有限元答案

1、1.1有限單元法中“離散”的含義是什么？有限單元法是如何將具有無限自由度的連續(xù)介質(zhì)問題轉(zhuǎn)變成有限自由度問題的？位移有限元法的標(biāo)準(zhǔn)化程式是怎樣的？（1）離散的含義即將結(jié)構(gòu)離散化，即用假想的線或面將連續(xù)體分割成數(shù)目有限的單元，并在其上設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)；用這些單元組成的單元集合體代替原來的連續(xù)體，而場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值將成為問題的基本未知量。（2）給每個(gè)單元選擇合適的位移函數(shù)或稱位移模式來近似地表示單元內(nèi)位移分布規(guī)律，即通過插值以單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元

2、內(nèi)任意點(diǎn)的位移。因節(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)是有限的，故無限自由度問題被轉(zhuǎn)變成了有限自由度問題。（3）有限元法的標(biāo)準(zhǔn)化程式：結(jié)構(gòu)或區(qū)域離散，單元分析，整體分析，數(shù)值求解。1.3單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有哪些性質(zhì)？各自的物理意義是什么兩者有何區(qū)別單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：對(duì)稱性、奇異性（單元?jiǎng)偠染仃嚨男辛惺綖榱悖?。整體剛度矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱性、奇異性、稀疏性。單元Kij物理意義Kij即單元節(jié)點(diǎn)位移向量中第j個(gè)自由度發(fā)生單位位移而其他位移分量為零時(shí)，在第j個(gè)

3、自由度方向引起的節(jié)點(diǎn)力。整體剛度矩陣K中每一列元素的物理意義是：要迫使結(jié)構(gòu)的某節(jié)點(diǎn)位移自由度發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有個(gè)節(jié)點(diǎn)上需要施加的節(jié)點(diǎn)荷載。2.2什么叫應(yīng)變能？什么叫外力勢(shì)能？試敘述勢(shì)能變分原理和最小勢(shì)能原理，并回答下述問題：勢(shì)能變分原理代表什么控制方程和邊界條件？其中附加了哪些條件？(1)在外力作用下，物體內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力σ和應(yīng)變?chǔ)?，外力所做的功將以變形能的形式?chǔ)存起來，這種能量稱為應(yīng)變能。(2)外力

4、勢(shì)能就是外力功的負(fù)值。(3)勢(shì)能變分原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢(shì)能泛函取駐值，即勢(shì)能的變分為零δΠp=δUεδV=0此即變分方程。對(duì)于線性彈性體，勢(shì)能取最小值，即δ2ΠP=δ2Uεδ2V≧0此時(shí)的勢(shì)能變分原理就是著名的最小勢(shì)能原理。勢(shì)能變分原理代表平衡方程、本構(gòu)方程和應(yīng)力邊界條件，其中附加了幾何方程和位移邊界條件。2.3什么是強(qiáng)形式？什么是弱形式？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是

5、什么？等效積分形式通過分部積分，稱式∫ΩCT(v)D(u)dΩ∫ΓET(v)F(u)dΓ為微分方程的弱形式，相對(duì)而言，定解問題的微分方程稱為強(qiáng)形式。區(qū)別：弱形式得不到解析解。建立弱形式的關(guān)鍵步驟：對(duì)場(chǎng)函數(shù)要求較低階的連續(xù)性。2.4為了使計(jì)算結(jié)果能夠收斂于精確解，位移函數(shù)需要滿足哪些條件？為什么？只要位移函數(shù)滿足兩個(gè)基本要求，即完備性和協(xié)調(diào)性，計(jì)算結(jié)果便收斂于精確解。2.6為什么采用變分法求解通常只能得到近似解？變分法的應(yīng)用常遇到什么困難

6、？Ritz法收斂的條件是什么？（1）在Ritz法中，N決定了試探函數(shù)的基本形態(tài)，待定參數(shù)使得場(chǎng)函數(shù)具有一定的任意性。如果真實(shí)場(chǎng)函數(shù)包含在試探函數(shù)之內(nèi)，則變分法得到的解答是精確的；如果試探函數(shù)取自完全的函數(shù)序列，則當(dāng)項(xiàng)數(shù)不斷增加時(shí)，近似解將趨近于精確解。然而，通常情況下試探函數(shù)不會(huì)將真實(shí)場(chǎng)函數(shù)完全包含在內(nèi)，實(shí)際計(jì)算時(shí)也不可能取無窮多項(xiàng)。因此，試探函數(shù)只能是真實(shí)場(chǎng)函數(shù)的近似?？梢?，變分法就是在某個(gè)假定的范圍內(nèi)找出最佳解答，近似性就源于此。（

