統(tǒng)計(jì)學(xué)一元線性回歸課后習(xí)題答案

1、一元線性回歸課后習(xí)題講解,--------第九組,11.1 從某一行業(yè)中隨機(jī)抽取12家企業(yè)，所得產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的數(shù)據(jù)如下：,產(chǎn)量和費(fèi)用存在正的線性相關(guān)系數(shù),（1）繪制產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)。,r=0.9202,2）計(jì)算產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的線性相關(guān)系數(shù)。,1、提出假設(shè)：H0：? ? ? ；H1：? ? 0,2、計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,,根據(jù)顯著性水平?＝0.05，查t分布表得t???(n-2)=2.2281由于?t?=7

2、.435453>t???(12-2)=2.2281，拒絕H0，產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間存在著顯著的正線性相關(guān)關(guān)系,（3）對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)（ ?＝0.05),并說(shuō)明二者之間的關(guān)系強(qiáng)度。,t???(12-2)=2.2281,11.2 學(xué)生在期末考試之前用于復(fù)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）和考試分?jǐn)?shù)（單位：分）之間是否有關(guān)系？為研究這一問(wèn)題，一位研究者抽取了由8名學(xué)生構(gòu)成的一個(gè)隨機(jī)樣本，取得的數(shù)據(jù)如下：,復(fù)習(xí)時(shí)間和考試分?jǐn)?shù)存在正的線性相關(guān)關(guān)

3、系,要求：（1）繪制復(fù)習(xí)時(shí)間和考試分?jǐn)?shù)的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)。,r=0.8621,（2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。,11.3、根據(jù)一組數(shù)據(jù)建立的線性回歸方程 要求：1）解釋截距 的意義。1）解釋斜率 的意義。2）當(dāng)=6時(shí)的E（y）1）表示在沒(méi)有自變量X的影響時(shí)其他各種因素對(duì)因變量Y的影響為102）斜率的意義在于：自變量X變化對(duì)Y影響程度?；貧w方程中，當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y將減

4、少0.5個(gè)單位。3）x=6時(shí)，代入方程，則，y=10-0.5 6=7,,,11.4 設(shè)SSR=36，SSE=4，n=18要求：1）計(jì)算判定系數(shù)R^2并解釋其意義回歸直線對(duì)觀測(cè)值的擬合程度為0.9，說(shuō)明變量Y的變異性中有90%是由自變量x引起的。2）計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差 并解釋其意義,表示實(shí)際值與估計(jì)值之間的差異程度是0.5,11.5一家物流公司的管理人員想研究貨物的運(yùn)輸距離和運(yùn)輸時(shí)間的關(guān)系，為此，他抽出了公司最近10

5、個(gè)卡車的運(yùn)貨記錄的隨機(jī)樣本，得到運(yùn)送距離（單位：km）和運(yùn)送時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：,(1)繪制運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)(2)計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。(3)利用最小二乘法求出估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。,根據(jù)圖表顯示，二者可能存在正線性相關(guān)關(guān)系,(1)繪制運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài),x與y的簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)是0.9489，兩變量之間呈現(xiàn)高度正相關(guān)

6、關(guān)系,(2)計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度,最小二乘估計(jì)：y = ?0+ ?1 x,將表中數(shù)據(jù)代入公式得：,∴y=0.118129 + 0.003585x,(3)利用最小二乘法求出估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。,^,^,^,y關(guān)于x的回歸方程為y=0.118129 + 0.003585x表示運(yùn)輸距離每增加1公里，運(yùn)送時(shí)間平均增加 0.003585天。,11.6 下面是7個(gè)地區(qū)2000年的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GD

7、P）和人均消費(fèi)水平的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：,要求： (1)人均GDP作自變量，人均消費(fèi)水平作因變量，繪制散點(diǎn)圖，并說(shuō)明二者之間的關(guān)系形態(tài)。,,產(chǎn)量和生產(chǎn)費(fèi)用之間存在著正的線性相關(guān)關(guān)系,(2)計(jì)算兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的關(guān)系強(qiáng)度。,說(shuō)明兩個(gè)變量之間高度相關(guān),(3)利用最小二乘法求出估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義。,y = 734.6928 + 0.308683x,回歸系數(shù)的含義：人均GDP每增加1元，人均消費(fèi)增加0

