中國石油大學(xué)現(xiàn)代控制理論全部課件

1、,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory,張曉東zxdworkspace@163.com,緒 論,問題的提出－控制的必要性,飛機(jī)的自動駕駛系統(tǒng)、宇宙飛船系統(tǒng)和導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)；,問題的提出－控制的必要性,數(shù)控機(jī)床；工業(yè)過程中流量、壓力、溫度的控制；,問題的提出－控制的必要性,機(jī)器人控制、城市交通控制、網(wǎng)絡(luò)擁塞控制；生物系統(tǒng)、生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)、社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)；,,,火星旅行者,自動控制的兩個主題,

2、反饋閉環(huán)回路輸入?動態(tài)系統(tǒng)?輸出?測量?比較?誤差?輸入不確定條件下達(dá)到性能指標(biāo)最優(yōu)控制一段時間上的性能指標(biāo)最小預(yù)先規(guī)劃、開環(huán)控制軌跡最優(yōu)化二者聯(lián)系某些條件下，最優(yōu)控制構(gòu)成反饋,提出的方法－經(jīng)典控制理論(1935-1950),傳遞函數(shù)模型美國貝爾實驗室H. Bode(1938)，以及Nyquist(1940)提出了頻率響應(yīng)法,提出的方法－經(jīng)典控制理論(1935-1950),美國MIT的N. Wiener在研

3、究隨機(jī)過程的預(yù)測問題中，提出Wiener濾波理論(1942)，發(fā)表了’Cybernetics’(1948)控制論：關(guān)于在動物和機(jī)中控制和通訊的科學(xué)Cybernetics: or Control and Communication in the Animal and the Machine控制學(xué)科誕生:維納的控制論,存在的問題,經(jīng)典控制理論簡單對象 單輸入單輸出、線性、時不變系統(tǒng)缺乏系統(tǒng)化方法 圖形化方法，依賴

4、于設(shè)計人員的經(jīng)驗達(dá)到的性能要求較低，不能處理多目標(biāo)性能面臨的挑戰(zhàn)對象日益復(fù)雜化、控制性能要求不斷提高,現(xiàn)代控制理論,新知識、新技術(shù),現(xiàn)代控制理論,1956年，前蘇聯(lián)的龐德里亞金發(fā)表了《最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)理論》，提出了極大值原理(Maximum Principle)；1957年，美國的貝爾曼發(fā)表了《動態(tài)規(guī)劃理論在控制過程中的應(yīng)用》，建立了最優(yōu)控制的理論基礎(chǔ)；1960年，美籍匈牙利人卡爾曼發(fā)表了”O(jiān)n the General Theo

5、ry of Control Systems”，引入狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，提出了能控性、能觀性、卡爾曼濾波等概念，奠定了現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)；,現(xiàn)代控制理論,1957年成立了國際自動控制聯(lián)合會(IFAC：International Federation of Automatic Control),現(xiàn)代控制理論－取得的成就,1957年發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星；工業(yè)機(jī)器人產(chǎn)品；1961年載人航天（加加林）；1966年月球軟著陸；1969

6、年登陸月球。,現(xiàn)代控制理論－研究對象,系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對象 系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個“整體”。系統(tǒng)具有如下3個基本特征: (1) 整體性 結(jié)構(gòu)上的整體性 系統(tǒng)行為和功能由整體性決定,現(xiàn)代控制理論－研究對象,(2)抽象性 作為系統(tǒng)控制理論的研究對象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會含義，而把它抽象為一個一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。(3)相對性

7、 在系統(tǒng)的定義中, 所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對屬性。,現(xiàn)代控制理論－研究對象,動態(tài)系統(tǒng)： 所謂動態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計規(guī)律隨時間演化的一類系統(tǒng)——動力學(xué)系統(tǒng)。 動態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為由各類變量間的關(guān)系來表征。系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式 輸入變量組 內(nèi)部狀態(tài)變量組 輸出變量組,,,,u,x,y,現(xiàn)代控制理論－研究對象,系統(tǒng)動態(tài)過程的數(shù)學(xué)描述白箱

