結(jié)構(gòu)力學(xué)-第六章-位移法2

1、3`1,結(jié)構(gòu)力學(xué),Structural Mechanics,周 強(qiáng),土木工程學(xué)院風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心E-mail：qzhou85@126.com,基本未知量——結(jié)點(diǎn)B 轉(zhuǎn)角θB ，設(shè)其為Z1 。在結(jié)點(diǎn)B 附加剛臂得基本結(jié)構(gòu)。,原結(jié)構(gòu),基本結(jié)構(gòu),一、位移法的基本方程,1. 無(wú)側(cè)移剛架,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,+,=,R11+R1P=R1=0,2) 人為給予結(jié)點(diǎn)B以轉(zhuǎn)角θB ,由于轉(zhuǎn)角而引起附加約束的附加反力R

2、11。,在基本結(jié)構(gòu)上分別考慮：,基本體系,+,=,1) 荷載引起的附加約束中的反力R1P。,由線形系統(tǒng)的疊加原理得到位移法基本體系.,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,設(shè)r11為單位轉(zhuǎn)角Z1=1時(shí)附加約束反力矩，則 R11=r11Z1，將其代入公式（8-3）得,思考：如何使基本體系的受力和變形情況與原結(jié)構(gòu)完全等價(jià)？,要使基本體系與原結(jié)構(gòu)完全相等，必須要有 R11+R1P=R1=0

3、即： R11+R1P=0 (8-3）,R 的下標(biāo): 第一個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生附加反力矩的位置， 第二個(gè)下標(biāo)表示產(chǎn)生附加反力矩的原因。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,r11Z1+R1P=0 （8-4）,------求解基本未知量Z1的位移法方程。,求系數(shù) r11,作基本結(jié)構(gòu)當(dāng)位移 Z1=1 時(shí)的彎矩圖（ 圖）。,i=EI/l 稱為該桿的線剛度。

4、,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，由力矩平衡條件,得,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,求自由項(xiàng)R1P，作出基本結(jié)構(gòu)在荷載作用時(shí)的彎矩圖(MP圖)。,利用力矩平衡條件∑MB=0， 得,注意：系數(shù)r11和自由項(xiàng)R1P的正負(fù)號(hào)規(guī)定它們都與 轉(zhuǎn)角 Z1的正向一致時(shí)為正，即順時(shí)針為正。,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,將系數(shù)r11和自由項(xiàng) R1P代入位移法方程式（8-4）有,得,疊加法繪制結(jié)構(gòu)的彎矩圖。,

5、67;6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,2. 有側(cè)移剛架,圖示剛架，在荷載作用下該剛架將發(fā)生虛線所示的變形。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,結(jié)點(diǎn)1的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)1、2的獨(dú)立水平線位移Z2 。,(1) 基本未知量：,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,基本結(jié)構(gòu),(2) 基本方程基本體系轉(zhuǎn)化為原體系的條件為：附加約束上的反力——R1=0、R2=0 。,基本體系,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步

6、驟,在小變形線彈性條件下，根據(jù)疊加原理可得,（8-5）,第一式：反應(yīng)了結(jié)點(diǎn)1的矩平衡條件。,設(shè)Z1=1時(shí)附加剛臂的約束反力矩r11，附加鏈桿的約束力r21；Z2=1時(shí)附加剛臂的約束反力矩r12 ，附加鏈桿的約束力r22，則,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,將R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（8-5）的得位移法典型方程(基本方程),（8-6）,位移法典型方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在荷載和各結(jié)點(diǎn)位移共同作用下

7、，各附加約束中的反力等于零,反映了原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,rij——表示基本結(jié)構(gòu)僅在附加約束j發(fā)生單位位移Zj=1時(shí)，在附加約束i上產(chǎn)生的約束力（或約束反力矩）。,二、位移法典型方程,（8-7）,對(duì)于具有n個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移的的結(jié)構(gòu),有n個(gè)基本未知量,可建立n個(gè)平衡方程，位移法典型方程,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,由剛度系數(shù)rij 組成的矩陣稱為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。,rij 反

8、映結(jié)構(gòu)的剛度，稱為剛度系數(shù)。rij = rji （由反力互等定理）。RiP 稱為自由項(xiàng)，它表示在基本結(jié)構(gòu)上僅有荷載作用時(shí)，在附加約束i上產(chǎn)生的約束反力或反力矩。,寫(xiě)成矩陣形式——位移法方程也稱剛度方程,（8-8）,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(3) 求典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)。,1）作基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在Z1=1作用時(shí)的彎矩圖,取剛結(jié)點(diǎn)1為隔離體，由平衡條件得,繼續(xù)求解,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,截取