8、.309元。,(4)計(jì)算判定系數(shù)，并解釋其意義。,人均GDP對(duì)人均消費(fèi)的影響達(dá)到99.6%。,(5)檢驗(yàn)回歸方程線性關(guān)系的顯著性(a=0.05)。,提出假設(shè)H0：?1=0 人均消費(fèi)水平與人均GDP之間的線性關(guān)系不顯著計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F,確定顯著性水平?=0.05，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度7-2找出臨界值F ?=6.61作出決策：若F>F ?,拒絕H0，線性關(guān)系顯著,(6)如果某地區(qū)的人均GDP為5 000元，預(yù)測(cè)其人均

9、消費(fèi)水平。,某地區(qū)的人均GDP為5 000元，預(yù)測(cè)其人均消費(fèi)水平為2278.1078元。,(7)求人均GDP為5 000元時(shí)，人均消費(fèi)水平95％的置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間。,解：已知n=7，t???(7-2)=2.5706 置信區(qū)間為,人均GDP為5 000元時(shí)，人均消費(fèi)水平95％的置信區(qū)間為[1990.74

10、915，2565.46399],1990.74915<E(y)2565.46399,解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=7，t???(7-2)=2.5706 預(yù)測(cè)區(qū)間為,人均GDP為5 000元時(shí)，人均消費(fèi)水平95％的預(yù)測(cè)區(qū)間為[1580.46315，2975.74999]。,11.7隨機(jī)抽取10家航空

11、公司，對(duì)其近一年的航班正點(diǎn)率和顧客投訴次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下,二者之間為負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系,1）繪制散點(diǎn)圖，說(shuō)明二者之間的股息形態(tài),回歸系數(shù) =-4.7表示航班正點(diǎn)率每增加1%顧客投訴次數(shù)平均下降4.7次。,2）用航班正點(diǎn)率作自變量，建立估計(jì)的回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的意義,t=4.7684>t???=2.201，拒絕H0，回歸系數(shù)顯著,提出假設(shè) H0：b1 = 0 H1：b1 ? 0 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量,3）檢驗(yàn)

12、回歸系數(shù)的顯著性（a=0.05）,=2.201,解：已知n=10，t???(10-2)=2.306 置信區(qū)間為,計(jì)算得,4）如果航班正點(diǎn)率為80%，估計(jì)顧客投訴次數(shù),5）求航班正點(diǎn)率為80%，顧客投訴次數(shù)95%的置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間,已知n=10，t???(10-2)=2.306

13、 預(yù)測(cè)區(qū)間為,計(jì)算得,11.8 下面是20個(gè)城市寫(xiě)字樓出租率和每平方米月租金的數(shù)據(jù)。設(shè)月租金為自變量，出租率為因變量，用excel進(jìn)行回歸，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋和分析。,11.9 某汽車生產(chǎn)商欲了解廣告費(fèi)用(x)對(duì)銷售量(y)的影響，收集了過(guò)去12年的有關(guān)數(shù)據(jù)。通過(guò)計(jì)算得到下面的有關(guān)結(jié)果：,方差分析表,參數(shù)估計(jì)表,(1)完成上面的方

14、差分析表。,SSR=SST-SSE= 1642866.67-40158.07=1602708.6MSR=SSR/1= 1602708.6MSE=SSE/10= 4015.807F=MSR/MSE=399.1000065,(2)汽車銷售量的變差中有多少是由于廣告費(fèi)用的變動(dòng)引起的?,汽車銷售量的變差中有97.56%是由于廣告費(fèi)用的變動(dòng)引起的,(3)銷售量與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)是多少?,(4)寫(xiě)出估計(jì)的回歸方程并解釋回歸系數(shù)的實(shí)際意義