8、模型 黑箱模型動態(tài)系統(tǒng)的分類從機(jī)制角度：連續(xù)變量系統(tǒng) 離散事件系統(tǒng)從特性角度：線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng)從作用時間類型角度：連續(xù)時間系統(tǒng) 離散時間系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型： 集中參數(shù)系統(tǒng) 分布參數(shù)系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論－研究對象,線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)理論的研究對象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。 若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

9、描述為L,現(xiàn)代控制理論－研究對象,系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型是對系統(tǒng)或其部分屬性的一個簡化描述 ①系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)測預(yù)報、綜合和設(shè)計控制器②模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計算機(jī)程序表示③數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng)④建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識⑤系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷,現(xiàn)代控制理論－特點,現(xiàn)代控制理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。 研究線性系統(tǒng)

10、狀態(tài)的運(yùn)動規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和方法，建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。 主要內(nèi)容：數(shù)學(xué)模型→分析理論→綜合理論發(fā)展過程：經(jīng)典控制理論→現(xiàn)代控制理論處理方法：狀態(tài)空間法,本課程內(nèi)容,狀態(tài)空間模型；基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)分析(Analysis)； 運(yùn)動分析、能控性、能觀性、穩(wěn)定性基于狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)綜合(Synthesis)； 極點配置、穩(wěn)定化控制器設(shè)計、 觀測器設(shè)計、二

11、次型最優(yōu)控制器設(shè)計。,本課程教學(xué)方法和要求,主線：問題的提出—–解決的思路—–具體方法—–算法編程—–應(yīng)用實例；和MATLAB相結(jié)合，理論證明、仿真驗證；參與課堂討論、回答提問、完成作業(yè)；編程設(shè)計、演示；介紹應(yīng)用領(lǐng)域、實驗結(jié)果；考試 敘述、證明、計算,參考書目,劉豹 唐萬生. 現(xiàn)代控制理論 (第3版)，機(jī)械工業(yè)出版社，2006.7[美]Katsuhiko Ogata著，盧伯英 于海勛等譯. 現(xiàn)代控制工程

12、 (第四版)，電子工業(yè)出版社，2003[澳]Goodwin, G.C., et al. Control System Design, 清華大學(xué)出版社，2002王樅. 控制系統(tǒng)理論及應(yīng)用，北京郵電大學(xué)出版社，2003張嗣瀛, 高立群. 現(xiàn)代控制理論，清華大學(xué)出版社，2006,,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory,第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,Part I (1.1~1.4),系統(tǒng)動

13、態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)的外部描述外部描述常被稱作輸出—輸入描述例如，對SISO線性定常系統(tǒng) 時間域的外部描述：,復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述：,,,,u,y,系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述,系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式，需要由兩個數(shù)學(xué)方程表征—— 狀態(tài)方程 輸出方程,系統(tǒng)動態(tài)過程的兩類數(shù)學(xué)描述,外部描述和內(nèi)部描述的比較 一般的

14、說外部描述只是對系統(tǒng)的一種不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測的部分。內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動力學(xué)特性。,如圖所示RLC的電路,根據(jù)回路電壓定律,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,令狀態(tài)變量 x1=uc，x2=i，系統(tǒng)輸出 y=uc=x1寫成矩陣形式,以上方程可表為形如,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,另一種狀態(tài)空間表達(dá)式,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間

15、表達(dá)式,狀態(tài)空間描述常用的基本概念輸入：外部對系統(tǒng)的作用(激勵)，輸入包括控制輸入和干擾輸入。輸出：系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息。 若輸出是由傳感器測量得到的，又稱為觀測。,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)變量:一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為：能完全表征其時間域行為的一個最小內(nèi)部變量組,狀態(tài)矢量：一個動力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組,所組成的一個列向量,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,狀態(tài)空間：

