0+)= u1(0+) =5V,補充2： 已知：開關在0時刻打開，打開前電路已處于穩(wěn) 態(tài)，求u(0+),解：t=0-等效電路：,iL(0-)=1A,t=0+等效電路：,利用 iL(0+)=iL(0-),電感用1A電流源代替,u(0+) = - 10V,練習穩(wěn)態(tài)值f(∞)的求法：,解：t= ∞ 的等效電路為：,i(∞) =24/10 -（ 2ⅹ4/10）

26、 =1.6A,補充3：求 i(∞),補充4： 試求電路穩(wěn)定后，各電壓、電流的值。,解：,,iC(∞)=0,i1(∞ )= -1mA,iL(∞)=1mA,uL(∞)=0,u2(∞)=10V,uC(∞)= -5V,三要素法例題,解：(1)求i(0+)：,iL(0-) =0,iL(0+)=iL(0-)=0,畫t=0+等效電路，求i(0+),先求iL(0-),（2）求i∞：換路后電路中，電感用短路代替。,(3)求τ,RO =4+1.

27、2//6=5Ω,解：(1)求iL(0-),iL(0-) = 5mA,iL(0+)=iL(0-)=5mA,,畫t=0+等效電路，求i(0+),（2）求i∞：換路后電路中，電感用短路代替。,(3)求τ,i∞=10/103 =10mA,補充2：求 i(t)， t≥ 0。,iL(0-)=2+1=3A,解：求iL(0-),i(0+)=1.5+0.5=2A,求i(0+),求τ,R0=20 ?,t=4/20=0.2S,求i(∞),i(∞)=1A,i(

28、t)=1+(2-1)e-5t=1+e-5tA，t≥ 0,補充3：開關0時刻打開，打開前處于穩(wěn)態(tài)，求 i(t)，t≥ 0。,解: (1)求uC(0-),uC(0-)=3i’=6V,(2)求i0+,,,i0+=0.5A,(3)求i(∞),i(∞)=2/3A,(4)求τ,R0=6+3//6=8Ω,?=R0C=4S,補充4（習題6-40）：下圖中1V電壓源單獨作用時，V0zs(t)=1/2+1/8e-0.25t，t?0， 問C換成2H電感時，

29、 V0zs(t)=？t?0.,解：該電路在t=0+時與換成電感的電路在t=?時等效 該電路在t=?時與換成電感的電路在t=0+時等效,所以：Vco(0+)=VLo(?) Vco(?)=VLo(0+),可求出 VLo(?) =Vco(0+)=1/2+1/8=5/8V VLo(0+)=Vco(?)=1/2V,三要素法得:V0Lzs(t)=5/8+(1/2-5/8)

30、e-t,=5/8-1/8e-t v , t?0,,?c=RC=2R=4s,?L=L/R=2/R=1s,R=2Ω,補充5：已知：uRzs(t)=1-1/4 e-t ，uczs(t)=1-e-t 求：當uc(0)=2V時, uR(t)和uc(t), t?0,uczi(t)=2 e-t V，t?0,uc(t)=uczi(t)+uczs(t)=(2e-t +1- e-t )?(t)=(1+ e-t )V，t?0

31、,由于uc(t)已經求出，回到換路后電路中：電容用uc(t)的電壓源置換，然后求uR(t)。,uR(t) =K1uc(t)+K2Is,想辦法求K1、K2即可。,uRzs(t) =K1uczs(t)+K2Is,根據(jù)已知條件給出的零狀態(tài)響應求K1、K2：,uR(t) =K1uc(t)+K2Is,代入已知條件：1-1/4 e-t = K1(1- e-t )+K2?1,故K1=1/4 K2=3/4,V ，t?0,作業(yè)題：6-32第二問：求

32、電路的全響應,解：全響應=零輸入+零狀態(tài),uczi(t)=uc(0)e-2t,uc(0)=2.5V,uczi(t)=2.5e-2t,電壓源單獨作用引起的零狀態(tài)響應為：,電流源單獨作用引起的零狀態(tài)響應為：,uczs(t)1= 2e-2t+1/2-2.5e-2t=(0.5-0.5e-2t）V，,uczs(t)2= 1/2e-2t+2-2.5e-2t=(2-2e-2t）V，,表示電路立即進入穩(wěn)態(tài)。,iLzi(t)=2 e-t ,t≥0,iLz

33、s(t)=(2- 2e-t ) /2=1-e-t V,iL(t)=iLzi(t)+iLzs(t),當電源降為原來的1/2時，電感的零狀響應也降為原來的1/2。,uRzs(t) =K1iLzs(t)+K2is,通過研究零狀態(tài)響應來確定常數(shù)K1、K2：,研究完全響應：,補充七：圖示電路中開關在t = 0時閉合，且設t = 0-時電路已處于態(tài)，在t = 100ms時又打開，求uab，并繪波形圖。,t = 0-時，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容開路,uC

34、(0+) = uC(0-) =150V,解∶（1）第一次換路,uc( ∞ )=300×1/5=60V,（2）第二次換路： t =100ms時開關打開 此時電路初態(tài)：uC(0.1+)= uC(0.1s- )= 60V,（因為：t =100ms > 4t）,Uab (0.1s - ) ≈uab(∞) = 120V,uab(0.1+) = 111.4V,用節(jié)點法求uab(0.1+),求uab，t ≥0.1s

35、,元件小結,§7-7 階躍響應及分段常量信號響應,一.階躍函數(shù),１.單位階躍函數(shù),2.延時單位階躍函數(shù),二.用單位階躍函數(shù)表示電源接入,,三.階躍信號、階躍響應,1.階躍信號,2.階躍響應,單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應稱為階躍響應，用Ｓ(t)表示。延時單位階躍信號作用下的響應為Ｓ(t-t0)。,uS(t) = USe (t) 階躍信號,uS(t) =USe (t - t0) 延時信號,四.分段常量信

36、號作用下一階電路的求解,f(t) = e (t) - e (t-1 ),f(t) = e (t) - 2e (t-1 ) +3e(t-2)-2e(t-3),f1(t) = e (t),f2(t) = -e (t-1),=,+,法1.把分段常量信號分解為若干個階躍信號之和，各階躍信號分量單獨作用于電路，用疊加的方法求出電路的零狀態(tài)響應。 如果初始狀態(tài)不為零，再加上零輸入響應。,法2.把分段常量信號作用于電路的時間分

37、為若干個子區(qū)間，每一子區(qū)間內輸入信號為一常量。用三要素法求每一子區(qū)間的響應，即按時間分段求解。在求解過程中，注意每一子區(qū)間初始值的計算。,例1 已知：iS(t)作用于電路，uC(0)=0 求uC(t) t≥0,解法1：把iS(t)分解成兩項：,iS(t) = ISe (t) - ISe (t - t0),階躍信號,延時階躍信號,-ISe(t-t0)單獨作用：,,,,解法2：分段求解,0 < t <t0 零狀態(tài)響應,