9、橫梁12為隔離體，,取13桿為隔離體，由∑M3=0, 有,得,由平衡條件得,注意：桿端剪力FS13可根據(jù)桿端彎矩求出。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,2) 作基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在Z2=1作用時(shí)的彎矩圖 圖,取剛結(jié)點(diǎn)1為隔離體，由平衡條件得,在繪出 圖、 圖后，桿端剪力（包括大小和方向）即可確定，不必專門(mén)記憶。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,截取橫梁12為隔離體,由平衡條件得,§

10、6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,3) 作基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載單獨(dú)作用時(shí)的彎矩圖MP圖。,截取橫梁12為隔離體,由平衡條件得,取剛結(jié)點(diǎn)1為隔離體，由平衡條件得,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,進(jìn)行系數(shù)和自由項(xiàng)計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：,,(1) 桿端剪力可根據(jù)桿端彎矩求出。在繪出 圖、 圖、 后，桿端剪力（包括大小和方向）即可確定，不必專門(mén)記憶。,(2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，計(jì)算時(shí)可

11、以互相校核，熟練后只需計(jì)算其中之一。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,將系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程（8-6），則,結(jié)果為正值，表明所設(shè)Z1、Z2的方向與實(shí)際方向一致。,(4) 解方程,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(5) 彎矩圖,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(6) 根據(jù)彎矩圖可作出剪力圖和軸力圖。,(7) 校核。,結(jié)點(diǎn)滿足力矩平衡條件。,取橫梁12為隔離體，它滿足剪力平衡條件，可以判

12、斷所得結(jié)果正確。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,三、位移法典型方程計(jì)算結(jié)構(gòu)的步驟,(1) 確定基本未知量——即原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)角位移和線位移;,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)——在原結(jié)構(gòu)上增設(shè)與基本未知量相應(yīng)的附加約束，限制結(jié)點(diǎn)的角位移和線位移，得到位移法基本結(jié)構(gòu);,(3) 建立位移法典型方程;,(4) 計(jì)算典型方程中系數(shù)和自由項(xiàng);,繪出基本結(jié)構(gòu)在各單位結(jié)點(diǎn)位移作用下的彎矩圖和荷載作用下的基本結(jié)構(gòu)的彎矩圖，由平衡條件求出各系數(shù)和

13、自由項(xiàng)。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(6) 作內(nèi)力圖；根據(jù) ，按疊加法繪制最后彎矩圖，利用平衡條件求出各桿桿端剪力和軸力，作剪力圖和軸力圖。,(7) 校核。按平衡條件進(jìn)行校核。,(5) 解算典型方程；求出作為基本未知量的各結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2 、…、Zn 。,思考：位移法能用于計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)嗎？,能！凡是具有未知結(jié)點(diǎn)位移的結(jié)構(gòu), 不管是靜定或是超靜定, 都可以用位移法求

14、解。位移法比較適宜于編制通用計(jì)算程序 ,進(jìn)行大規(guī)模的工程計(jì)算。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,例8-1 用位移法計(jì)算圖示的剛架的內(nèi)力。EI=常數(shù)。,解：(1) 確定基本未知量，結(jié)點(diǎn)C的角位移Z1。,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)，得到基本體系。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(3) 建立位移法典型方程。,（4）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。 令 ，做出 圖,基本結(jié)構(gòu)由于支座A產(chǎn)生位移

15、時(shí)，各桿端的彎矩：,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作出MΔ圖（轉(zhuǎn)角位移方程）,(5) 解算位移法方程，,(6) 作內(nèi)力圖。,按疊加法根據(jù),§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,解：(1) 確定基本未知量，結(jié)點(diǎn)B的角位移Z1。,例8-2 用位移法計(jì)算圖示的連續(xù)梁的內(nèi)力。EI=常數(shù)。,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)，得到基本體系。,(3) 建立位移法典型方程。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,（4）計(jì)算系數(shù)

16、和自由項(xiàng)。 令 ，做出 圖,由隔離體——結(jié)點(diǎn)B的力矩平衡條件∑MB=0 ，得,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作出MP圖（查表）,由∑MB=0,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，,將系數(shù)r11和自由項(xiàng)R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程，,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(6) 作內(nèi)力圖。,注意:桿端彎矩順時(shí)針為正。但彎矩圖仍畫(huà)在桿件纖維受拉一側(cè)。,§6-4

17、 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,根據(jù)M圖利用平衡條件求出各桿桿端剪力, 繪出剪力圖。,取AB桿為隔離體,由 得,由 得,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,取BC桿為隔離體，,由,得,由,得,繪出剪力圖,(7)按平衡條校核,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,解： (1) 確定基本未知量結(jié)點(diǎn)D、E的角位移Z1和Z2 。,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)。