16、狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù) 狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在某個時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個點。隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,幾點解釋,(1).狀態(tài)變量組對系統(tǒng)行為的完全表征性,只要給定初始時刻 t0 的任意初始狀態(tài)變量組,和t ≥ t0 各時刻的任意輸入變量組,那么系統(tǒng)的任何一個內(nèi)部變量在t≥t0各

17、時刻的運(yùn)動行為也就隨之而完全確定,(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征,(3).狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征,(4).狀態(tài)變量組的不唯一性,(5).系統(tǒng)任意兩個狀態(tài)變量組之間的關(guān)系,(6).有窮維系統(tǒng)和無窮維系統(tǒng),(7).狀態(tài)空間的屬性,狀態(tài)空間為建立在實數(shù)域R上的一個向量空間Rn,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（動態(tài)方程或運(yùn)動方程），包括狀

18、態(tài)方程 描述狀態(tài)變量與輸入之間的關(guān)系輸出方程 描述輸出與狀態(tài)變量之間的關(guān)系,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,3/19/2024,,,動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,線性時不變系統(tǒng),線性時變系統(tǒng),1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,x n維狀態(tài)矢量u r維輸入(或控制)矢量y m維輸出矢量A nxn系統(tǒng)矩陣B nxr輸入(或控制)矩陣C mxn輸出矩陣D mxr直

19、接傳遞矩陣,狀態(tài)方程,輸出方程,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,連續(xù)時間線性系統(tǒng)的方框圖,1.1 狀態(tài)空間及狀態(tài)空間表達(dá)式,1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,一階標(biāo)量微分方程,三階系統(tǒng)微分方程,1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,狀態(tài)空間方程,1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,多輸入多輸出系統(tǒng),1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式從機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式從傳遞函

20、數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式無零點有零點多入多出系統(tǒng)微分方程實現(xiàn),建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法,1.2 狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，求狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,系統(tǒng)

21、的狀態(tài)空間表達(dá)式為,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，求狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,1.3.1 從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,如圖所示的RLC電路，試以電壓u為輸入，以電容C上的電壓 為輸出變量，列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。,,電路的貯能元件有電感 和電容C。根據(jù)基爾霍夫定律列寫電路

22、方程：,,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,考慮到 三個變量是獨立的，故可確定為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，經(jīng)整理上式變?yōu)?現(xiàn)在令狀態(tài),將上式寫成矩陣形式即為狀態(tài)方程,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,,,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,直流電機(jī)系統(tǒng)電路部分特性機(jī)械部分特性取狀態(tài)變量:,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,得

23、：矩陣形式：,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,建立如下電路的狀態(tài)空間表達(dá)式,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,等效成,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.3 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,狀態(tài)方程及輸出方程：,1.3.2 從機(jī)理建立狀態(tài)模型,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述已知系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可以求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如果已知系統(tǒng)的輸入/輸

24、出描述(微分方程或傳遞函數(shù))，可否確定其狀態(tài)空間表達(dá)式？ 實現(xiàn)問題實現(xiàn)是非唯一的，但只要W(s)沒有零極點相消則各個實現(xiàn)的階次相同各個實現(xiàn)都等效于原傳遞函數(shù),1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,對于單輸入,單輸出線性時不變系統(tǒng),其微分方程描述,其傳遞函數(shù)描述,可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為,基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對應(yīng)的參數(shù)矩陣組,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,注意的問題實現(xiàn)條件是m≤n，否則是不可實現(xiàn)的當(dāng)m<n

25、時，d=0當(dāng)m=n時，d=bn≠0 此時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可寫為,系統(tǒng)的輸出直接與輸入關(guān)聯(lián),1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)( m=0情形),此時輸入輸出描述為:,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,選取n個狀態(tài)變量,狀態(tài)方程,輸出方程,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:,A 友矩陣,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,例 求微分方程所示系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,解：令,

26、則,由,有,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn)( m≠0情形),其傳遞函數(shù)描述,系統(tǒng)的微分方程描述,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,令,對上式求拉氏反變換,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,狀態(tài)方程和輸出方程,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,狀態(tài)空間表達(dá)式,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,傳遞函數(shù)分子階次小于分母階次 m<n情形,1