7、2）采用變分法近似求解，要求在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)預(yù)先給出滿足邊界條件的場(chǎng)函數(shù)。通常情況下這是不可能的，因而變分法的應(yīng)用受到了限制。（3）Ritz法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性的要求，當(dāng)試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)趨近于無窮時(shí)，則Ritz法的近似解將趨近于數(shù)學(xué)微分方程的精確解。3.1構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項(xiàng)式，其中的待定常數(shù)應(yīng)該與單元節(jié)

8、點(diǎn)自由度數(shù)相等。為滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式，即完全一次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。若由于項(xiàng)數(shù)限制而不能選取完全多項(xiàng)式時(shí)，也應(yīng)使完全多項(xiàng)式具有坐標(biāo)的對(duì)稱性，并且一個(gè)坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項(xiàng)式的次數(shù)。有時(shí)為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項(xiàng)式，可在單元內(nèi)部配置節(jié)點(diǎn)。然而，這種節(jié)點(diǎn)的存在將增加有限元格式和計(jì)算上的復(fù)雜性，除非不得已才加以采用。形函數(shù)應(yīng)保證用它定義的位移函

9、數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性條件。3.1構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？試采用構(gòu)造單元的幾何方法，構(gòu)造T10單元的形函數(shù)，并對(duì)其收斂性進(jìn)行討論。通常單元位移函數(shù)采用多項(xiàng)式，其中的待定常數(shù)由節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)確定，因此其個(gè)數(shù)應(yīng)與單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。根據(jù)實(shí)體結(jié)構(gòu)的幾何方程，單元的應(yīng)變是位移的一次導(dǎo)數(shù)。為了反映單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變即滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，即完全一次多項(xiàng)式。3.3何謂面積坐標(biāo)？其特點(diǎn)是什么？為什

10、么稱其為自然坐標(biāo)或局部坐標(biāo)？（1）三角形單元中，任一點(diǎn)P(xy)與其3個(gè)角點(diǎn)相連形成3個(gè)子三角形其位置可以用下述稱為面積坐標(biāo)的三個(gè)比值來確定：L1=A1AL2=A2AL3=A3A其中A1A2A3分別為P23P31P12的面積。（2）面積坐標(biāo)的特點(diǎn)：aT3單元的形函數(shù)Ni就是面積坐標(biāo)Lib面積坐標(biāo)與三角形在整體坐標(biāo)系中的位置無關(guān)。8.2何謂平板型殼單元？在分析這種單元時(shí)都做了哪些假設(shè)？應(yīng)用平板型殼單元可能會(huì)出現(xiàn)什么問題，如何解決？簡(jiǎn)述形成

11、平板型殼單元?jiǎng)偠染仃嚨幕舅悸?。將殼體劃分為有限個(gè)單元，它們都是曲面單元。但是，當(dāng)網(wǎng)格足夠小時(shí)，殼塊將足夠扁平，可近似地視為平板單元，它們拼成的折板體系可近似代替原來的光滑殼體結(jié)構(gòu)，每一個(gè)足夠小的網(wǎng)格就稱為平板型殼單元。假設(shè)：（1）理論假設(shè)：薄殼發(fā)生微笑變形時(shí)，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形，且認(rèn)為直法線假設(shè)成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線。（2）折板假設(shè)（3）非耦合假設(shè)。出現(xiàn)的問題：1。單元共面問題整體剛度矩陣∥k∥=0

12、.2.虛擬旋轉(zhuǎn)剛度為排除∥k∥=0.而無法求解的困難，可在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立上述特殊節(jié)點(diǎn)，（交于某節(jié)點(diǎn)的所有單元都位于同一平面內(nèi)）的平衡方程，并刪去Qz方向的平衡方程0=0，另采用在這些特殊節(jié)點(diǎn)上給以任意的虛擬剛度系數(shù)KQ2Qz=0。經(jīng)坐標(biāo)變換，整體坐標(biāo)于該節(jié)點(diǎn)平衡方程條件有唯一解。3新型平面膜單元采用虛擬旋轉(zhuǎn)剛度零判斷是否單元共面，故增加編程復(fù)雜性，在平面膜元角上增加旋轉(zhuǎn)自由度Qz使其有對(duì)應(yīng)的剛度。8.3面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假

