2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、單純形法進一步討論,竇志武,云南財經(jīng)大學 物流學院,單純形法的進一步討論-人工變量法,人工變量法:前面討論了在標準型中系數(shù)矩陣有單位矩陣,很容易確定一組基可行解。在實際問題中有些模型并不含有單位矩陣,為了得到一組基向量和初基可行解,在約束條件的等式左端加一組虛擬變量,得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量,構成的可行基稱為人工基,用大M法或兩階段法求解,這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。,例: min z=2x1+

2、3x2 max z=-2x1-3x2+0x3 s.t x1+x2? 3 標準化 s.t x1+x2 -x3=3 x1+2x2 = 4 ? x1+2x2=4 x1?0, x2?0 xj?0, (j=1,2,3,4),,,m

3、ax z=-2x1-3x2+0x3 -M x4-M x5 s.t x1+x2 -x3+ x4 =3 x1+2x2 +x5 =4 xj?0, (j=1,2,3,4,5),,引進人工變量,及M——非常大正系數(shù),模型轉變?yōu)?這種處理方法稱為大M法,以下則

4、可完全按單純形法求解。,1.大M法,單純形法的進一步討論-人工變量法,單純形法的進一步討論-人工變量法,例1.10 用大M法解下列線性規(guī)劃,解:首先將數(shù)學模型化為標準形式,系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣,無法建立初始單純形表。,單純形法的進一步討論-人工變量法,故人為添加兩個單位向量,得到人工變量單純形法數(shù)學模型:,其中:M是一個很大的抽象的數(shù),不需要給出具體的數(shù)值,可以理解為它能大于給定的任何一個確定數(shù)值;再用前面介紹的單純形法求解該模型

5、,計算結果見下表。,單純形法的進一步討論-人工變量法,,,→,→,,→,單純形法的進一步討論-人工變量法,例1.11 用大M法解下列線性規(guī)劃,解:首先將數(shù)學模型化為標準形式,系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣,無法建立初始單純形表。,單純形法的進一步討論-人工變量法,故人為添加兩個單位向量,得到人工變量單純形法數(shù)學模型:,其中:M是一個很大的抽象的數(shù),不需要給出具體的數(shù)值,可以理解為它能大于給定的任何一個確定數(shù)值;再用前面介紹的單純形法求解該模

6、型,計算結果見下表。,單純形法的進一步討論-人工變量法,,,→,,→,,單純形法的進一步討論-人工變量法,,→,,單純形法的進一步討論-兩階段法,用計算機處理數(shù)據(jù)時,只能用很大的數(shù)代替M,可能造成計算機上的錯誤,故多采用兩階段法。,第一階段: 在原線性規(guī)劃問題中加入人工變量,構造如下模型:,對上述模型求解(單純形法),若ω=0,說明問題存在基可行解,可以進行第二個階段;否則,原問題無可行解,停止運算。,單純形法的進一步討論-兩階段

7、法,第一階段的線性規(guī)劃問題可寫為:,第一階段單純形法迭代的過程見下表,單純形法的進一步討論-兩階段法,,,→,,→,,單純形法的進一步討論-兩階段法,第二階段: 在第一階段的最終表中,去掉人工變量,將目標函數(shù)的系數(shù)換成原問題的目標函數(shù)系數(shù),作為第二階段計算的初始表(用單純形法計算)。,例:,單純形法的進一步討論-兩階段法,,,→,第二階段:,∴最優(yōu)解為(4 1 9 0 0),目標函數(shù) Z = 2,單純形法的進一步

8、討論,通過大M法或兩階段法求初始的基本可行解。但是如果在大M法的最優(yōu)單純形表的基變量中仍含有人工變量,或者兩階段法的輔助線性規(guī)劃的目標函數(shù)的極小值大于零,那么該線性規(guī)劃就不存在可行解。,無可行解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,-3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1

9、x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,θ,0-M-M,x4x7x8,643,1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0

10、 0 -1 0 1,6/1-3/1,Z,-7M,-6-4M,-15-M,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0-M-2,x4x7x2,343,1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1

11、 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1,3/14/1-,Z,Z,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3-M-2,x1x7x2,313,1 0 2 1 0 1

12、0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1,,,例,單純形法的進一步討論,運算到檢驗數(shù)全負為止,仍含有人工變量,無可行解。,單純形法的進一步

13、討論,無最優(yōu)解與無可行解時兩個不同的概念。 無可行解是指原規(guī)劃不存在可行解,從幾何的角度解釋是指 線性規(guī)劃問題的可行域為空集; 無最優(yōu)解則是指線性規(guī)劃問題存在可行解,但是可行解的目 標函數(shù)達不到最優(yōu)值,即目標函數(shù)在可行域內可以趨于無窮大(或者無窮小)。無最優(yōu)解也稱為有限最優(yōu)解,或無界解。 判別方法:無最優(yōu)解判別定理  在求解極大化的線性規(guī)劃問題過程中,若某單純形表的檢驗 行存在某個大于零的檢驗數(shù),但是該檢驗數(shù)所

14、對應的非基變量 的系數(shù)列向量的全部系數(shù)都為負數(shù)或零,則該線性規(guī)劃問題 無最優(yōu)解,無最優(yōu)解,因 但 所以原問題無最優(yōu)解,單純形法的進一步討論,退化,即計算出的 θ(用于確定換出變量)存在有兩個以上相同的最小比值,會造成下一次迭代中由一個或幾個基變量等于零,這就是退化(會產生退化解)。 為避免出現(xiàn)計算的循環(huán),勃蘭特(Bland)提出一個簡便有效的規(guī)則(攝動法原理

15、): ⑴ 當存在多個 時,選下標最小的非基變量為換入變量;(2) 當θ值出現(xiàn)兩個以上相同的最小值時,選下標最小的基變量為換出變量。,單純形法的進一步討論,無窮多最優(yōu)解,若線性規(guī)劃問題某個基本可行解所有的非基變量檢驗數(shù)都小于等于零,但其中存在一個檢驗數(shù)等于零,那么該線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。例3:最優(yōu)表:非基變量檢驗數(shù)   ,所以有無窮多最優(yōu)解。,單純形法的進一步討論,單純形法的進一

16、步討論,解的判別:1)唯一最優(yōu)解判別:最優(yōu)表中所有非基變量的檢驗數(shù)非零,則線性規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。2)多重最優(yōu)解判別:最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗數(shù)為零,則線性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解(或無窮多最優(yōu)解)。3)無界解判別:某個 k>0且aik≤0(i=1,2,…,m)則線性規(guī)劃具有無界解。4)無可行解的判斷:當用大M單純形法計算得到最優(yōu)解并且存在Ri>0時,則表明原線性規(guī)劃無可行解。5)退化解的判別:存在某個基變量為零的

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