27、.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,關(guān)于實現(xiàn)的非唯一性,輸入輸出描述為:,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,其中,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,其對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:,兩種狀態(tài)空間描述為:,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,多輸入-多輸出(MIMO)系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn),1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,1.4 狀態(tài)空間表達(dá)式的建立,由結(jié)構(gòu)圖不難列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory,

28、第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,Part II (1.5~1.7),1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,對于一個給定的動態(tài)系統(tǒng)，可以選擇不同的狀態(tài)變量組，從而得到不同結(jié)構(gòu)的狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)給定系統(tǒng)為：,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,,,,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式

29、的非唯一性,為何同一個系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?原因: 狀態(tài)變量的不同選擇這就產(chǎn)生了一個問題:各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,以及它們所對應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,不同的狀態(tài)變量組之間的關(guān)系實質(zhì)上是一種線性變換的關(guān)系，或稱坐標(biāo)變換,狀態(tài)變量是一組實變量,它們所組成的狀態(tài)空間為一個實線性空間。由線性代數(shù)知識可知,線性空間中,隨著表征空間坐標(biāo)的基底的選取的不同,空間中的點關(guān)于各種基底的坐標(biāo)

30、亦不同。這些基底之間的關(guān)系相當(dāng)于進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換,而空間中的點的坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。,P為可逆的變換矩陣,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,狀態(tài)空間的線性變換設(shè)描述同一個線性狀態(tài)空間的兩個n維的狀態(tài)變量向量分別為,由線性代數(shù)知識可知,它們之間必有如下變換關(guān)系,其中T為n?n維的非奇異變換矩陣。,上述狀態(tài)變量向量 x與 間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換,只有變換矩陣T為非奇異的,才能使上述變換關(guān)系是等價的、唯一的和

31、可逆的,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,設(shè)給定系統(tǒng)為,,,總可以找到任意一個非奇異矩陣T，作線性變換,得新狀態(tài)空間表達(dá)式,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,例 試將以下狀態(tài)空間模型,作變換矩陣為下式所示的線性變換,,1.5.1狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,解 線性變換T的逆矩陣為,因此,有,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,故系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為,值得指出的是,狀態(tài)空間的線性變換只是對狀態(tài)變量

32、作變換,對系統(tǒng)的輸入和輸出未作變換,因此系統(tǒng)的輸入輸出間的動態(tài)和靜態(tài)關(guān)系對狀態(tài)變換保持不變。,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5.2 系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量 由前面的討論可知,當(dāng)選擇不同的狀態(tài)變量,則獲得不同的狀態(tài)空間模型描述。實際上,狀態(tài)空間模型只是系統(tǒng)在不同的狀態(tài)變量選擇下對系統(tǒng)的一種描述,它隨狀態(tài)變量選擇的不同而不同,并不具有唯一性和不變性那么,到底系統(tǒng)在狀態(tài)空間中有哪些描述,哪些性質(zhì)是不變的,是不隨狀態(tài)

33、變量的選取不同而變化的?,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,線性時不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。特征多項式連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,均為實常數(shù),(1) 特征多項式,(2) 特征方程式,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,特征值連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng),特征值的代數(shù)屬性系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sI－A)降秩的所有s值特征值集對n維線性時不變系統(tǒng)，有且僅有n個特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。,1

34、.5 狀態(tài)矢量的線性變換,(3) 特征值的形態(tài)特征值的形態(tài)要么為實數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)(4) 特征值類型系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,系統(tǒng)的不變量及系統(tǒng)特征值不變性系統(tǒng)矩陣A的一個重要性質(zhì)是其特征值的不變性，即在狀態(tài)變量的線性變換中，新老狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣的特征值是相同的,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,為了證明這一點，只要證明,,即可，證明如下：,,,A陣的特征值是不變的,1.5

