數(shù)學金融學第九章未定權益的定價理論1

1、長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第九章未定權益的定價理論第1頁共28頁第九章未定權益的定價理論對于未定權益我們已經(jīng)不陌生了.在第457和8章中分別討論過一些情形.本章中我們將建立連續(xù)時間市場中的未定權益定價理論.9.1歐式未定權益定價問題在第8章第4節(jié)中我們出于引入市場(廣義或者內蘊)完備性定義的需要提到了歐式未定權益的可復制性.在這里我們將專門討論歐式未定權益的可復制性以及可定價性.為了避免敘述的繁瑣和可能的喧賓奪主假定

2、市場是無磨擦的.我們將在[0T]上的市場重寫于下:M()r?b(1.1)0010()()()[0]()()()()()[0]1(0)1(0)1.diiiijjjiidPtPtrtdttTdPtPtbtdttdwttTinPPpin???????????????????????????假定條件成立對于初始財富及證券組合過程財富過程滿足下述方程：(M1)y()[]tT????(1.2)??()()()()()()1()()()[0](0)d

3、YtYtrtttrtdtssdstTYy??????????????bw?一、問題一、問題現(xiàn)在考慮上的歐式未定權益即持有都到到期時刻能夠獲得收益??0T2()TR???FLT的一個未定權益.我們的問題可以敘述如下:?問題問題1.11.1尋找和使使得yR?()[]tT????(1.3)(())YTy??A?如果滿足上述(1.3)的和存在則稱在上是可復制的可復制的稱是在yR?()[]tT???????0T()???上的一個復制策略復制策略稱

4、為在時刻0的一個準價格準價格.當可復制且準價格惟一時（這??0Ty??y里不要求的惟一性）稱在上是可定價的可定價的并稱為在時刻0的一個價格價格.()?????0Ty易見問題1.1等價于求解下述倒向隨機微分方程：(1.4)??()()()()()()1()()()[0]().dYtYtrtttrtdtttdttTYT???????????????bw?此時我們也稱為未定權益的價格過程.()YA?由上面的定義可見在上可復制的(歐式)未定權益

5、似乎未必是在上可定價的.我??0T??0T們回憶:在單時段市場情形存在可復制的但不可定價的未定權益而當市場成立單一價格定律時(特別的，當市場無套利時)可復制的未定權益必是可定價的.對于連續(xù)時間市場情形我們也容易構造在上可復制的但不可定價的未定權益.事實上對于比較極端的情形(1.2)??0T()0???變成一個常微分方程.此時我們很容易構造在上可復制的但不可定價的未定權益對于??0T人們也可以造出這樣的例子.我們把細節(jié)留給了讀者.()0?

6、??我們注意到問題1.1考慮的是上是歐式未定權益.類似地對任何我們可以??0T??0tT?長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第九章未定權益的定價理論第3頁共28頁()()()()[0]TTtYtttdttT??????????w?又由第八章(1.0.7)知()()()|00TTtptEttdttT??????????????w?F故??????00()()|||0tTrdrdtttpppYteYtEYtEEetT??????

7、??????????????????????????????FFF所以.▲??()|0TtrdtpYtEetT???????????????F上面的定理給出了在條件和(1.6)上任何歐式未定權益的可定價性。表達式(1.10)稱作(M1)(現(xiàn)行框架下的)的未定權益的風險中性定價原則(比較第5章和第7章中的離散時間情形)上面證明定理1.2的方法稱為倒向隨機微分方程方法也稱鞅方法.我們不難注意到上面定理1.2本質上僅僅給出了未定權益的可定價性

8、公式(1.10)其實不是太好用因為條件數(shù)學期望的計算并不容易因此定理1.2在使用時不太方便.下面我們將探求未定權益的更容易計算的公式.為此我們進一步假定(M2)成立(即市場的系數(shù)均是確M()r?b定性的)并且未定權益具有形式其中為一個連續(xù)子函數(shù)最典型的例子(())gPT??:ngRR?是1n?(1.16)??()()max0gppqpq?????和(1.17)()()gpqp???它們分別對應于歐式看漲期權和歐式看跌期權。三、運用三、運

9、用公式進行的歐式未定權益的定價方程公式進行的歐式未定權益的定價方程BlackScholes方程方程Ito現(xiàn)在，我們來尋找形如歐式未定權益的定價公式各復制策略過程.由上面的定(())gT??P理1.2在(M1)和(1.6)滿足時下述倒向隨機微分方程存在惟一的適應解:??()()Y???(1.18)????()()()()()()()[0]().dYtYtrtttdttdttTYTgT??????????????ZZwP?假定存在一個光滑的

10、待定函數(shù)使得???AA(1.19)??()(())0YttttT???P則對(1.19)運用公式由(1.1)可得Ito????()()()()()1()()()()(()YtrtttrtdtttdtdYtdtt???????bwP?????????(1.1)(3.13)111()()()()()()()()()2iijnntPiiihhjijPPiijhttttPtbtttPtPtttdt??????????????????附錄PPP(