0-課程導(dǎo)論

1、Function of Complex Variable and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換,姜偕富 杭州電子科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 第二教學(xué)科研樓 南樓 218 Tel: 86919134Email: jiangxf@hdu.edu.cn,工程數(shù)學(xué) 課程簡介,一、復(fù)變函數(shù)的地位,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,三、復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,四、教材

2、與主要參考書,五、課程內(nèi)容,六、教學(xué)與考核方式,一、復(fù)變函數(shù)的地位,工程數(shù)學(xué),美國著名數(shù)學(xué)史家 M. Kline在其著作(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThought from Ancient to Modern Times）中指出： 從技術(shù)觀點(diǎn)來看，19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)理論。 象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。 這一豐饒的數(shù)學(xué)分支，一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾被稱為

3、抽象科學(xué)中最和諧的理論。,復(fù)變函數(shù)與積分變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,英國數(shù)學(xué)家沃利斯（J. Wallis, 1616-1703）第一個(gè)將復(fù)數(shù),a+bi 利用笛卡爾坐標(biāo)平面上的點(diǎn) a+bi 來表示，其后又有很多人獨(dú)立完善了沃利斯的表示方法。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,到了十八世紀(jì)，虛數(shù)才開始被關(guān)注起來。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)

4、展歷史,十八世紀(jì)末，高斯使得復(fù)數(shù)的地位被確立下來。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,高斯和哈密頓（W.R. Hamilton, 1805-1865）分別在1831和1837年定義復(fù)數(shù) a+bi 為一對實(shí)數(shù) (a, b)。因此，復(fù)數(shù)可以用一對實(shí)數(shù)來處理算術(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)理論轉(zhuǎn)變?yōu)橐粚?shí)數(shù)的理論。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論開始形成，并逐漸發(fā)展成一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支。柯西、維爾斯特拉斯和黎曼在奠定了復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)?？挛?/p>

5、和維爾斯特拉斯應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究了復(fù)變函數(shù)的映射(幾何)性質(zhì)。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,十八世紀(jì)，達(dá)朗貝爾和歐拉等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義，澄清了復(fù)數(shù)概念，并應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的問題。此后人們才逐漸接受了復(fù)數(shù)，復(fù)變函數(shù)論才能順利的建立和發(fā)展。,柯西將一個(gè)復(fù)變函數(shù) f(z) 視為復(fù)數(shù) z 的一元函數(shù)來研究。1814年柯西定義的正則函數(shù)（解析函數(shù)）要求 f(z) 的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。,二、復(fù)變函數(shù)

6、與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,1900年，法國數(shù)學(xué)家古薩（E. Goursat, 1858-1936）免去了導(dǎo)數(shù)必須連續(xù)的條件，建立了柯西-古薩基本定理。,盡管柯西-黎曼方程（C-R方程）早在1746年就已出現(xiàn)，但是由于柯西在復(fù)積分方面的貢獻(xiàn)以及他建立了系統(tǒng)的理論，人們還是認(rèn)為柯西是復(fù)分析的創(chuàng)始人。,二十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，瑞典數(shù)學(xué)家列夫勒（維爾斯特拉斯的學(xué)生）、法國數(shù)學(xué)家龐加萊、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅?/p>

7、的研究工作，開拓了復(fù)變函數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。1930年代，多復(fù)變函數(shù)研究迎來初步繁榮，出現(xiàn)了嘉當(dāng)關(guān)于全純自同構(gòu)的惟一性定理、有界域全純自同構(gòu)群的李群性質(zhì)及全純域與全純凸的等價(jià)性的嘉當(dāng)－蘇倫定理。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,1936年開始，日本數(shù)學(xué)家岡潔對庫辛問題、列維問題、逼近問題等多復(fù)變的中心問題進(jìn)行了長期、系統(tǒng)而富有成效的研究，對多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展有著重大影響。1

8、950年代是多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展的黃金時(shí)代，數(shù)學(xué)家們通過拓?fù)浞椒ê蛶缀畏椒ㄑ芯咳兒瘮?shù)的整體性質(zhì)。嘉當(dāng)、勒雷、施泰因等建立了凝聚解析層和復(fù)空間理論，格勞爾特解決了復(fù)流形等問題。,1930年代開始，我國數(shù)學(xué)家在單復(fù)變和多復(fù)變函數(shù)方面做過不少重要工作：1940-1950年代，華羅庚關(guān)于多復(fù)變函數(shù)典型域上調(diào)和分析的研究，在調(diào)和分析、復(fù)分析、微分方程等研究中，有廣泛深入的影響；1970年代，楊樂、張廣厚在單復(fù)變函數(shù)的值分布的漸近值理論中取得首創(chuàng)成果