35、狀態(tài)矢量的線性變換,這還意味著特征方程是相同的。即如設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：,則方程的系數(shù)是不變的量，故稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,特征向量,n維連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)　　　　　　，?i為A的特征值,特征向量的屬性：,(1) 特征向量的不唯一性(2) 單特征值所屬特征向量的屬性 對n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值{?1、 ?2、… ?n}的相應(yīng)一組特征向量{p1、 p2、… pn}為線性

36、無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值{?1、 ?2、… ?n}為兩兩互異。,[例]試求下列狀態(tài)方程變換A的特征值和特征向量,解：A的特征值可由???－A?＝0 求出,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,對應(yīng)于?1＝－1的特征矢量,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,特征矢量不唯一!,同理可以算出l1=-2和l3=-3的特征向量p2，p3,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5.3狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型對線性定常系統(tǒng)變換為其中 J

37、=T-1AT非奇異變換變換矩陣T通過系統(tǒng)的特征向量求得。,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1. 狀態(tài)矩陣A無重特征值時如果A有n個兩兩相異特征值，則存在非奇異矩陣T，通過線性變換 ，使之化為對角線規(guī)范形式,,其中,矩陣A的特征值。,證明：首先令pi為A的屬于li的特征向量,因為l1，l2，… ，ln 為兩兩相異，故p1,p2, …,pn必線性無關(guān)，由這些特征向量組矩陣T：,必是非奇異的。,1.5 狀態(tài)矢量

38、的線性變換,進(jìn)而，根據(jù)特征向量的關(guān)系式Api=lipi，有,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,因為T是非奇異陣，必有逆。將上式左乘T-1，即得,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,[例]試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,2. 狀態(tài)矩陣A有重根時對線性定常系統(tǒng),設(shè)A的特征值為l1，l2，… ，lk ，其中特征值lj為qj重特征值，所以有

39、,,這時導(dǎo)出的形式叫約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，就是說總可以找到變換矩陣T，使得,,,稱為第j個約當(dāng)塊,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,因為特征值重復(fù)，得不到n個線性無關(guān)的特征向量 問題:怎樣得到變換矩陣T?,假設(shè)對q1重特征值l1 ，只能得到一個特征向量p1 ，其余向量p2, p3, …, pq1尚未求出，但由,,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,將此式展開,,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,現(xiàn)在研究上式兩邊矩陣的第2列到第q1列，得下列關(guān)系式：,,,上式有

40、q1個方程和共個q1未知量，由上式可求得。同理可求得pq1以后的特征向量，于是可組成T矩陣。,特征向量,廣義特征向量,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,例 將系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。,,解：求A的特征值,,所以特征值為：,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,對應(yīng)于l1=-1的特征向量p1,,,,,對應(yīng)于l1=-1的廣義特征向量p2,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,對應(yīng)于l3=-1的特征向量p3,,所以,,,,

41、此系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,特殊形式（標(biāo)準(zhǔn)型）A陣的變換矩陣T,其特征多項式為|?I-A|=?n+an-1?n-1+…+a1?+a0即該類矩陣的最后一行與特征多項式的系數(shù)一一對應(yīng)。該類特殊系統(tǒng)矩陣A稱為友矩陣。,該結(jié)論可由下式證明,即pi為友矩陣的特征值?i對應(yīng)的特征向量,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,友矩陣的特征向量的特點: 當(dāng)特征值為li時,其對應(yīng)的特征向量為,1.5 狀態(tài)

42、矢量的線性變換,(1).當(dāng)友矩陣的特征值互異時,將友矩陣變換成對角線矩陣的變換矩陣恰為下述范德蒙矩陣,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,(2).當(dāng)友矩陣有重特征值時,以l1的三重跟為例,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,(3).當(dāng)友矩陣有共軛復(fù)數(shù)特征值時,四階系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)特征值為例，設(shè)l1,2=s±jw, l3 l4,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,3. 系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn),設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下,,其極點即傳遞函數(shù)分母方

43、程的根,為兩兩互異實數(shù)，對應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形,,(1) m<n，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形,對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,狀態(tài)方程中系統(tǒng)矩陣為對角線標(biāo)準(zhǔn)型，可見并聯(lián)實現(xiàn)等價于約旦標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)。,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,(2) m=n，即系統(tǒng)為真情形,令,狀態(tài)空間描述為：,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,傳遞函數(shù)具有重根的情況,設(shè)傳遞函數(shù)W(s)有一個q重根