13、設(shè)是針對(duì)什么提出的？試說明單元組裝時(shí)，面內(nèi)效應(yīng)與彎曲效應(yīng)兩者的耦合將會(huì)出現(xiàn)。面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設(shè)是針對(duì)局部坐標(biāo)系下的單元提出的。9.1減少問題自由度的措施有哪些？各自的基本概念如何？恰當(dāng)?shù)睦媒Y(jié)構(gòu)的對(duì)稱性、采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)等，可以使求解方程組上的自由度數(shù)大為降低。結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性：假想地將結(jié)構(gòu)沿其中的某平面對(duì)折，若兩部分的形狀、材料性質(zhì)和約束條件完全重合，則稱該平面為對(duì)稱面，稱該結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。若荷載隨結(jié)構(gòu)對(duì)折后相互重合，則稱為

14、對(duì)稱荷載；若須將對(duì)稱面某一邊的荷載改變正負(fù)號(hào)后才與另一邊的荷載重合，則稱為反對(duì)稱荷載。子結(jié)構(gòu)技術(shù)：在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析中，可將原結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域，每個(gè)區(qū)域作為一個(gè)子結(jié)構(gòu)，這些子結(jié)構(gòu)在其公共邊界上互相連接起來。結(jié)構(gòu)計(jì)算可分幾步進(jìn)行：首先逐個(gè)分析各子結(jié)構(gòu)，并凝聚掉各自的內(nèi)部自由度；然后把全部子結(jié)構(gòu)組合起來進(jìn)行整體分析，從而得到總體求解方程。采用子結(jié)構(gòu)法的關(guān)鍵之處在于，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的自由度在子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣形成以后可以凝聚掉，因此子結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)

15、上是具有內(nèi)部自由度的超單元。9.3為什么說位移法中應(yīng)力解的精度低于位移解？如何改善等參單元的應(yīng)力結(jié)果？如何改善常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)力結(jié)果？在位移有限單元法中，位移沿單元邊界是連續(xù)的，而位移的導(dǎo)數(shù)通常是不連續(xù)的，因此在單元邊界上應(yīng)力是不連續(xù)的；基本未知量是位移，而單元應(yīng)變和應(yīng)力是由位移求導(dǎo)得到的，因此應(yīng)力的精度要比位移的精度低。對(duì)于等參單元的應(yīng)力，采用單元內(nèi)應(yīng)力修勻或分片應(yīng)力修勻。對(duì)于三角形常應(yīng)變單元，通常采用應(yīng)力平均的方法處理計(jì)算結(jié)果。

16、9.4在無法獲得精確解的條件下，如何進(jìn)行誤差估計(jì)？試說明這樣做的合理性？由于無法獲得精確解，故一般是以修勻后的改進(jìn)值作為“精確解”來進(jìn)行誤差估計(jì)。通過與精確值誤差范數(shù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)這樣做是非常有效的。9.6什么是階譜單元？階譜單元（hierarchicalelement）就是在低階單元形函數(shù)不變的情況下，構(gòu)造新增節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，從而增加形函數(shù)的階次。25、有限元法的基本思想：有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元，每個(gè)單元的場(chǎng)函數(shù)只包含有限個(gè)待定節(jié)

17、點(diǎn)參量的簡(jiǎn)單場(chǎng)函數(shù)，這些單元場(chǎng)函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場(chǎng)函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)參量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。26、構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項(xiàng)式，其中的待定常數(shù)應(yīng)該與單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。為滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式，即完全一次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項(xiàng)式以提高單元

18、的精度。若由于項(xiàng)數(shù)限制而不能選取完全多項(xiàng)式時(shí)，也應(yīng)使完全多項(xiàng)式具有坐標(biāo)的對(duì)稱性，并且一個(gè)坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項(xiàng)式的次數(shù)。有時(shí)為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項(xiàng)式，可在單元內(nèi)部配置節(jié)點(diǎn)。然而，這種節(jié)點(diǎn)的存在將增加有限元格式和計(jì)算上的復(fù)雜性，除非不得已才加以采用。形函數(shù)應(yīng)保證用它定義的位移函數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性條件。27、何為剪切閉鎖現(xiàn)象？為何會(huì)出現(xiàn)？剪切閉鎖現(xiàn)象：計(jì)算得到的撓度等于零。之所以出現(xiàn)這種現(xiàn)象，是因