9、。,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,二、復(fù)變函數(shù)與積分變換的發(fā)展歷史,積分變換就是通過參變量的積分 將一個(gè)已知函數(shù) f(x) 變換為另一個(gè)函數(shù) F(s)。積分變換理論在數(shù)學(xué)理論的多個(gè)分支，及力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、信號處理、自動(dòng)控制等許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。1880-1887年，英國電氣工程師海維賽德（O. Heaviside）為了解決電工計(jì)算中的微分方程，用算子將微分方程變換為代數(shù)方程，成為

10、拉普拉斯變換的先驅(qū)。后來人們在拉普拉斯的著作中找到了依據(jù)，取名拉普拉斯變換。最重要的積分變換有傅里葉變換、拉普拉斯變換，除此還有梅林變換和漢克爾變換等。傅里葉變換將時(shí)域或空間域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號；拉普拉斯變換則將信號從時(shí)域轉(zhuǎn)換到復(fù)頻域上表示。,用于計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分，如 法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（J. Hadamard，1865-1963）說: 實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過復(fù)域。,三、復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用,(

11、3) 用于求解偏微分方程，如,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,(5) 用于計(jì)算滲流等問題，如：大壩、鉆井的浸潤曲線,對其他數(shù)學(xué)學(xué)科的影響　 深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。例如：高斯應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論證明了代數(shù)基本定理，建立了代數(shù)方程的普遍理論。,(4) 用于流體的平面平行流動(dòng)等問題,(6) 應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力和力矩等,(7) 應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場強(qiáng)度 例如

12、：熱爐中溫度的計(jì)算,俄羅斯航空之父茹可夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)時(shí)，用復(fù)變函數(shù)論的共形映射(第六章)解決機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)/航空力學(xué)方面也做出重要貢獻(xiàn)。,(8) 洛朗級數(shù)應(yīng)用于數(shù)字信號處理 用洛朗級數(shù)(第四章)直接寫出離散數(shù)字信號的 Z 變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,(9) 輻角原理和共形映射應(yīng)用于自動(dòng)控制 將輻角原理(第五章)用于自動(dòng)控制中線性系統(tǒng)的頻域分析，建立Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)

13、；利用共形映射(第六章)中的分式線性映射研究線性離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,(11) Fourier 變換用于頻譜分析、自動(dòng)控制和信號處理等,(10) 復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ),積分變換在許多領(lǐng)域被廣泛地應(yīng)用，如電力工程、通信和自動(dòng)控制領(lǐng)域以及信號分析、圖象處理和其他許多數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域。,頻譜分析是對各次諧波的頻率、振幅、相位間的關(guān)系進(jìn)行分析。在自動(dòng)控制中，輸出的傅氏變換比輸入的傅氏變換就是系統(tǒng)的頻率特性。隨著計(jì)算機(jī)發(fā)展

14、，語音、圖象等信號，在頻域中的處理方便得多，如快速傅立葉變換。,(12) Laplace 變換用于自動(dòng)控制等問題,在自動(dòng)控制問題中，傳遞函數(shù)是輸出的Laplace變換與輸入的Laplace變換之比。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,四、教材與參考書,教材： 復(fù)變函數(shù)（第四版）. 西安交通大學(xué). 高等教育出版社, 1996 積分變換（第五版）. 張?jiān)? 高等教育出版社, 2012主要參考書 1. 復(fù)變函

15、數(shù)論（第三版）. 鐘玉泉. 高等教育出版社, 20042. 復(fù)變函數(shù)論（第四版）. 余家榮. 高等教育出版社, 20073. 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版）. 蓋云英等. 科學(xué)出版社, 20074. 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第三版）. 華中科技大學(xué). 高等教育出版社, 20085. Complex Variables and Applications (8th Ed.). J. W. Brown, R. V. Churchill. M

16、cGraw-Hill, 2007.6. Functions of One Complex Variable (2nd Ed.). J. B. Conway. Springer, 1993,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,五、教學(xué)內(nèi)容,本課程由復(fù)變函數(shù)與積分變換兩個(gè)部分組成。,復(fù)變函數(shù)的內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù),變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射。,其中，部分帶 “*” 號的內(nèi)容本課堂不需要掌握。,積分變換的內(nèi)容包括：Fou

17、rier變換、Laplace變換。,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,本課程的主要內(nèi)容,1 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),2 解析函數(shù),3 復(fù)變函數(shù)的積分,4 級數(shù),5 留數(shù),6 共形映射,7 Fourier變換,五、教學(xué)內(nèi)容,8 Laplace變換,工程數(shù)學(xué),復(fù)變函數(shù)與積分變換,六、教學(xué)及考核方式,考試方式： 閉卷,課程成績： 平時(shí)成績占 20-30% 考試成績占 70-80%,作業(yè)