18、,例8-3 試用位移法計(jì)算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的E為常數(shù)。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(3) 建立位移法典型方程,作出 圖，分別取結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)2為隔離體，由力矩平衡條件得：,(4) 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng),§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作出 圖,分別取結(jié)點(diǎn)D和結(jié)點(diǎn)E為隔離體，由力矩平衡條件得：,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作MP圖,分別取結(jié)點(diǎn)D和結(jié)點(diǎn)E為隔離體，

19、由力矩平衡條件得：,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(5) 解算位移法方程,(6) 作彎矩圖。根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩圖。,將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得,(7) 校核 取結(jié)點(diǎn)D和結(jié)點(diǎn)E為隔離體。,易見(jiàn)滿足結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件, 計(jì)算無(wú)誤。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)。,(3) 建立位移法典型方程。,剛結(jié)

20、點(diǎn)B角位Z1，水平線位移Z2,解：(1) 基本未知量,例8-4 試用位移法計(jì)算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的E為常數(shù)。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(4) 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。,令 ,作出 圖,取橫梁ABC為隔離體，,由剪力平衡條件得,由力矩平衡條件有,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，有,（反力互等定理）,作 圖,取橫梁ABC為隔離體，,有,

21、§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作MP圖,取結(jié)點(diǎn)B為隔離體,取橫梁ABC為隔離體，有,(5) 解算位移法方程,解之得,將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，得,有,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(6) 作彎矩圖。,根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩圖。,(7) 校核。滿足結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件，由此判定計(jì)算無(wú)誤。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,解：(1) 確定基本未

22、知量剛結(jié)點(diǎn)C角位移Z1，結(jié)點(diǎn)C和結(jié)點(diǎn)D有相同的水平線位移Z2 。,例8-5 試用位移法計(jì)算圖示剛架，并繪出M圖。各桿的EI為常數(shù)。,(2) 建立基本體系,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,由力矩平衡條件∑MC =0，得,(3) 建立位移法典型方程。,(4) 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。作出 圖。令 。,截取桿CD為隔離體，,由投影平衡條件∑Fx =0 ，得,取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，,§6-4 位移法的典型方程及

23、計(jì)算步驟,作 圖,由力矩平衡條件 ∑MC =0 得,由投影平衡條件∑Fx =0 得,（滿足r12=r21）,截取桿CD為隔離體，,取結(jié)點(diǎn)C為隔離體，,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,作MP圖,由投影平衡條件∑Fx =0 ，得,由力矩平衡條件∑MC =0 ，得,取結(jié)點(diǎn)C為隔離體,截取桿CD為隔離體,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,將系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法方程，便有,(5) 解算位移法方程。,(7) 校

24、核。,(6) 作彎矩圖。根據(jù) 按疊加法繪制最后彎矩。,滿足結(jié)點(diǎn)的力矩平衡條件，計(jì)算無(wú)誤。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,解： (1) 確定基本未知量?；疚粗繛楠?dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移Z1 。,(2) 建立基本結(jié)構(gòu)。,(3) 建立位移法典型方程。,例8-6 試用位移法計(jì)算圖所示排架。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(4) 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。,作 圖，取橫

25、梁CD為隔離體,由∑X=0, 得,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,將系數(shù)r11和自由項(xiàng) R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,由MP圖，有自由項(xiàng),§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(6) 作內(nèi)力圖。根據(jù),按疊加法繪制最后彎矩圖,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,橫梁彎曲剛度無(wú)窮大，結(jié)點(diǎn)處不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，本題只有一個(gè)線位移未知量。,例8-7 試用位移法計(jì)算圖示橫梁剛度無(wú)窮大的剛架

26、，繪彎矩圖。E=常數(shù)。,(2) 建立基本體系。,解: (1) 確定基本未知量,思考：剛結(jié)點(diǎn)處為什么不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)？,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(3) 建立位移法方程,(4) 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng),由 圖得系數(shù),§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,荷載作用在橫梁上不引起立柱 MP彎矩。,自由項(xiàng),將系數(shù)r11和自由項(xiàng)R1P代入位移法方程，解得,(5) 解算位移法方程。,§6-4 位移法的典型方程及

27、計(jì)算步驟,(6) 用疊加法作內(nèi)力圖。,注意: 1. 橫梁上的彎矩按平衡條件確定。 2. 由彎矩圖，利用平衡條件，可進(jìn)一步繪出剪力圖。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,例8-8用位移法作圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。,解:利用對(duì)稱性取半個(gè)結(jié)構(gòu)計(jì)算。,(1) 確定基本未知量,剛結(jié)點(diǎn)C角位移Z1,結(jié)點(diǎn)A水平線位移Z2，,(2) 建立基本體系。,(3) 建立位移法典型方程。,§6-4 位移法的典型方程及計(jì)算步驟,(4