44、l1，其余l(xiāng)q+1，lq+2，…，ln是互異單根，W(s)的部分分式展開為,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,,,1.5 狀態(tài)矢量的線性變換,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,從系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)狀態(tài)方程從狀態(tài)方程導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 1.6.1傳遞函數(shù)矩陣已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，求系統(tǒng)輸入輸出之間的傳遞函數(shù)矩陣,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.單輸入

45、單輸出系統(tǒng) 統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：,式中x為n維向量，y、u分別為輸出和輸入，它們都是標(biāo)量。對上式進(jìn)行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有,,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,于是可得傳遞函數(shù)為：,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,2.多輸多輸出系統(tǒng) 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,式中：,輸入列向量；,輸出列向量；,系統(tǒng)矩陣；,控制矩陣；,輸出矩陣；,直接傳遞矩陣；,狀態(tài)向量;,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)

46、陣,在初始條件為零的前提下作拉氏變換，得,于是得傳遞函數(shù)陣,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,系統(tǒng)各個輸入與輸出之間是相互關(guān)聯(lián)的，這種關(guān)系稱為耦合關(guān)系，這是多變量系統(tǒng)的特點,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,傳遞函數(shù)矩陣還可以表示為,可以看出，傳遞函數(shù)的分母就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項式，分子是一個多項式矩陣,[例] 已知SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示，試求其傳遞函數(shù)陣,,,[解],,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,

47、,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,[例] 已知MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示，試求其傳遞函數(shù)陣,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,[解],,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,線性變換是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種基本手段——突出系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡化系統(tǒng)分析和綜合的計

48、算過程。線性變換的實質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個坐標(biāo)系上的表征化為另一個坐標(biāo)系上的表征。線性時不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為,引入狀態(tài)變換,則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,其傳遞函數(shù)矩陣,即同一系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣是唯一的,1.6.2 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣

49、,對于許多復(fù)雜的生產(chǎn)過程與設(shè)備,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可以等效為多個子系統(tǒng)的組合結(jié)構(gòu),這些組合結(jié)構(gòu)可以由并聯(lián)、串聯(lián)和反饋3種基本組合聯(lián)結(jié)形式表示。下面討論的由這3種基本組合聯(lián)結(jié)形式構(gòu)成的組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)陣。,設(shè),1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,兩個子系統(tǒng)可以實現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件,并聯(lián)連接,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,對應(yīng)于圖示的并聯(lián)聯(lián)結(jié)的組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為,其對應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式分別為,1.6

50、從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,從圖可知u1=u2=u y1+y2=y故可導(dǎo)出并聯(lián)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,因此,由上述狀態(tài)空間表達(dá)式可知,并聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。由組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為,并聯(lián)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為各并聯(lián)子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣之和,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,2. 串聯(lián)聯(lián)結(jié),兩個子系統(tǒng)可以實現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接

51、的條件是：,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,從圖可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可導(dǎo)出串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,相應(yīng)的輸出方程為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,即有,,由串聯(lián)組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可求得組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,串聯(lián)聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為串聯(lián)系統(tǒng)各子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣的

52、順序乘積應(yīng)當(dāng)注意,由于矩陣不滿足乘法交換律,故在上式中W1(s)和W2(s)的位置不能顛倒,它們的順序與它們在系統(tǒng)中的串聯(lián)聯(lián)結(jié)順序一致注：分塊矩陣的性質(zhì)：,3. 反饋聯(lián)結(jié),兩個子系統(tǒng)實現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,對應(yīng)于圖示的反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的兩個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為,其對應(yīng)的狀態(tài)空間模型分別為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,從圖可知u1=u-y2 u2=y1=y因此可導(dǎo)出反饋組合系統(tǒng)的

