第一章矢量分析

1、1第一章第一章矢量分析矢量分析（說(shuō)明：本章為07電本英語(yǔ)講義的中譯本）電磁場(chǎng)是矢量場(chǎng)，矢量分析是學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)性質(zhì)的基本數(shù)學(xué)工具之一。本章中，我們主要介紹矢量場(chǎng)理論基本知識(shí)：矢量運(yùn)算，標(biāo)量場(chǎng)的梯度，矢量場(chǎng)的散度和旋度以及對(duì)于矢量場(chǎng)運(yùn)算有重要作用的稱為戴爾（或那布拉）算符?的運(yùn)算規(guī)則。稍后，將介紹狄拉克δ函數(shù)及一些重要的矢量場(chǎng)定理，它對(duì)我們今后學(xué)習(xí)電磁場(chǎng)理論有重要作用。11矢量運(yùn)算矢量運(yùn)算我們?cè)陔姶艌?chǎng)中遇到的大多數(shù)量可分為兩類：標(biāo)量和矢量。僅

2、有大小的量稱為標(biāo)量。具有大小和方向的量稱為矢量。一矢量A可寫(xiě)成AA?Ae其中A是矢量A的大小，eA是與A同方向上的單位矢量。矢量的大小稱為矢量的模，單位矢量的模為1。矢量A方向上的單位矢量可以這樣表示：AA?Ae矢量將用黑斜體字母表示，單位矢量用e來(lái)表示。作圖時(shí)，我們用一有長(zhǎng)度和方向的箭頭表示矢量，如圖111所示。如果兩矢量A和B具有同樣的大小和方向，它們是相等的。如果兩矢量A和B具有同樣的物理的或幾何的意義，則它們具有同樣的量綱，我們

3、可以對(duì)矢量進(jìn)行比較。如果一個(gè)矢量的大小為零，我們稱為零矢量或空矢量。這是唯一一個(gè)不能用箭頭表示的矢量。我們也可以定義面積矢量。如果有一面積為s的平面，則面積矢量s的大小為s，它的方向按右手螺旋規(guī)則確定，如圖112所示。A圖111矢量As圖112面積矢量ss111矢量加和減矢量加和減兩矢量A和B可彼此相加，其結(jié)果給出另一矢量C，C=AB。矢量三角形或矢量四邊形給出了兩矢量A和B相加的規(guī)則，如圖113所示。由此我們可得出：矢量加法服從加法交

4、換律和加法結(jié)合律。交換律：AB=BA(111)3θBA圖115兩矢量點(diǎn)積插圖由此，矢量A的大小可由下式得到：(115)A?AAA標(biāo)量積服從分配律：(116)()???AAAABCABAC例111如果A、B、和C構(gòu)成一三角形的三條邊，C邊所對(duì)夾角為θ。利用矢量證明三角形的余弦定理C=[A2B2–2ABcosθ]12解：解：由圖116，我們得到C=B–A由(115)，我們得到()()C???BABAA利用(116)和(114)，我們得到22

5、22()()2cosBAABAB??????????BABABAABAAA因此，C=[A2B2–2ABcosθ]12114矢量積矢量積兩矢量的的矢量積也稱為兩矢量的叉積或外積。兩矢量A和B的的矢量積寫(xiě)為：AB，并讀作“A叉乘B”。矢量積是一個(gè)矢量，它垂直于包含A、B兩矢量的平面，方向由右手螺旋規(guī)則確定，如圖117所示。en是AB方向上的單位矢量，?是A、B兩矢量間的夾角。矢量積的大小定義為兩矢量的大小及兩矢量夾角的正弦之積，即：(117