15、。,回歸系數(shù)的意義：廣告費(fèi)用每增加一個(gè)單位，汽車銷量就增加1.42個(gè)單位。,(5)檢驗(yàn)線性關(guān)系的顯著性(a＝0.05)。,p=2.17E—09＜α，顯著。,11.10根據(jù)下面的數(shù)據(jù)建立回歸方程，計(jì)算殘差，判定R^2，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差se，并分析回歸方程的擬合程度。,殘差,估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差se,本題判定系數(shù)R^2=0.937348，可以看出擬合程度好。,判定R^2,11.11 從20的樣本中得到的有關(guān)回歸結(jié)果是：SSR=60，SSE=40。

16、要檢驗(yàn)x與y之間的線性關(guān)系是否顯著，即檢驗(yàn)假設(shè)：,。,(1)線性關(guān)系檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F值是多少?,解：（1）SSR的自由度為1；SSE的自由度為n-2=18； F=,=,=27,(2)給定顯著性水平a＝0.05，F(xiàn)a是多少?,,=,=4.41,(3)是拒絕原假設(shè)還是不拒絕原假設(shè)?,拒絕原假設(shè)，線性關(guān)系顯著。,(4)假定x與y之間是負(fù)相關(guān)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r,r=,=,=0.7746,由于是負(fù)相關(guān)，因此r=-0.77

17、46,(5)檢驗(yàn)x與y之間的線性關(guān)系是否顯著?,從F檢驗(yàn)看線性關(guān)系顯著。,F=,27,=4.41,11.12從n=20的樣本中得到的有關(guān)回歸結(jié)果是： y=5+3x， =1 =2，,要求1）當(dāng)x=4時(shí)，構(gòu)建y的平均值的95%的置信區(qū)間,^,,2）當(dāng)x=4時(shí)，構(gòu)建y的平均值的95%的預(yù)測(cè)區(qū)間,11.13 一家公司擁有多家子公司，公司的管理者想通過(guò)廣告支出來(lái)估計(jì)銷售收入，為此抽取了8家子公司，得到廣告支出

18、和銷售收入的數(shù)據(jù)如下（單位：萬(wàn)元）,建立線性回歸模型，當(dāng)x=40萬(wàn)元時(shí)，構(gòu)建銷售收入95%的置信區(qū)間。,y0=-46.2918+15.23977x當(dāng)x=40萬(wàn)元時(shí) E（y0）=-46.2918+15.23977*40=563.299tα/2=t0.025(6)=2.4469,置信區(qū)間為[441.559 , 685.039],11.14從兩個(gè)回歸分析中得到的殘差如下：,繪制殘差圖，你會(huì)得出什么結(jié)論。,回歸1 ：,觀察圖像可以看出，殘

19、差值基本上集中在兩條平行線之間，表明對(duì)于所有值，方差都相同，所以認(rèn)定其假定描述變量x和y之間關(guān)系的回歸模型是合理的。,回歸2：,對(duì)于不同的x值殘差相差也較大，且其殘差值基本上集中在兩條曲線之間，這就意味著其違背了方差相等的，表明所選擇的回歸模型不合理，應(yīng)該考慮曲線回歸或多元回歸。,11.15 隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告費(fèi)支出和銷售額數(shù)據(jù)如下：,11.15 隨機(jī)抽取7家超市，得到其廣告費(fèi)支出和銷售額數(shù)據(jù)如下：,解：（1）,(1)

20、用廣告費(fèi)支出作自變量x，銷售額作因變量y，求出估計(jì)的回歸方程。,（2）回歸直線的F檢驗(yàn)：,顯著。,(2)檢驗(yàn)廣告費(fèi)支出與銷售額之間的線性關(guān)系是否顯著(a＝0.05)。,廣告費(fèi)支出與銷售額之間的線性關(guān)系顯著,顯著。,回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)：,(3)繪制關(guān)于x的殘差圖，你覺(jué)得關(guān)于誤差項(xiàng)的假定被滿足了嗎?,3).大約有95%的標(biāo)準(zhǔn)化殘差在-2~2之間表明誤差項(xiàng)假定的條件成立。從圖中可以看出不滿足這個(gè)條件，所以關(guān)于誤差項(xiàng)的假定沒(méi)有被滿足。,(4)你