53、狀態(tài)空間模型為,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,即有,故反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)為子系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù)之和。,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,便可得傳遞函數(shù)陣,,其中(sI-A)-1 可這樣來計算,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,,,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,Y(s)=W1(s)U1(s)=W1(s)[U(s)-Y2(s)] =W1

54、(s)[U(s)-W2(s)Y(s)]故 [I+W1(s) )W2(s)]Y(s)=W1(s)U(s)或 Y(s)=[I+W1(s) W2(s)]-1W1(s)U(s)因此,反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s)=[I+W1(s)W2(s)]-1W1(s),還可作如下推導(dǎo),1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,U(s)=Y2(s)+U1(s)=W2(s)W1(s)U1(s)+U1(s)=[I+ W2(s

55、)W1(s)]U1(s)=[I+ W2(s)W1(s)]Y(s)故Y(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1U(s)因此,反饋聯(lián)結(jié)組合系統(tǒng)的傳遞函數(shù)又可寫為G(s)=G0(s)[I+F(s)G0(s)]-1,還可作如下推導(dǎo),1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,子系統(tǒng)并聯(lián),兩個子系統(tǒng)可以實現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,并聯(lián)后,子系統(tǒng)串聯(lián),兩個子系統(tǒng)可以實現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：,,串聯(lián)后,1.6

56、從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,,子系統(tǒng)反饋聯(lián)接,設(shè),,兩個子系統(tǒng)實現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是,,,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,1.6從狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣,反饋聯(lián)接后,1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)法也可以推廣到離散時間系統(tǒng)。在連續(xù)時間系統(tǒng)中，可以從微分方程或傳遞函數(shù)來建立狀態(tài)空間表達(dá)式。而在離散系統(tǒng)中，可以從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來建立離散狀態(tài)空間表達(dá)式。(采樣時間Ts) 設(shè)離系

57、統(tǒng)的差分方程為：,相應(yīng)地脈沖傳遞函數(shù)為：,實現(xiàn)的任務(wù)就是確定一種狀態(tài)空間表達(dá)式,式可以用方塊圖來表示，圖中z-1代表右移算子，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的積分算子。,,1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,,,,1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,系統(tǒng)的差分方程為：,設(shè)：,系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程,1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,相應(yīng)的狀態(tài)方程和輸出方程矩陣形式,,1.7離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式,基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,

58、用MATLAB軟件編程，可以方便地實現(xiàn)狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)矩陣之間的相互轉(zhuǎn)換，特別是對MIMO系統(tǒng)，只要掌握編程方法，將給定的系統(tǒng)參數(shù)按一定格式寫在程序中，運(yùn)行程序，便可獲得所要轉(zhuǎn)換的模型參數(shù)。采用MATLAB軟件進(jìn)行系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換對于系統(tǒng)（特別是MIMO系統(tǒng)）的分析與設(shè)計提供了極大的方便。,基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,設(shè)線性定常系統(tǒng)的模型如式,,,將狀態(tài)空間表達(dá)式輸入MATLAB環(huán)境,Sss=ss(A,B,C,D),基于M

59、ATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,[例] 多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,,,A =[-2 -1 -3;1 0 0;0 1 0]; %給A、B、C陣賦值B =[1; 0; 0];C =[2 3 1;1.6 1 1.2];D =[0; 0];,Sss=ss(A,B,C,D),系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣,mun表示傳遞函數(shù)矩陣的分子系數(shù)的系數(shù)矩陣den表示傳遞函數(shù)矩陣的分母系數(shù)矩陣其維數(shù)都是 mxp，系數(shù)按s降冪排列,將傳遞函數(shù)矩陣輸入MATLA

60、B環(huán)境,Stf=tf({mun},{den}),基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,[例] 某單入雙出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣,[ -5 /(s-1) ][ (s^2-5s+6)/(s^2+s) ],Stf = tf( {-5 ; [1 -5 6]} , {[1 -1] ; [1 1 0]}),基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,模型轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型,Sss=ss(Stf),轉(zhuǎn)

61、化為傳遞函數(shù)矩陣模型,Stf=tf(Sss),基于MATLAB的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換,特征值與特征向量 Eigenvalues and eigenvectors,E = eig(A),E is a vector containing the eigenvalues of a square matrix A.,[V,D] = eig(A),D is a diagonal matrix of eigenvalues,V is a full ma

62、trix whose columns are the corresponding eigenvectors,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 Jordan Canonical Form,[T,J] = jordan(A),J = T-1AT,,,,,,,,,,,,,,,現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory,第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解,引言,數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動分析的實質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨

63、輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。已知系統(tǒng)模型 系統(tǒng)的初始狀態(tài) x(0)=x0 系統(tǒng)的輸入 u(t)如何確定系統(tǒng)在任意時間t 時的狀態(tài) x(t)、輸出 y(t)？,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解,控制輸入為零時，系統(tǒng)處于由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動狀態(tài)，所以齊次方程式的解也稱自由解。令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程,求狀態(tài) x(t),對標(biāo)量一階微分方程：,初始時刻 t0=0, 則,指數(shù)函數(shù)的展開式,2.1 線性

64、定常齊次狀態(tài)方程的解,對n維狀態(tài)方程：,結(jié)論：系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程有唯一解，并具有以下形式,其中,若初始時間取為 t0≠0 則,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解,設(shè)其解是t的向量冪級數(shù),則,式中b0，b1，…，bk，都是n維向量，,證明：,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解,由對應(yīng)項系數(shù)相等關(guān)系有,令t=0，得 x(0)=b0,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解,故有：,矩陣指數(shù)函數(shù),即：,定義：,2.1 線性定常齊次狀態(tài)方程的解,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

65、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)幾個特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算,2.2 矩陣指數(shù)函數(shù)-狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,上式的物理意義是系統(tǒng)在t≥0 或t≥t0 的任一瞬時的狀態(tài) x(t)，只是初始時刻狀態(tài)向量 x0的一種變換關(guān)系。變換矩陣為eAt 或eA(t-t0) 。矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 或eA(t-t0)是一個nxn 的時間t 的矩陣函數(shù)。這意味著它使?fàn)顟B(tài)向量隨著時間的推移在不斷地作坐標(biāo)變換，即不斷在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移。因

66、此矩陣指數(shù)函數(shù) eAt 或eA(t-t0) 也稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。通常表示為：,,2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,F(t)表示為x(0)到x(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣, F(t-t0)表示為x(t0)到x(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,因此齊次狀態(tài)方程式的解也可表示為：,或,可以看出，系統(tǒng)作自由運(yùn)動時，它的運(yùn)動形態(tài)將是唯一地由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣所決定，它包含了系統(tǒng)自由運(yùn)動的全部信息。它的幾何意義，以二維狀態(tài)向量為例，表示在下圖,組合性質(zhì),2.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,2.

67、2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì),1. 性質(zhì)一,這是組合性質(zhì)，意味著從 -t 轉(zhuǎn)移到 0，再從0轉(zhuǎn)移到t的組合，即,2. 性質(zhì)二,,,狀態(tài)向量從 時刻 t又轉(zhuǎn)移到時刻t，顯然狀態(tài)向量是不變的,3. 性質(zhì)三,,這意味著轉(zhuǎn)移矩陣總是非奇異的，必有逆。利用這個性質(zhì)，可以在已知 x(t)的情況下，求出時刻t以前的x(t0) , t0<t,證明：由性質(zhì)一,現(xiàn)令 t=- t ，得,,同樣,令 t=- t ，得,從而證明了F(t)與F(-t)互

68、為逆,2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì),4. 性質(zhì)四 對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有,,證明：據(jù)定義,,由于此無窮級數(shù)對有限t值是絕對收斂的，所以可將上式兩邊對 t求導(dǎo)，有,,,,2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì),5. 性質(zhì)五 設(shè)有nxn矩陣A和B， 當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA 時，有eAteBt = e(A+B)t ， 而當(dāng)AB≠BA 時，則eAteBt ≠ e(A+B)t 。,證明：根